偏微分方程分类与标准型

第2章二阶线性偏微分方程的分类与标准型§2.1常微分方程的解(复习)§2.2二阶线性偏微分方程分类§2.3二阶线性偏微分方程简化§2.4三类方程的简化形式§2.1常微分方程的解(复习)一.二阶常系数线性方程的标准形式)(xfqyypy12121212(),()(,)()()(),()(),().yxyxabkyxkyxyxyxyxyx定义：设为定义在内的两个函数，如果存在非零常数,使得,则称线性相关，否则称线性无关12(),()0yxyxypyqy定理设是方程的两个线性无关的解，则1122()()()yxCyxCyx12,.CC是方程的通解，其中为任意常数二.二阶常系数线性齐次微分方程的解02qprr,2422,1qppr特征根：0qyypy(1)有两个不相等的实根两个线性无关的特解,22xrey得齐次方程的通解为;2121xrxreCeCy齐次方程：特征方程：1,r2r2(40)pq,11xrey2(40)pq齐次方程的通解为：;)(121xrexCCy,11xrey特解为：12rxyxe(3)有一对共轭复根时1,ri2,ri2(40)pq,cos1xeyx,sin2xeyx齐次方程的通解为).sincos(21xCxCeyx特征根为：特解为：(2)有两个相等的实根时小结：二阶常系数线性齐次微分方程解02qprr0qyypy特征根的情况通解的表达式实根21rr实根21rr复根ir2,1xrxreCeCy2121xrexCCy2)(21)sincos(21xCxCeyx,2422,1qppr特征根：齐次方程：特征方程：利用了欧拉公式例:求下列方程的通解1430()yyy(2)2220yyy(3)230yyy解(1)特征方程为0342rr所以方程的通解为为任意常数21231C,CeCeCyxx1,321rr解得为任意常数21221C,CexCCyx所以方程的通解为221rr解得(2)特征方程为02222rr所以方程的通解为(3)特征方程为0322rr解得ir212,1为任意常数2121,2sin2cosCCxCxCeyx解特征方程为0542即0)5)(1(特征方程有两个不相等的实数根5,121512xxyCeCe所以所求方程的通解为对上式求导,得5125xxyCeCe例:求满足初始条件450yyy的特解.(0)1y(0)2y将、代入以上二式,得1)0(y2)0(y1212125CCCC解此方程组，得1211,22CC所以所求特解为51122xxyee)(xfqyypy(2)对应齐次方程为：,0qyypy(3)通解结构:*()()(),yxYxyx三.二阶常系数非齐次线性方程*()()()yxypyqyfxYx如果是方程的一个特解，是方程对应的齐次方程的通解，则方程的通解为(1)非齐次线性方程通式：§2.二阶线性偏微分方程分类1.一般形式及分类判别111222122xxxyyyxyauauaububucuffcbbaaa,,,,,,21221211其中，都是区域上的实函数，并假定它们是连续可微的。2.二阶主部为：1112222xxxyyyauauau21211220=00aaa3.判别式及分类：双曲型抛物型椭圆型22222uuaxtx22222uuauxt222uuaxuxt222110uu判断下列方程的类型思考：§3.方程简化1.线性二阶偏微分方程的一般形式(2个自变量)111222122xxxyyyxyauauaububucuffcbbaaa,,,,,,21221211其中，都是区域上的实函数，并假定它们是连续可微的。n个自变量：2111a0nnnijiijiijiuubcufxxx其中fcbaiij,,,是自变量nxxx,,,21的函数2.变量替换与方程转型(1)变量代换：(,)xy(,)xy(2)一般式转为：1112221220AuAuAuBuBuCuF系数为：22111112221211122222221112221111222122111222122()222,xxyyxxxyyxyyxxyyxxxyyyxyxxxyyyxyAaaaAaaaAaaaBaaabbBaaabbCcFf变量替换是研究偏微分方程的有效手段，适当的变换，可简化方程、易求解。注：变量替换必须为非奇异变换(,)xy(,)xy非奇异变换：雅克比(Jacobi)行列式在点(x0,y0)不等于零，即：(,)0(,)xyxyyxxyJxy则：在点(x0,y0)附近变换是可逆的。3.方程简化4.求特解构造一阶偏微分方程：求一个特解，则：再求另一个特解，则A22=02211122220xxyyazazzaz221112221120(0)xxyyaaaA即：2111222()2()0xxyyzzaaazz偏微分方程转为常微分方程0)(2)(2212211adxdyadxdya5.特征方程与特征曲线1.特征方程：2111222()2()0dydyaaadxdx2.解：21212112211aaaadydxa3.特征曲线：1(,)xyc2(,)xyc例2.1.1判断偏微分方程类型并化简：2360xxxyyyyuuuu111222113a,a,a解：123,yxCyxC102uu2()230dydydxdx特征方程3,1dydydxdx特征方程的解：特征线：3,yxyx令：212112240aaa双曲型方程例2.1.3设常数A,B,C满足240BAC20AmBmCm1、m2是如下方程的两个根12()()ufmxygmxy的通解为：0xxxyyyAuBuCu证明二阶线性偏微分方程12,mxymxy0u证明：设21(4)0ACBuA则：§4三类方程的简化形式当02211212aaa时，给出一族实的特征曲线1),(cyx2),(cyx取),(yx),(yx则02211AA方程变为12121[]2uBuBuCuFA若再作,则上述方程变为：1212121[()()2]uuBBuBBuCuFA1.双曲方程型方程：当02211212aaa时，只有一个解1112aadxdy它只能给出一个实的特征线，cyx),(。取与),(yx函数无关的),(yx作为另一个新的变量则有：][12122FCuuBuBAu2.抛物型方程：当02211212aaa时，给出一族复特征线),(yx),(yx在该变换下：0,02211AA且方程化为：][212112FCuuBuBAu令ii,则有：]2)()[(1122112FCuuiuBBAuu3.椭圆型方程：小结：三种方程的标准型式：2121122(1)0aaauuAuBuCuD2121122(2)0,aaauAuBuCuD2121122(3)0aaauuAuBuCuD例题1：分类并标准化方程：解：该方程的故该方程是抛物型的。特征方程：从而得到方程的一族特征线为：自变量代换(由于ξ和η必须函数无关,所以η宜取最简单的函数形式,即η=x或η=y)原方程化简后的标准形式为：特征的解：例2.判断偏微分方程类型并化简：23260xxxyyyxyuuuuu解：∵111a112a322a故042211212aaa故该方程为双曲型偏微分方程，其特征方程032)(2dxdydxdy故有13Cxy或2Cxy取新变量yx3yx则3dxdy1dxdy或解为例2(续)3uuux，uuuy222222296uuuux22222222uuuuy代入原方程得：2161240uuu即：23144uuu例3.判断偏微分方程的类型并化简：22cos(3sin)0xxxyyyyuxuxuyu21112221cos3sina,ax,a(x)解：12sin2,sin2yxxCyx-xC()032uuu22()2cos(3sin)0dydyxxdxdx特征方程cos2,cos2dydyxxdxdx特征方程的解：特征线：sin2,sin2yxxyx-x令：22cos3sin40xx双曲型方程ξ-ηts,第二章：复习思考题与作业一．写出二阶常系数线性齐次微分方程的特征方程与特征根。二.简述二阶常系数线性齐次微分方程的求解步骤。三.写出二阶线性偏微分方程的辨别式及其分类原则。四.解释何谓自变量非奇异变换。五.简述二阶线性偏微分方程简化的基本步骤。六.书习题2：1（1）（2）；2（2）（3）；7七.课堂练习：P41:2（1）