32.2.1条件概率

1.事件A与B至少有一个发生的事件叫做A与B的和事件,记为(或);ABAB复习引入：3.若为不可能事件,则说事件A与B互斥.AB()()()PABPAPB2.事件A与B都发生的事件叫做A与B的积事件,记为(或);ABAB三张奖券中只有一张能中奖，现分别由3名同学无放回地抽取，问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两位小？“最后一名同学抽到中奖奖券”为事件BX,X,Y12112211212221,,,,,XXYYXXXYXYXXYXXXXY解：设三张奖券为，其中Y表示中奖奖券且Ω为所有结果组成的全体，“最后一名同学中奖”为事件B，则所研究的样本空间B1221,XXYXXBY()1()()3nBPBn由古典概型可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为：一般地，我们用来表示所有基本事件的集合，叫做基本事件空间（或样本空间）一般地，n(B)表示事件B包含的基本事件的个数如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率又是多少？分析：可设”第一名同学没有中奖”为事件A12221112,,,XXYXYXXYXXXY1221,XXYXXBY211423由古典概型概率公式，所求概率为第一名同学没有抽到中奖奖券的条件下，最后一名同学抽到中奖奖券的概率记为P(B|A）=1/2(通常适用古典概率模型)(适用于一般的概率模型)推广一般地,设Ａ，Ｂ为两个事件,且Ｐ（A）＞０，称()()()PABPBAPA为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．1、定义条件概率ConditionalProbability一般把P（B︱A）读作A发生的条件下B的概率。2.注意：⑴0(|)PBA≤≤1;⑵几何解释:BAP(B|A)相当于把Ａ看作新的基本事件空间求Ａ∩Ｂ发生的概率3BCPBCA(),()条件概率的加法公式若和是两个互斥事件则()()PBAPCA概率P(B|A)与P(AB)的区别与联系联系：事件A，B都发生了区别：（1）在P(B|A)中，事件A，B发生有时间上的差异，A先B后；在P（AB）中，事件A，B同时发生。（2）样本空间不同，在P(B|A)中，事件A成为样本空间；在P（AB）中，样本空间仍为。因而有()()PBAPAB在5道题中有3道理科题和2道文科题。如果不放回地依次抽取2道题，求：(1)第1次抽到理科题的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率。例1解：设“第1次抽到理科题”为事件A，“第2次抽到理科题”为事件B，则“第1次和第2次都抽到理科题”就是事件AB.Ω为“从5道题中不放回地依次抽取2道题的样本空间。”.532012)()()(,12)(,20)()1(141325nAnAPAAAnAn.103206)n(n(AB))(6,)n()2(23ABPAAB.2153103)()()|(1)3(APABPABP法21126)()()|(2AnABnABP法例2、一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求（1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；（2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率。112(12)()2iiAiAAAA解：设第次按对密码为事件，则表示不超过次就按对密码。12iAAA（1）因为事件与事件互斥，由概率的加法公式得112()()()PAPAPAA1911101095例2、一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求（1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；（2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率。B（2）用表示最后一位按偶数的事件，则112()()()PABPABPAAB14125545112(12)()2iiAiAAAA解：设第次按对密码为事件，则表示不超过次就按对密码。求解条件概率的一般步骤：反思求解条件概率的一般步骤：（1）用字母表示有关事件（2）求P(AB），P(A)或n(AB),n(A)(3)利用条件概率公式求((())())PABPAnABPBAnA在某次外交谈判中，中外双方都为了自身的利益而互不相让，这时对方有个外交官提议以抛掷一颗骰子决定,若已知出现点数不超过3的条件下再出现点数为奇数则按对方的决议处理，否则按中方的决议处理，假如你在现场，你会如何抉择？B={出现的点数是奇数}＝｛１，３，５｝设A={出现的点数不超过3}＝｛１，２，３｝只需求事件A发生的条件下，事件B的概率即Ｐ（B｜A）()2(|)()3nABPBAnAB5A2134,6解法一（减缩样本空间法）例题2解1：在某次外交谈判中，中外双方都为了自身的利益而互不相让，这时对方有个外交官提议以抛掷一颗骰子决定,若已知出现点数不超过3的条件下再出现点数为奇数则按对方的决议处理，否则按中方的决议处理，假如你在现场，你会如何抉择？B={出现的点数是奇数}＝｛１，３，５｝设A={出现的点数不超过3}＝｛１，２，３｝只需求事件A发生的条件下，事件B的概率即Ｐ（B｜A）B5A2134,6例题2解2：由条件概率定义得：()(|)()pABPBApA123132解法二（条件概率定义法）例3设100件产品中有70件一等品，25件二等品，规定一、二等品为合格品．从中任取1件，求(1)取得一等品的概率；(2)已知取得的是合格品，求它是一等品的概率．解设B表示取得一等品，A表示取得合格品，则（1）因为100件产品中有70件一等品，70()0.7100PB（2）方法1：70()0.736895PBA方法2：()()()PABPBAPA因为95件合格品中有70件一等品，所以701000.736895100AB70955BAABB课堂练习1.甲乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲乙两地一年中雨天所占的比例分别为20％和18％，两地同时下雨的比例为12％，问：（1）乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少？（2）甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少？解：设A={甲地为雨天}，B={乙地为雨天}，则P(A)=20%，P(B)=18%，P(AB)=12%，1()12%2()()18%3PABPABPB（）乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是2()12%3()()20%5PABPBAPA（）甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是2.厂别甲厂乙厂合计数量等级合格品次品合计47564411912556815007002001一批同型号产品由甲、乙两厂生产，产品结构如下表：（1）从这批产品中随意地取一件，则这件产品恰好是次品的概率是_________；（2）在已知取出的产品是甲厂生产的，则这件产品恰好是次品的概率是_________；274001203.掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点条件下，问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少?()(|)()nABPABnB解:设A={掷出点数之和不小于10},B={第一颗掷出6点}31624.一盒子装有4只产品,其中有3只一等品,1只二等品.从中取产品两次,每次任取一只,作不放回抽样.设事件A为“第一次取到的是一等品”,事件B为“第二次取到的是一等品”,试求条件概率P(B|A).解由条件概率的公式得()()()nABPBAnA69231.条件概率的定义.()()()PABPBAPA课堂小结2.条件概率的性质.3.条件概率的计算方法.（1）减缩样本空间法（2）条件概率定义法()()()PABPBAPA送给同学们一段话：在概率的世界里充满着和我们直觉截然不同的事物。面对表象同学们要坚持实事求是的态度、锲而不舍的精神。尽管我们的学习生活充满艰辛，但我相信只要同学们不断进取、挑战自我，我们一定会达到成功的彼岸！