麦克斯韦方程组的复数形式

第五章时变电磁场主要内容：本章在介绍法拉第电磁感应定律及位移电流假说之后，导出麦克斯韦方程组和它在电磁边界上的形式，再由麦克斯韦方程组的限定形式，导出坡印廷定理及波动方程；在引入动态位的概念之后，导出动态位所满足的达朗贝尔方程，并通过其解的物理意义，引入滞后位；在介绍时谐场的复数表示之后,介绍麦克斯韦方程组、坡印廷定理、波动方程及达朗贝尔方程的复数形式。最后，介绍电与磁的对偶性。5.1法拉第电磁感应定律一、法拉第电磁感应定律感应电动势：法拉第发现当穿过导体回路的磁通量发生变化时，回路中就会出现感应电流，表明此时回路中存在电动势，这就是感应电动势。著名的法拉第电磁感应定律：法拉第发现进一步的研究发现，感应电动势的大小和方向与磁通量的变化有密切关系。当通过导体回路所围面积的磁通量发生变化时回路中就会产生感应电动势，其大小等于磁通量的时间变化率的负值，方向是要阻止回路中磁通量in的改变，即(5-2)式中负号即表示回路中感应电动势的作用总是要阻止回路中磁通量的变化。这里已规定：感应电动势的正方向和磁力线的正方向之间存在右手螺旋系。设任意导体回路围成的曲面为，其单位法向矢量为，如图5.1所示。图5-1感应电动势的正方向和磁通的方向ddintBnsC回路附近的磁感应强度为，穿过回路的磁通于是（5-2）可以写成（5-3）二、法拉第电磁感应定律的积分与微分形式从一般意义上讲，电流是电荷的定向运动形成的，而电荷的定向运动往往是电场力对其作用的结果。所以，当磁通量发生变化时导体回路中产生感应电流，这一定预示着空间中存在电场。这个电场不是电荷激发的，而是由于回路的磁通量发生变化而引起的，它不同于静电场。当一个单位正电荷在电场力的作用下绕回路c一周时，电场力所做的功为它等效于电源对电荷所做的功，即电源电动势。此时电源电动势就是感应电动势,有dSBSdddinStBSdinCElin（5-4）式（5-3）右边的表示穿过面积s的磁通量随时间的变化率，而磁通量变化的原因可以归结为两个：回路静止（既无移动又无形变），磁场本身变化；磁场不变，回路运动（包括位移和形变）。1.法拉第电磁感应定律的积分形式当回路静止时，磁通量的变化是因磁场随时间变化而引起的，时间导数可以换成时间偏导数，并且可以移到积分内，故有(5-5)dininCElStSBdddtddtddinCStBElS2.法拉第电磁感应定律的微分形式利用斯托克斯公式，并考虑到回路c(或面积s)的任意性，得(5-6)这就是，是时变场的一个基本方程，同时也是麦克斯韦方程组中的一个方程。对法拉第电磁感应定律的解释：♠式中的电场强度是因磁场随时间变化而激发的，称为感应电场。♠感应电场是有旋场，其旋涡源为，即磁场随时间变化的地方一定会激发起电场，并形成旋涡状ddCSAlASintBEinEtB的电场分布。故又称为涡旋电场。♠式（5-6）虽然是对导体回路得到的，但是它对任意回路（不一定有导体存在）同样成立。♠当磁场随时间的变化率为零时，有,这与静电场所得的形式完全相同，因此静电场实际上是时变电场的特殊情况。如果空间中还存在静止电荷产生的库仑电场,则总电场为，这时（5-7）（5-8）inE0inEcEincEEEd()ddincCSCtBElEElS()incintBEEEE♠当导体回路以速度运动时，利用关系式和，可以得到（5-9）等式右边的两个积分分别对应着磁场变化和导体运动的贡献。当磁场不随时间变化时，有（5-10）比较等式两边，。得当导体在磁场中运动时，其内部的电荷随之运动，导体中电荷受到的洛伦兹力为。显然，导体中的感应电场实际上是导体中单位电荷所受的洛仑兹力，同时也可以说明，感应电场是由于电荷在磁场中运动而形成的。Cvddttv0Bddd()ddSSCttBBSSBvlddd()ddCSCtElBSvBlBvFEqBvFq5.2位移电流矛盾分析:★静态下:，★★非静态下:(法拉第电磁感应定律所揭示的一个极为重要的电磁现象—变化的磁场可以激发电场)。★静态下，安培环路定律，★★非静态下，安培环路定律是否也有所变化呢？如果发生变化，又会产生什么物理现象呢？★★非静态情况下,再由电荷守恒定律得（这一个结果是由电荷守恒定律得到的，而电荷守恒定律是大量试验总结出的普遍规律，显然这0EtBEJH0t0tJ0J显然这个结果应该是正确的）。假定非静态情况下方程仍然成立，对此方程边取散度，有。利用恒等式,得（一个结果是在假定静态场的安培环路定律在非静态时仍然成立的条件得出的）。解决矛盾的方法:必须对静态情况下所得到的安培环路定律作相应的修正。修正的思路：1.在方程的右边加入一个附加项,即有,且满足;2.加入的应该具有合理的物理意义。JHJH)(()0A0JdJdJJHdJ0)(dJJdJ对高斯定理的两边求时间的偏导数，得:。如果令,可得:（5-11）显然，此时。式（5-11）就是时变场的安培环路定律的微分形式，是麦克斯韦方程组中的一个，其中的,即为位移电流密度。这里已经解决了前面所述的矛盾，但是附加项位移电流密度的物理意义如何？是否符合物理事实？下面将进一步讨论。时变场的安培环路定律也具有积分形式，即:DtttDDtdDJtDJH0)()(dJJHtdDJdJ（5-12）式中，和分别为穿过回路所围区域的真实电流（传导电流和运流电流）和位移电流。对安培环路定律和位移电流的诠释：1.在时变电场情况下，磁场仍然是有旋场，但其旋涡源除了传导电流外，还有位移电流。2.位移电流代表的是电场随时间的变化率,当空间中电场发生变化时，就会形成磁场的旋涡源，从而激发起旋涡状的磁场，即变化的电场会激发磁场这就是位移电流的物理意义，同时也是前面分析所期望的。dddddCSSHlJSJSIIIdIC3.位移电流是一种假想的电流。麦克斯韦用数学方法引入了位移电流，深刻地提示了电场和磁场之间的相互联系，并且由此建立了麦克斯韦方程组，从而奠定了电磁理论的基础。赫兹实验和近代无线电技术的广泛应用，完全证实了麦克斯韦方程组的正确性，同时也证实了位移电流的假想。4.将,代入位移电流的定义式中，得,式中第一项为真空中的位移电流，仅表示电场随时间的变化，并不对应于任何带电质点的运动，而第二项表示介质分子的电极化强度随时间变化引起的极化电流。PED0εttdPEJ0tE0tP【例5-1】海水的电导率为，相对介电常数为81，求当频率为1时，位移电流与传导电流的比值。解:设电场是正弦变化的，表示为则位移电流密度为其振幅值为传导电流密度的振幅值为故4S/mMHzcosmxEtEe0sindrmxEttDJe63091210814.5104910dmrmmmJEEE4cmmmJEE31.12510dmcmJJ5.3麦克斯韦方程组一、非限定形式的麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组是整个宏观电磁场理论的核心。用四个场量写出的方程称为麦克斯韦方程的非限定形式。◆积分形式包括如下的四个方程(5-13a)(5-13b)(5-13c)(5-13d),,,EDBHdddCSStDHlJSSddCStBElSS0dSBdSqDS◆相应的微分形式为(5-14a)(5-14b)(5-14c)(5-14d)式中，,为外部强加的电流源，为传导电流。本书中若没有特别说明，将无外部强加的电流源时的记为。习惯上把上述四个方程称为麦克斯韦第一、二、三、四方程。关于麦克斯韦方程组的讨论：♠时变电场的激发源除了电荷以外，还有变化的磁场；而时变磁场的激发源除了传导电流以外，还tDJHtBE0BDfcJJJfJcJEfJcJJ有变化的电场。电场和磁场互为激发源，相互激发♠电场和磁场不再相互独立，而是相互关联，构成一个整体——电磁场，电场和磁场分别为电磁场的两个分量。♠在离开辐射源（如天线）的无源空间中，电荷密度和电流密度为零，电场和磁场仍然可以相互激发，从而在空间形成电磁振荡并传播，这就是电磁波。所以，麦克斯韦方程组实际上已经预言了电磁波的存在，而这个预言已被事实证明。♠在无源空间中，两个旋度方程分别为和。可以看到两个方程的右边相差一个负号，而正是这个负号使得电场和磁场构成一个相互tBEtDH约束的关系，即当磁场减小时，电场的旋涡源为正，电场将增大；而当电场增大时，将使磁场增大，磁场增大反过来又使电场减小，……。但是，如果没有这个负号的差别，电场和磁场之间就不会形成这种不断继续下去的激励关系。♠麦克斯韦方程可以以不同的形式写出。用四个场量写出的方程称为麦克斯韦方程的非限定形式。因为它没有限定与之间及与之间的关系，故适用于任何媒质。二、限定形式的麦克斯韦方程组用和两个场量写出的麦克斯韦方程组，是麦克斯韦方程的限定形式。,,,EDBHDEBHEH对于线性和各向同性媒质，有(5-15)(5-16)(5-17)这是媒介的本构关系。利用本构关系，麦克斯韦方程组可用和两个场量写出(5-18a)(5-18b)(5-18c)(5-18d)麦克斯韦方程组是宏观电磁现象的总规律，静电场与恒定磁场的基本方程是麦克斯韦方程的特例。0rDEE0rBHHJEEHttDEHJEtHE0HE5.4时变电磁场的边界条件在时变电磁场中,分析两种不同媒质分界面上的边界条件,与静态电磁场一样,必须应用麦克斯韦方程的积分形式。一、的切向分量边界条件图5-2表示两种媒质的分界面，1区媒质的参数为、;2区媒质的参数为:、、;设分界面上的面电流密度的的方向垂直于纸面向内，则磁场矢量在纸上。在分界面上取一个无限靠近分界面的无穷小闭合路图5-2的边界条件H111222n1H2Hl12h12sJH径，即长为无穷小量，宽为高阶无穷小量，把积分形式的麦克斯韦方程(5-13a)应用于此闭合路径，得式中，的模是有限量。当时，，于是得（5-23）表示为矢量形式（5-24）式中，为从媒质2指向媒质1的分界面法线方向的单位矢量。若分界面上不存在传导面电流，即，则有：ΔlΔh11220(sinsin)limddhSSHHltDJSS1200limlimtthhIHHhhlhtDtD0h0lim0hhtD12ttsHHJ12()snHHJn0SJ（5-25）（5-26）结论：在两种媒质分界面上存在传导面电流时，的切向分量是不连续的，其不连续量就等于分界面上的面电流密度。若分界面上没有面电流，则的切向分量是连续的。二、的切向分量边界条件把积分形式的麦克斯韦方程(5-13b)应用于图5-3所示的闭合路径，得式中，的模是有限量。当时，,于是得（5-27）120ttHH12()0nHHHH120limtthEEhtBtB0h0lim0hhtB120ttEE图5-3的边界条件表示为矢量形式（5-28）说明，在分界面上的切向分量总是连续的。三、的法向分量边界条件与恒定磁场相同，时变电磁场中的边界条件为（5-29）n1E2El12h1212()0nEEBB120nnBB（5-30）这说明：在分界面上的法向分量总是连续的。四、的法向分量边界条件与静电场相同，时变电磁场中的边界条