第一章-控制系统的状态空间表达式-现代控制理论

1第一章控制系统的状态空间表达式§1-1状态变量及状态空间表达式§1-2状态空间表达式的模拟结构图§1-3状态空间表达式的建立(一)§1-4状态空间表达式的建立(二)§1-5状态向量的线性变换(坐标变换)§1-6从状态空间表达式求传递函数阵§1-7离散时间系统的状态空间表达式2在经典控制理论中，对一个线性定常系统，可用常微分方程或传递函数加以描述，可将某个单变量作为输出，直接和输入联系起来。微分方程或传递函数对内部的中间变量是不便描述的，因而不能包含系统的所有信息。显然，从能否完全揭示系统的全部运动状态来说，用微分方程或传递函数来描述一个线性定常系统有其不足之处。3在用状态空间法分析系统时，系统的动态特性是用由状态变量构成的一阶微分方程组来描述的。它能反映系统的全部独立变量的变化，从而能同时确定系统的全部内部运动状态，而且还可以方便地处理初始条件。在设计控制系统时，不再只局限于输入量、输出量、误差量，为提高系统性能提供了有力的工具。还可利用计算机进行分析设计及实时控制，因而可以应用于非线性系统、时变系统、多输入—多输出系统以及随机过程等。4§1-1状态变量及状态空间表达式一、状态变量足以完全表征系统运动状态的最小个数的一组变量为状态变量。一个用n阶微分方程描述的系统，就有n个独立变量，可以说该系统的状态变量就是n阶系统的n个独立变量。5同一个系统，究竟选取哪些变量作为独立变量，这不是唯一的，重要的是这些变量应该是相互独立的，且其个数应等于微分方程的阶数；又由于微分方程的阶数唯一地取决于系统中独立储能元件的个数，因此状态变量的个数就应等于系统独立储能元件的个数。n阶微分方程式要有唯一确定的解，必须知道n个独立的初始条件。这n个独立的初始条件就是一组状态变量在初始时刻t0的值。6综上所述，状态变量是足以完全确定系统运动状态而个数又是最小的一组变量，当其在t=t0时刻的值已知时，则在给定tt0时间的输入作用下，便能完全确定系统在任何tt0时间的行为。7二、状态矢量如果n个状态变量用x1(t)、x2(t)、…、xn(t)表示，并把这些状态变量看作是矢量x(t)的分量，则x(t)就称为状态矢量。记作:或)()()()(21txtxtxtxnTnTtttxxxtx)(,),(),(21)(8三、状态空间以状态变量x1、x2、…、xn为坐标轴所构成的n维空间，称为状态空间。在特定时刻t，状态矢量x(t)在状态空间中是一点。已知初始时刻t0的状态x(t0)，就得到状态空间中的一个初始点。随着时间的推移，x(t)将在状态空间中描绘出一条轨迹，称为状态轨线。9四、状态方程由系统的状态变量构成的一阶微分方程组称为系统的状态方程。10[引例1]图1-1所示的R-L-C网络，用状态变量描述这一系统。此系统有两个独立储能元件，即电容C和电感L，所以应有两个状态变量。考虑到电容的储能与其两端的电压Uc和电感的储能与流经它的电流i均直接相关，故通常就以Uc和i作为此系统的两个状态变量。11根据电工学原理，写出两个含有状态变量的一阶微分方程组：uuRidtdiLidtduCccuLiLRLiiCuucc111亦即(1-1)上式就是图1-1系统的状态方程。12uLxxLRLCxx101102121若将状态变量用一般符号表示，即令x1=uc，x2=i，并写成矢量矩阵形式，则状态方程为(1-2)buAxx或式中LbLCLCAxxx10,110,21uLiLRLiiCuucc11113五、输出方程在指定系统输出的情况下，该输出与状态变量间的函数关系式，称为系统的输出方程。或在图1-1系统中，指定x1=uc作为输出，输出一般用y表示，则有uycxy1式(1-3)就是图1-1系统的输出方程。(1-3)14式(1-3)的矩阵表示式为xxy2101或式中cxy01c(1-4)15六、状态空间表达式状态方程和输出方程总合起来，构成对一个系统完整的动态描述，称为系统的状态空间表达式。式(1-2)和式(1-4)就是图1-1系统的状态空间表达式。在经典控制理论中，用指定某个输出量的高阶微分方程来描述系统的动态过程。16如果要从高阶微分方程或传递函数变换为状态方程，即分解为多个一阶微分方程，那么此时的状态方程可以有无穷多种形式，这是由于状态变量的选取可以有无穷多种的缘故。相应的传递函数为LCsLRLCsUUssc112)()((1-6)如图1-1所示的系统，在以uc作输出时，从式(1-1)消去中间变量i，得到二阶微分方程为uLCuLCuLRuccc11(1-5))11(111uLiLRuLiiCucc17uLCxLRLCx10110(1-8)即式(1-5)或式(1-6)的二阶系统，若改选uc和作为两个状态变量，即令，则得一阶微分方程组为ucuxuxcc21,uLCxLRxLCxxx1121221(1-7)比较式(1-8)和式(1-2)，同一系统中，状态变量选取的不同，状态方程也不同。uLCuLCuLRuccc1118从理论上说，并不要求状态变量在物理上一定是可以测量的量，但在工程实际上，仍以选取那些容易测量的量作为状态变量为宜，因为在最优控制中，往往需要将状态变量作为反馈量。19单输入—单输出定常系统输出方程式则有如下形式nnxcxcxcy2211ubxaxaxaxubxaxaxaxubxaxaxaxnnnnnnnnnnn2211222221212112121111其状态变量为x1，x2，…，xn，则状态方程的一般形式为：20式中nxxx21x——n维状态矢量；用矢量矩阵表示时的状态空间表达式则为cxybuAxx(1-9)21—系统内部状态的联系，称为系统矩阵，为nn方阵；nnnnnaaaaaaaaa2121222111211A—输入对状态的作用，称为输入矩阵或控制矩阵，这里为n1的列阵;nbbb21b][21ncccc—1n的输出矩阵。22一个具有r个输入，m个输出复杂系统状态方程变为rnrnnnnnnnnrrnnrrnnubububxaxaxaxubububxaxaxaxubububxaxaxax2211221122221212222121212121111212111123输出方程不仅是状态变量的组合，而且在特殊情况下，还可能有输入矢量的直接传递，因而有如下的一般形式：rmrmmnmnmmmrrnnrrnnudududxcxcxcyudududxcxcxcyudududxcxcxcy2211221122221212222121212121111212111124式中x和A—同单输入系统，分别为n维状态矢量和nn系统矩阵；ruuu21u—r维输入(或控制)矢量；多输入—多输出系统状态空间表达式的矢量矩阵形式为DuCxyBuAxx(1-10)25—m维输出矢量myyy21ynrnnrrbbbbbbbbb212222111211B—nr输入(控制)矩阵—mn输出矩阵mnmmnnccccccccc212222111211C26mrmmrrddddddddd212222111211D—mr直接传递矩阵为了简便，下面除特别申明，在输出方程中，均不考虑输入矢量的直接传递，即令D=0。27七、状态空间表达式的系统方块图对于式(1-9)和式(1-10)所描述的系统，它们的方块图分别如图1-2a和1-2b所示。图中用单线箭头表示标量信号，用双线箭头表示矢量信号。28从状态空间表达式和系统方块图都能清楚地说明：它们既表征了输入对于系统内部状态的因果关系，又反映了内部状态对于外部输出的影响，所以状态空间表达式是对系统的一种完全的描述。29§1-2状态空间表达式的模拟结构图在状态空间分析中，采用模拟结构图来反映系统各状态变量之间的信息传递关系，对建立系统的状态空间表达式很有帮助。为了简便，这里用方块结构图代替模拟计算机的详细模拟图。30状态空间表达式的结构图可按如下步骤绘制：积分器的数目应等于状态变量数，将它们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量；根据所给的状态方程和输出方程，画出相应的加法器和比例器；最后用箭头将这些元件连接起来。31以一阶标量微分方程为例：buaxx其模拟结构图示于图1-3。32buxaxaxax012再以三阶微分方程为例：buxaxaxax012将最高阶导数留在等式左边，上式可改写成其模拟结构图示于图1-4。33图1-5是此三阶系统的模拟结构图。已知状态空间表达式，也可画出相应的模拟结构图。2132133221236xxyuxxxxxxxx34图1-6是二输入二输出的二阶系统的模拟结构图。2221212212111122212122212122121112121111xcxcyxcxcyububxaxaxububxaxax二输入二输出的二阶系统35从图1-6可以看出，一个二输入二输出的二阶系统，其结构图已经相当复杂，如果系统再复杂一些，其信息传递关系更为繁琐。所以多输入多输出系统的结构图多以如图1-2的矢量结构图的形式表示。36§1-3状态空间表达式的建立(一)用状态空间法分析系统时，首先要建立给定系统的状态空间表达式。本节先介绍前二种方法。这个表达式一般可以从三个途径求得：一是由系统方块图来建立，即根据系统各个环节的实际连结，写出相应的状态空间表达式。二是从系统的物理或化学的机理出发进行推导。三是由描述系统运动过程的高阶微分方程或传递函数予以演化而得。37一、从系统方块图出发建立状态空间表达式首先将系统的各个环节按§1-2所述，变换成相应的模拟结构图，并把每个积分器的输出选作一个状态变量xi，其输入便是相应的；ix然后由模拟图直接写出系统的状态方程和输出方程。38系统方块图如图1-7a所示，输入为u，输出为y，试求其状态空间表达式。eTKxTx113131[例1-1]解各环节的模拟结构图，如图1-7b所示。)(1)(113sEsTKsX)(1)(1113sETsTKsX39从图可知uTKxTKKxTxxTKxTxxTKx111141313322222233111状态方程1xy输出方程40写成矢量矩阵形式，系统的状态空间表达式为xuxx0010010100011114122233yTKTTKKTKTTK41对于含有零点的环节，如图1-8a所示的系统。可将其展开成部分分式，即从而得到等效方块图如图1-8b所示。pspzpszs142模拟结构图如图1-8c所示。upzpxxpzxKuKxKxxxaxx)()(31331221143从图可得系统的状态空间表达式为xuxx00100)(001ypzKppzKKaupzp