第四章 振动

物体在一定的位置附近作来回往复的运动。机械振动：振动：任何一个物理量在某个确定的数值附近作周期性的变化。波动：振动状态在空间的传播。任何复杂的振动都可以看作是由若干个简单而又基本振动的合成。这种简单而又基本的振动形式称为简谐运动。§4-1简谐运动4-1-1简谐运动的基本特征弹簧振子：一根轻弹簧和一个刚体构成的一个振动系统。根据胡可定律：（k为劲度系数）xkF(1)弹簧振子的运动（a）在弹性限度内，弹性力F和位移x成正比。（b）弹性力F和位移x恒反向，始终指向平衡位置。回复力：始终指向平衡位置的作用力由牛顿第二定律：xkdtxdmF22xmkdtxd22得:令mk0222xdtxd(2)简谐运动方程xoFx简谐运动：物体的运动遵从余弦（或正弦）规律。xkFxdtxd222tAxcos简谐运动的三项基本特征：积分常数，根据初始条件确定)cos(tAx运动方程拍皮球时，球的运动是否是简谐振动?单摆P116例4－2证明单摆小角度的摆动为谐振动.解:小球受力如图,取摆角θ向右为正.重力矩与θ相反.由转动定律,有θ即单摆小角度摆动为谐振动.lgωglπT2θ=θAcos(ωt+φ0)tddmlJmgl222sinθ很小时,有sin即0sin22lgtdd即022lgtdd小球在半径很大的光滑凹球面底部作小幅振动切向运动：是简谐运动。sintmamgdd22tRRatdd22tmRmg0dd22Rgtsin因为θ很小，所以令：2Rg0dd222tmgO)2cos()sin(tvtAdtdxvm（3）简谐运动的速度：（4）简谐运动的加速度：)cos()cos(2tatAdtdamvOTωAtxax,,vAAavOAω2比较：tAacos2tAxcos结论：作简谐运动的质点，其加速度与位移恒成正比，而方向相反。xa2即xdtxd2224-1-2描述简谐运动的物理量tAxcos周期T：完成一次全振动所经历的时间。（1）A：振幅，（最大位移，x=±A）（2）：角频率，（圆频率）频率：单位时间内完成全振动的次数。2T22121TT或：振动的“初相位”。（3）（t+)：振动的“相位”。弹簧振子的频率:mkν212弹簧振子的周期:kmT22结论：弹簧振子的振动频率和周期仅与振子本身的性质（k和m）有关，而与其它因素无关。由振动系统本身的固有属性所决定的频率和周期称为固有频率和固有周期。由初始条件求解振幅和初相位：设t=0时，振动位移：x=x0振动速度：v=v0)(costAxcosAxo)(sintAvsinAvo（4）振幅A、初相位的确定2020vxAcosAxosinAvo2222222)cos(sinAAvxooooxvtg象限在第Ivx:0,000象限在第IIvx:0,000象限在第IIIvx:0,000象限在第IVvx:0,000（5）两个物体做简谐运动位相差)()(Δ1221tt位相差：当，同频率1212....)2,1,0.....(2kk两振动步调相同，称同相。（1）当同时达到正的最大，同时达到负的最大，同时越过平衡位置并且方向相同。)(cos1111tAxP:)(cos2222tAxQ:txoA1A2x1x2同相....)2,1,0.....()12(kk两振动步调相反，称反相。（2）当一个达到正的最大，另一个达到负的最大，同时越过平衡位置但方向相反。x2xox1t反相A1A2....)2,1,0.....(kk称之为不同相，此时就有超前落后之分（3）当120Q超前于P或P落后于Q0P超前于Q或Q落后于P0同相位QP振比振超前1A2x1xtox2AQ比P较早达到正最大。1x1A2xtox2AQP振比振落后P比Q较早达到正最大。)2cos()sin(tvtAdtdxvm称为速度幅。速度相位比位移相位超前/2。Avm)cos()cos(2tatAdtdamv称为加速度幅。加速度与位移反相位。Aam2tAxcos4-1-3简谐运动的旋转矢量表示法旋转矢量A在x轴上的投影点M的运动规律：)cos(tAx结论：投影点M的运动为简谐振动。yxootAPMyxotAPM•旋转矢量A旋转一周，M点完成一次全振动。•旋转矢量的模A：振幅•旋转矢量A的角速度：角频率•t=0时，A与x轴的夹角0：初相位。•旋转矢量A与x轴的夹角(t+0)：相位2T周期：)cos(tAx例4-3(P116)一质点沿x轴作简谐振动，振幅为12cm，周期为2s。当t=0时,位移为6cm，且向x轴正方向运动。求1、振动方程。2、t=0.5s时，质点的位置、速度和加速度。3、如果在某时刻质点位于x=-6cm，且向x轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。解：设简谐振动表达式为已知：A=12cm,T=2s，12sT初始条件：t=0时，x0=0.06m,v00)(costAxtxcos12.00.06=0.12cos3cos210sin0Av0sin3振动方程：)3cos(12.0txyx3315.05.05.0sm189.0)3sin(12.0ddtttttxv25.025.05.0sm103.0)3cos(12.0ddtttttav设在某一时刻t1，x=-0.06m，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。)3(cos12.006.01t代入振动方程：21)3(cos1t2、t=0.5s时，质点的位置、速度和加速度。343231或tstt132311yx3234stt61123322sttt65161112例4-4(P117)已知某简谐振动的速度与时间的关系曲线如图所示，试求其振动方程。431.431.715.715.01)(st)(1cmsv解：方法1100715cms.sinAv)tcos(Ax0设振动方程为0020cosAa1431cmsvAm.2143171500..Avsin6560或0000cos,a则60)sin(0tAdtdxv17151cmsvt.21)61sin(mvvAv6116761或01001)cos(,a则67611143s.cmvAm10143431..故振动方程为cmtx)cos(610431.431.715.715.01)(st)(1cmsv0)cos(021tAa0tst12vov的旋转矢量与v轴夹角表示t时刻相位2t由图知322611scmvAm10143431..cmtx)cos(610方法2：用旋转矢量法辅助求解。)cos(tAx)cos()sin(2tvtAvm1431cmsAvm.[例4-1]一弹性系数为k的轻弹簧,下挂一质量为m的砝码。开始时用手托住砝码,使弹簧为原长,放手后砝码开始振动。证明砝码作谐振动,并写出振动表达式.m0yy0mk解：建立如图坐标系，原点为物体静平衡时位置，它距弹簧原长位置为y0mgky0kmgy0在y处时22dtydmFmg)(0yykF220dtydmkykymg设022ymkdtyd则0222ydtydmk----得证mm0yy0kmy设振动表达式为)cos(0tAy由旋转矢量法得0y0AAcosAyA0yt=0时kmgkmgA)cos(tmkkmgy4-1-4简谐运动的能量)(sin21212222tAmmvEk)(cos2121222tkAkxEpkm2振子动能：振子势能：xxovtxEkEtpEOO谐振系统的总机械能：pkEEE)(costAxtkAEk22sin21tkAEp22cos212222212121mmvAmkAE（1）振子在振动过程中，动能和势能分别随时间变化，但任一时刻总机械能保持不变。（2）动能和势能的变化频率是弹簧振子振动频率的两倍。（3）频率一定时，谐振动的总能量与振幅的平方成正比。（适合于任何谐振系统）结论：kEEpExOpEAA2p21kxE弹性势能pkEEEP119例4－6.证明复摆小角度的摆动为简谐振动.并求复摆的振动周期。θCOlsinmglMsin,)5(0时很小当mglM22dtdJ)(22Jmgldtd2Jmgl令0222dtd——复摆摆角很小时作简谐振动mglJT22方法一：方法二：θCOl取O点为零势能点，则复摆的总能量：cos212mglJEEEpk20211cos,)5(时很小当因为系统随机械能守恒，所以0)(2222JmgldtdJdtdmgldtddtdJdtdE022Jmgldtd2Jmgl令mglJT22221kAEEEkpEAkkxEAxp4122121222时：当例5当简谐振动的位移为振幅的一半时，其动能和势能各占总能量的多少？物体在什么位置时其动能和势能各占总能量的一半？解：EEEEpk43220212121kAkxAAx707.0210§4-2简谐运动的合成和分解4-2-1简谐运动的合成1.两个同方向、同频率的简谐运动的合成某一质点在直线上同时参与两个独立的同频率的简谐运动，其振动表达式分别表示为：)cos(111tAx)cos(222tAx1xx11A21AAA)cos()cos(221121tAtAxxx)cos(tAx2x2A2xA一个质点参与两个在同一直线上频率相同的简谐运动，其合成运动仍为简谐运动。结论：)cos(212212221AAAAA221122111coscossinsinAAAAtg,2,1,02:)1(12kk若212122212AAAAAAAxto2TT23T2T合成振动1xx11A2x2A2xA,2,1,0)12(:)2(12kk若212112212:AAAAAAA则to2TT23T2Tx2x1x合成振动如果21AA则A=0即两个等幅而反向的简谐运动的合成将使使质点处于静止状态。一般情况为其他任意值，则：)(2121AAAAA上述结果说明两个振动的相位差对合振动起着重要作用。A1A2A（3）k12合成振动t2TT23T2Txo例6两个同方向的简谐振动曲线(如图所示)1、求合振动的振幅。2、求合振动的振动方程。12AAA1AA解：T20cos11