第四章 控制系统的频率特性(第十讲)

10-7-20控制系统的频率特性14.3频率响应的对数坐标图要精确地计算和绘制奈氏图，一般来说比较麻烦。因此采用频率特性的另一种图示法：对数坐标图（Bode图）。它不但计算简单，绘图容易，而且一般能直观地表明开环增益、时间常数等参数变化对系统的影响。一、对数频率特性曲线它由两条曲线组成：幅频特性曲线和相频特性曲线。10-7-20控制系统的频率特性21101000.010.010dBL/)(2040-20-401101000.010.010)(90180-90-180幅频特性曲线坐标相频特性曲线坐标10-7-20控制系统的频率特性3横坐标分度：它是以频率的对数值进行分度的。所以横坐标（称为频率轴）上每一线性单位表示频率的十倍变化，称为十倍频程（或十倍频），用Dec表示。如下图所示：logDecDecDecDec12012...log01.001.0110100由于以对数分度，所以零频率线在处。10-7-20控制系统的频率特性412345678910203040506080100一倍频程一倍频程一倍频程一倍频程一倍频程一倍频程十倍频程十倍频程十倍频程十倍频程120lg更详细的刻度如下图所示ω１2345678910lgω0.0000.3010.4770.6020.6990.7780.8450.9030.9541.000横坐标分度ω102030405060708090100lgω1.0001.3011.4771.6021.6991.7781.8451.9031.9542.0010-7-20控制系统的频率特性5纵坐标分度：)(lg20jG)(lg20jG相频特性曲线的纵坐标是，以度或弧度为单位进行线性分度。一般将幅频特性和相频特性画在一张图上，使用同一个横坐标（频率轴）。幅频特性曲线的纵坐标是以表示。其单位为分贝（dB）。一般直接将值标注在纵坐标上。)(jG()20lgndBN10-7-20控制系统的频率特性6幅值|G(j)|1.001.261.562.002.513.165.6210.0100100010000对数幅值20lg|G(j)|02468101520406080幅值|G(j)|1.000.790.630.500.390.320.180.100.010.0010.0001对数幅值20lg|G(j)|0-2-4-6-8-10-15-20-40-60-80幅值和对数幅值(增益)的关系对照表10-7-20控制系统的频率特性7二、使用对数坐标图的优点：可以展宽频带；频率是以10倍频表示的，因此可以清楚的表示出低频、中频和高频段的幅频和相频特性。可以将幅值乘法运算转化为加法运算。所有的典型环节的频率特性都可以用分段直线（渐近线）近似表示。对实验所得的频率特性用对数坐标表示，并用分段直线近似的方法，可以很容易的写出它的频率特性表达式。三、对数幅相特性曲线（又称尼柯尔斯图）尼柯尔斯图是将对数幅频特性和相频特性两条曲线合并成一条曲线。横坐标为相频特性，单位度或弧度。纵坐标为对数幅频特性，单位分贝。横、纵坐标都是线性分度。10-7-20控制系统的频率特性8dBL/)(()180180幅频特性：；相频特性：KjG)(()01比例（放大）环节：；KsG)(KjG)(对数幅频特性：111000lg20)(KKKKL常数1K1K1K00()1800KKK相频特性：0K0K比例环节的Bode图典型环节的伯德图10-7-20控制系统的频率特性92积分环节sKsG)(频率特性：090()jKKKGjjej积分环节的Bode图,log20log20log20)(log20)(KKjGL11,()0;10()20KLLdB当时，当时，10()(0)90KtgKjG)(1KdBL/)(()902040204011010011010010K0)(;log20)(,10LKKLK时，当时，当可见斜率为－20dB/dec当有两个积分环节时可见斜率为－40dB/dec10-7-20控制系统的频率特性101221(),()1GjtgTT惯性环节的Bode图3惯性环节1()1GsTs1()1GjTj①对数幅频特性：，为了图示简单，采用分段直线近似表示。方法如下：22()20log()20log1LGjT低频段：当时，，称为低频渐近线。1T()0L高频段：当时，，称为高频渐近线。这是一条斜率为-20dB/dec的直线（表示每增加10倍频程幅值下降20分贝）。1T()20logLT当时，对数幅频曲线趋近于低频渐近线，当时，趋近于高频渐近线。0低频高频渐近线的交点为：称为转折频率或交换频率。TTT1,1可以用这两个渐近线近似的表示惯性环节的对数幅频特性。10-7-20控制系统的频率特性11惯性环节的Bode图100-10-20-90°-45°0°T1T201T101T51T21T5T10T20T2渐近线图中，红、绿线分别是低频、高频渐近线，蓝线是实际曲线。10-7-20控制系统的频率特性12惯性环节的Bode图伯德图误差分析（实际频率特性和渐近线之间的误差）：当时，误差为：T2211log20T当时，误差为：TTTlog201log20222最大误差发生在处，为TT1)(31log20202maxdBTT0.10.20.512510L(),dB-0.04-0.2-1-3-7-14.2-20.04渐近线,dB0000-6-14-20误差,dB-0.04-0.2-1-3-1-0.2-0.04-4-3-2-10T1T101T51T21T5T10T210-7-20控制系统的频率特性13②相频特性：1()tgT作图时先用计算器计算几个特殊点：00110(0)0;()45;()90TT当时，当时，当时，。由图不难看出相频特性曲线在半对数坐标系中对于(w0,-45°)点是斜对称的，这是对数相频特性的一个特点。当时间常数T变化时，对数幅频特性和对数相频特性的形状都不变，仅仅是根据转折频率1/T的大小整条曲线向左或向右平移即可。而当增益改变时，相频特性不变，幅频特性上下平移。惯性环节的Bode图T0.010.020.050.10.20.30.50.71.0-0.6-1.1-2.9-5.7-11.3-16.7-26.6-35-45T2.03.04.05.07.0102050100-63.4-71.5-76-78.7-81.9-84.3-87.1-88.9-89.4()()()10-7-20控制系统的频率特性144振荡环节222221()212nnnGsTsTsss讨论时的情况。10TjTjG2)1(1)(22振荡环节的Bode图2222)2()1(1)(TTjG幅频特性为：01222()1801TtgT相频特性为：2222)2()1(log20)(log20)(TTjGL对数幅频特性为：低频段渐近线：0)(1LT时，高频段渐近线：TTLTlog40)(log20)(1222时，两渐近线的交点称为转折频率。斜率为-40dB/dec。TT110-7-20控制系统的频率特性15相频特性：几个特征点：0010,()0;,()90;,()180T。由图可见：①对数相频特性曲线在半对数坐标系中对于(0,-90°)点是斜对称的。②对数幅频特性曲线有峰值。3.0,1,10TKTo1DecdB/4016.010)(2ssjG振荡环节的Bode图TTTtg112221)(jG0122211801TtgTT10-7-20控制系统的频率特性16振荡环节的Bode图T1T101T51T21T5T10T2-1001020-180°-150°-120°-60°-30°0°-90°渐近线0.17.05.03.02.01.00.17.05.03.02.01.0)(deg)())((dBL-8-40481216T1T101T51T21T5T10T26.05.04.03.02.01.00.18.07.0左图是不同阻尼系数情况下的对数幅频特性和对数相频特性图。上图是不同阻尼系数情况下的对数幅频特性实际曲线与渐近线之间的误差曲线。10-7-20控制系统的频率特性172222)2()1(1)(nnjG令2222)2()1()(nng012)2(2)2)(1(2)(222nnnngdtd)1(4)21()(2222222nng707.02201212rM谐振频率谐振频率与谐振峰值谐振峰值当707.0时，幅值曲线不可能有峰值出现，即不会有谐振2r12nrrM与关系曲线请看振荡环节的Bode图10-7-20控制系统的频率特性180.10.20.30.40.50.60.70.8051015图5-15rM与关系曲线rM/dB振荡环节的Bode图10-7-20控制系统的频率特性195微分环节微分环节有三种：纯微分、一阶微分和二阶微分。传递函数分别为：12)(1)()(22TssTsGTssGssG频率特性分别为：TjTjGjTjGjjG21)(1)()(22微分环节的Bode图10-7-20控制系统的频率特性20纯微分环节的Bode图①纯微分：0()()20log()20log()90GjLGj1100.1)/(srad))((dBL2020decdB/201100.1)/(srad)(deg)(°9000°90decdB/20微分环节微分环节积分环节积分环节10-7-20控制系统的频率特性21②一阶微分：相频特性：几个特殊点如下0010,()0;,()45;,()90T相角的变化范围从0到。090这是斜率为+20dB/dec的直线。低、高频渐近线的交点为TT1低频段渐近线：0)(log201)(1jGjGT，时，当高频段渐近线：TLTjGTlog20)()(1，时，当对数幅频特性（用渐近线近似）：一阶微分环节的Bode图TtgTjG122)(,1)(221lg20)(TL10-7-20控制系统的频率特性22一阶微分环节的Bode图100-10-20-90°-45°0°T1T201T101T51T21T5T10T20T2渐近线100302090°45°0°T1T201T101T51T21T5T10T20T2渐近线))((dBL)(deg)(10-7-20控制系统的频率特性23幅频和相频特性为：221222212)(,)2()1()(TTtgTTjG③二阶微分环节：12)(22TssTsG低频渐近线：0)(1LT时，高频渐近线：TTTLTlog40)2()1(lg20)(12222时，转折频率为：，高频段的斜率+40dB/dec。TT1相角：0010()0;,()90;,()180T当时，可见，相角的变化范围从0~180