偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATION(P.D.E)及有关构建策略

偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATION(P.D.E)2020/2/152分离变量法许多物理现象都具有叠加性：由几种不同原因同时出现时所产生的效果，等于各个原因单独出现时所产生的效果的叠加，这就是物理学中的叠加原理。在解决数学中的线性问题时，可应用物理学中的叠加原理。分离变量法又称Fourier方法，而在波动方程情形也称为驻波法。它是解决数学物理方程定解问题中的一中基本方法，这个方法建立在叠加原理的基础上，其基本出发点是物理学中的机械振动和电磁振动（总可分解为一些简谐振动的叠加）2020/2/153波动方程有界弦的自由振动热传导方程椭圆方程一维情形高维情形有界弦的强迫振动齐次方程非齐次方程周期性条件自然边界条件一维情形高维情形2020/2/1541.有界弦的自由振动)()0,(),()0,(,0),(),0(0,0,22222xxuxxutLutuLxtxuatut(1.1)(1.2)(1.3)(1.4)首先设法找到所有具有变量分离形式的满足方程（1.1）和边界条件（1.2）的非零特解。这些非零特解的线性叠加仍满足方程和边界条件。所谓函数u(x,t)具有变量分离形式，即它可表示为)()(),(tTxXtxu(1.5)(I)2020/2/155将（1.5）代入方程（1.1）和边界条件（1.2）得到TXaTX2即)()()()(2xXxXtTatT以及0)()()()0(tTLXtTX(1.6)(1.7)(1.6)式中，左端是t的函数，右端是x的函数，由此可得只能是常数，记为。从而有)0(,0LxXX0)(t,02TaT(1.8)(1.9)0)()0(LXX(1.10)2020/2/156(II)本征值问题)0(,0LxXX(1.9)0)()0(LXX(1.10)情形（A）情形（B）00其通解为,)(21xxeCeCxX由(1.10)，可推出,021CC021LLeCeC021CC只有零解。其通解为,)(21xCCxX由(1.10)，可推出021CC只有零解。2020/2/157情形（C）0方程的通解为,sincos)(21xCxCxX由边界条件X(0)=0推出,01C再由,0sin)(2LCLX知道为了使,02C必须.0sinL于是有.)1,2,3,(k,kL.)321(,222,,,kLkk这样就找到了一族非零解),2,1(,sin)(kxLkCxXkk本征值本征函数(1.11)(1.12)2020/2/158)321(,222,,,kLkk由此，就得到方程（1.1）满足边界条件（1.2）的变量分离的非零特解代入(1.8)可得),2,1(,sincos)(ktLakBtLakAtTkkksinsincos)()(),(xLktLakBtLakAtTxXtxukkkkk),2,1(k(1.13)其通解为)1,2,3,(k,02222TLkaT2020/2/159(III)特解的叠加为了求出原定解问题的解，还需满足初始条件（1.3）。一般来讲，前面求出的特解不一定满足初始条件。为此，我们把所有特解叠加起来，并使之满足初始条件，即取),(txuksinsincos)()(),(11kkkkkkxLktLakBtLakAtTxXtxu使得(1.14)sin)0,()(1kkxLkAxux(1.15)sin)0,()(1kktxLkLBakxux(1.16)2020/2/1510因此，LBakk)(x,kA),(x应分别是在[0,L]区间上正弦展开的Fourier级数的系数，即dsin)(20LkLkLA(1.17)dsin)(20LkLkakB(1.18)),2,1(k这样，我们就给出了混合问题（1.1）-（1.4）的形式解（1.14），其中系数由公式（1.17）和（1.18）给出。2020/2/1511,sinxLk,sinxL,2sinxL是[0,L]上的正交函数列nmnmLxdxLnxLmL0,2sinsin0,cosxLk,cosxL,2cosxL是[0,L]上的正交函数列nmnmLnmLxdxLnxLmL000,2coscos0,12020/2/1512分离变量法的解题步骤第一步第二步第三步)()(),(tTxXtxu令适合方程和边界条件，从而定出)(xX所适合的常微分方程齐次边值问题，以及)(tT适合的常微分方程。本征值问题求解该常微分方程齐次边值问题，求出全部本征值和本征函数，并求出相应的的表达式。)(tT将所有变量分离形式的特解叠加起来，并利用初始条件定出所有待定系数。2020/2/1513物理意义)sin(sinsinsincos),(kkkkkktωxLkNxLktLakBtLakAtxu其中,22kkkBAN,arctankkkBALakk•对任意时刻,0txLktωNtxukkkksin)sin(),(00这说明，任一时刻弦的形状都是正弦波，)sin(0kkktωN其振幅随不同的时间0t而不同。2020/2/1514•对任意一点,0x)sin(sin),(00kkkktωxLkNtxu这表示在任意一点0x处都作简谐振动。,knLxnkn,,2,1,00),(txunk节点Lakk固有频率2020/2/1515例xLxuxLxxutLutuLxtxuatut2sin)0,(),()0,(,0),(),0(0,0,22222令)()(),(tTxXtxu是齐次方程和齐次边界条件的非零解则有)0(,0LxXX0)()0(LXX0)(t,02TaT,222LkkxLkCxXkksin)(tLakBtLakAtTkkksincos)(2020/2/1516dsin)(20LkLkLLAdsin2sin20LkLkLakBsinsincos)()(),(11kkkkkkxLktLakBtLakAtTxXtxu故有其中2,02,2kkaL])1(1[4332kkLLLkLk0dcos)(2LLkLk0dcos)2(2LLkkL022dsin42020/2/1517xLtLaaLxLktLakkLtTxXtxukkkkk2sin2sin2sincos)1(14)()(),(133212020/2/15182.有界弦的强迫振动0)0,(,0)0,(,0),(),0(0,0),,(22222xuxutLutuLxttxfxuatut(2.1)(2.2)(2.3)(2.4)方法一方法二齐次化原理分离变量法2020/2/1519齐次化原理:),(),,(,0),,(,0),,(),,0()(t,22222xftxwtxwtLwtwxwatwttt若);,(txw混合问题的解，则dtxwtxut0);,(),((2.6)(2.5)就是混合问题（2.1）-（2.4）的解。2020/2/1520令,tt混合问题（2.5）就化为),(),,(,0),,(,0),,(),,0()0t(,0022222xftxwtxwtLwtwxwatwttt(2.7)由于方程和边界条件都是齐次的，由此根据上一小节的结论即得sinsin)();,(1kkxLktLakBtxwsin)(sin)();,(1kkxLktLakBtxw其中dsin),(2)(0LkLkfakB(2.8)(2.9)2020/2/1521根据齐次化原理，dtxwtxut0);,(),(dsin)(sin)(10ktkxLktLakB(2.10)dsin),(2)(0LkLkfakB其中2020/2/1522分离变量法:),(sinsin122txfxLk(t)CaLkxLk(t)Ckkk令是混合问题的解。显见上述函数满足（2.2）。(2.11)(2.1)sin),(1kkxLk(t)Ctxu),(sin12txfxLk(t)CLak(t)Ckkk(2.3)(2.4)0sin0)0,(1kkxLk)(Cxu0sin0)0,(1kktxLk)(Cxu(2.12)(2.13)(2.14)2020/2/1523(2.12)，)(sin),(202tfdxLxktxfL(t)CLak(t)CkLkk0(0)kC0(0)kC(2.13)，(2.14)),2,1(ktkkdLtakfakLtC0)(sin)()(),2,1(k]sin)(sin)([),(10ktkxLkdLtakfakLtxu2020/2/1524非齐次边界条件的定解问题)()0,(),()0,(),(),(),(),0(0,0),,(22222xxuxxuttLuttuLxttxfxuatut我们注意到齐次的边界条件是分离变量法所必需的，为此作函数变换)]()([)(),(),(ttLxttxutxv)]0()0([)0()()0,()],0()0([)0()()0,(,0),(,0),0()],()([)(),(22222LxxxvLxxxvtLvtvttLxttxfxvatvt边界齐次化2020/2/1525齐次边界条件的另一类定解问题)()0,(),()0,(,0),(),0(0,0),,(22222xxuxxutLutuLxttxfxuatutxx)0(,0LxXX0)(t,02TaT0)()0(LXX2020/2/15263.有界细杆的热传导方程),()0,(,0),(,0),0(0,0),,(222xxutLutuLxttxfxuatu)()0,(,0),(,0),0(,222xxutLutuxuatu0)0,(,0),(,0),0(),,(222xutLututxfxuatu2020/2/1527首先找到所有具有变量分离形式的满足齐次方程和齐次边界条件的非零特解。令)()(),(tTxXtxu(I)3.1齐次方程情形02TXaTX)()()()(2xXxXtTatT0)()()()0(tTLXtTX)0(,0LxXX0)(t,02TaT0)()0(LXX代入方程和边界条件得到即以及2020/2/1528(II)本征值问题)0(,0LxXX