辅助线在中考中的应用专题

辅助线在中考中的应用专题——三角形中的辅助线《三角形》一章是同学们学习几何证明的基础.在学习过程中,有些同学常常对几何证明题辅助线的添加方法显得束手无策,下面我们就来一起探究三角形中常见辅助线的作法.人说几何很困难，难点就在辅助线.辅助线，如何添？把握定理和概念.还要刻苦加钻研，找出规律凭经验.图中有角平分线，可向两边作垂线.也可将图对折看，对称以后关系现.角平分线平行线，等腰三角形来添.角平分线加垂线，三线合一试试看.线段垂直平分线，常向两端把线连.要证线段倍与半，延长缩短可试验.三角形中有中线，延长中线等中线.1.三角形中的性质:(1)三角形的两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;(2)三角形的三内角之和为180度;(3)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和.2.三角形中的线:中线;高线;角平分线;中垂线.(1)等腰三角形;(2)等边三角形;(3)直角三角形;(4)等腰直角三角形.3.特殊的三角形:1.中线倍长法2.截长补短法3.角平分线构造全等法4.垂直平分线5.补形法常用辅助线连接已知点，构造全等三角形典例1:如图,AB=AD,BC=DC,求证:∠B=∠D.ACBD1.连结AC构造全等三角形2.连结BD构造两个等腰三角形典例2:如图,AB=AE,BC=ED,∠B=∠E,AM⊥CD,求证:点M是CD的中点.ACBD连结AC、AD构造全等三角形EM连接已知点，构造全等三角形连接已知点，构造全等三角形典例3:如图,AB=AC,BD=CD,M、N分别是BD、CD的中点，求证：∠AMB＝∠ANCACBD连结AD构造全等三角形NM典例4:如图,AB与CD交于O,且AB=CD，AD=BC，OB=5cm，求OD的长.ACBD连结BD构造全等三角形O连接已知点，构造全等三角形典例1:如图,△ABC中,∠C=90o,BC=10,BD=6,AD平分∠BAC,求点D到AB的距离.过点D作DE⊥AB构造了:全等的直角三角形且距离相等ACDBE角平分线上向两边作垂线段典例2:如图,△ABC中,∠C=90o,AC=BC,AD平分∠BAC,求证:AB=AC+DC.ACD过点D作DE⊥AB构造了:全等的直角三角形且距离相等BE角平分线上向两边作垂线段典例3:如图,梯形中,∠A=∠D=90o,BE、CE均是角平分线,求证:BC=AB+CD.过点E作EF⊥BC构造了:全等的直角三角形且距离相等思考:你从本题中还能得到哪些结论?ACDBFE角平分线上向两边作垂线段2.如图,梯形中,∠A=∠D=90o,BE、CE均是角平分线,求证:BC=AB+CD.延长BE和CD交于点F构造了:全等的直角三角形F思考:你从本题中还能得到哪些结论?ACDBE角平分线上向两边作垂线段1212典例4:如图,OC平分∠AOB,∠DOE+∠DPE=180o,求证:PD=PE.ACD过点P作PF⊥OA,PG⊥OB构造了:全等的直角三角形且距离相等BF思考:你从本题中还能得到哪些结论?EPGO角平分线上向两边作垂线段1.AD是△ABC的中线，ABCDE)(21ACABAD求证：延长AD到点E，使DE=AE，连结CE.中线倍长•已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是。•已知ΔABC中，AB=8，AC=6，连BC上的中线AD=5，求BC的长如图,△ABC中,∠A=90o,D在AB的垂直平分线上,E在AC的垂直平分线上.若BC=6cm,求△ADE的周长.BACDEAD+AE+DE=BD+CE+DE=BC垂直平分线两边连3.如图,A、A1关于OM对称,A、A2关于ON对称.若A1A2=6cm,求△ABC的周长.BACOMAB+AC+BC=A1B+A2C+BC=A1A2A1A2N垂直平分线两边连4.如图,△ABC中，MN是AC的垂直平分线.若AN=3cm,△ABM周长为13cm，求△ABC的周长.BACMAB+BC+AC=AB+BM+MC+6=NAB+BM+AM+6=13+6=19垂直平分线两边连5.如图,△ABC中，BP、CP是△ABC的角平分线，MN//BC.若BC=6cm,△AMN周长为13cm，求△ABC的周长.BACPAB+AC+BC=AM+BM+AN+NC+6=NAM+MP+AN+NP+6=13+6=19MAM+AN+MN+6=等腰三角形性质例4.如图,BC＞AB,BD平分∠ABC,且AD=DC,求证∠A＋∠C=180°.分析:我们要证∠A＋∠C=180°.设法将∠A和∠C“搬”到一块,拼成一个平角,现有以下几种方式.又∠BED＋∠DEC=180°,故∠A＋∠C=180°.证法1:如图在BC上截取BE=AB,连DE,可证△ABD≌△EBD.得到DE=AD=DC,∠A=∠DEB,∴∠C=∠DEC,证法2:如图延长BA至F,使BF=BC连接DF.则有△BDF≌△BDC,得CD=DF=AD,∠C=∠F.由∠BAF为平角可证结论成立.证法3:如图,过D分别作∠ABC的两边的垂线,E、F为垂足,则DE=DF,易证△ADF≌△CDE,有∠C=∠DAF,故∠BAD＋∠C=180°.证法4:如图,过A作BD垂线交BC于G,交BD于H,连DC,易证△ABH≌△GBH,则AB=BG,AH=HG,根据等腰三角形的“三线合一”知DG=AD=DC.∴△ABD≌△GBD，∴∠BAD=∠BGD,故∠BAD＋∠C=180°.点评：1.四种证法都利用了“拼”的方法,所不同的是有截取、延长、作垂线等方法.2.前三种方法是利用构造全等三角形和等腰三角形作转化,第四种方法是反复运用等腰三角形的性质进行转化,这些方法具有代表性.3.几何证题中要学会转化思想,它是一种常用的数学思想方法,必须熟练掌握.EBDCFAGH121.已知:BC平分∠EBD,AF∥BC,F是ED的中点.求证:EG=AD分析:有中线且证明两线段相等,一般延长构造全等三角形.延长GF到H使FG=HF,连接DH.证明:延长GF到H使FG=HF,连接DH.EBDCFAGH,.EBCDBCEGFAAHADDHEGAD∵F是ED的中点∴EF=FD∴△EGF≌△DHFEGFH∴EG=DH,EGFEBCDBCA∴∵AF∥BC2.在等腰三角形ABC的底边BC上取任意一点D,过点D作DE⊥AB,DF⊥AC.过点B作AC边上的高BG.求证:等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.分析:如图所示要证两线段之和等于第三边要么截长要么补短两种方法都行.由题意三条线段都是高线也可用面积相等来做.∴DE+DF=BG方法一:(截长法)H过D做DH⊥BG交BG于H.则DF=GH,△BDE≌△DBH得BH=DE∴DE+DF=BG方法二:(补短法)延长FD,过B做BH⊥FD交FD于H.则HF=GB,△BDE≌△DBH得DH=DEH方法三:(等积法)连接ADABCADCABDSSS∵BGDFDEBGABDFDEABACABBGACDFACDEAB)(212121∴3.已知如下图示:D、E为△ABC内两点,求证:AB＋AC＞BD＋DE＋CE.ABCDENM分析:本题求证几边之和大于另外几边之和的问题,通常构造三角形,利用两边之和大于第三边,从而求解.有两种方法.ABCDENM证明:(法一)将DE两边延长分别交AB、AC于M、N,在△AMN中,AM＋AN＞MD＋DE＋NE;(1)在△BDM中,MB＋MD＞BD;(2)在△CEN中,CN＋NE＞CE；(3)由(1)＋(2)＋(3)得:AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC法二:如右图,延长BD交AC于F,延长CE交BF于G,在△ABF和△GFC和△GDE中有:AB＋AF＞BD＋DG＋GF(三角形两边之和大于第三边)…………（1）ABCDEFGGF＋FC＞GE＋CE(同上)……………（2）DG＋GE＞DE(同上)……………（3）由(1)＋(2)＋(3)得:AB＋AF＋GF＋FC＋DG＋GE＞BD＋DG＋GF＋GE＋CE＋DE∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC.4.如图:已知D为△ABC内的任一点,求证:∠BDC＞∠BAC.AD.CBEF分析:要证明两角的大小,尽量把这两角向一个三角形中转化,利用大角对大边;如果不行可以利用三角形的外角定理;也可以放缩.同理∠DEC＞∠BAC,证法一:延长BD交AC于点E,这时∠BDC是△EDC的外角,∴∠BDC＞∠BACAD.CBE∴∠BDC＞∠DEC,即：∠BDC＞∠BAC.AD.CBF证法二:连接AD,并延长交BC于F∵∠BDF是△ABD的外角∴∠BDF＞∠BAD，同理，∠CDF＞∠CAD∴∠BDF＋∠CDF＞∠BAD＋∠CAD12345.已知△ABC,AD是BC边上的中线,分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形,如下图,求证EF＝2AD.ABCDEF分析:本题要证倍半需延长短的线段.G延长AD到G使DG=AD,连接BG证明:延长AD到G使DG=AD,连接BG.可证△BGD≌△CAD∴∠2＝∠3，BG=AC,∵△ABE和△ACF是等腰直角三角形.∴∠BAE=∠CAF=90º,AB=AE,AC=AF.∴∠EAF=360º-90-90º-(∠1+∠2)=180º-(∠1+∠2)∴EF=AG=2ADGABCDEF123在△ABG中∠ABG=180º-(∠1+∠3)∴∠ABG=∠EAF,∴可证△EAF≌△ABG(SAS)6.如图:已知AC＝BD,AD⊥AC于A,BC⊥BD于B,求证:AD＝BC分析:要证两线段的长相等,需要构造全等三角形,利用全等三角形对应边相等即可.可分别延长DA,CB,交于E点EABCDO()()()EEDBECAEBDAC公共角已证已知证明:(方法一)分别延长DA,CB,交于E点,∵AD⊥ACBC⊥BD(已知)∴∠CAE＝∠DBE＝90°(垂直的定义)∴ED－EA＝EC－EB即:AD＝BC.EABCDO在△DBE与△CAE中∵∴△DBE≌△CAE(AAS)∴ED＝ECEB＝EA(全等三角形对应边相等)证明:(方法二)在△ADC与△BCD中∵AD⊥ACBC⊥BD(已知)ABCDO∵BD=AC,DC(共用)∴△ADC≌△BCD(HL)∴AD＝BC(全等三角形对应边相等)∴∠CAD＝∠DBC＝90º(垂直的定义)7.已知:如图,AC、BD相交于O点,且AB＝DC,AC＝BD,求证:∠A＝∠D.BDCAO分析:由图知是“又字”形轴对称图形,要证两角相等要么构造等腰三角形;要么构造全等.DCBAO∴∠A＝∠D(全等三角形对应边相等)证明:连接BC,在△ABC和△DCB中)()()(公共边已知已知CBBCDBACDCAB∵∴△ABC≌△DCB(SSS)8.在⊿ABC中,AD⊥BC,∠CAD＞∠BAD,求证:AC＞ABDABC分析:要证AC＞AB只需利用大边对大角.E方法二:在DC上截取DE=BD方法一:可直接证明∠B﹥∠C证明:(方法二)在DC上截取DE=BD,连接AE,则可证明△ABD≌△ADE,∴AC﹥AB∴∠B＝∠AED∵∠AED﹥∠C,∠AEC﹥∠B,∴∠AEC﹥∠CABCDE四边形•平行四边形出现，对称中心等分点。梯形问题巧转换，变为三角或平四。•平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上中位线。•上述方法不奏效，过腰中点全等造。证相似，比线段，添线平行成习惯。•等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。•斜边上面作高线，比例中项一大片。特殊四边形1．利用一组对边平行且相等构造平行四边形例1如图，已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点，四边形OCDE是平行四边形.求证:OE与AD互相平分.一、与平行四边形有关的辅助线作法证四边形AODE为平行四边形特殊四边形2．利用两组对边平行构造平行四边形例2如图，在△ABC中，E、F为AB上两点，AE=BF，ED//AC，FG//AC交BC分别为D，G.求证:ED+FG=