高考数学专题复习一数形结合思想

数缺形时少直观形缺数时难入微——华罗庚数形结合思想思想方法概述热点分类突破真题与押题数形结合的对应•数形•坐标点•函数图象•方程曲线思想方法概述1.数形结合的数学思想：“以形助数”借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；“以数辅形”借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.2.运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：(1)等价性原则.(2)双方性原则.(3)简单性原则.3.数形结合思想解决的问题常有以下几种：(1)求参数.(2)研究方程根.(3)研究量与量之间的大小关系.(4)最值问题和证明不等式.(5)构建立体几何模型研究代数问题.(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题.(7)构建方程模型，求根的个数.(8)研究图形的形状、位置关系、性质等.4.数形结合思想应注意以下几点：(1)准确画出图象，注意函数的定义域.(2)小题能形不数，大题数主形辅热点一利用数形结合思想讨论方程的根热点二利用数形结合思想解不等式、求参数范围热点三利用数形结合思想解最值问题热点分类突破热点一利用数形结合思想讨论方程的根例1(2014·山东)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx，若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是()A.(0，12)B.(12，1)C.(1,2)D.(2，＋∞)解析先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx过A点时斜率为，12故f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k的范围为(，1).12答案B用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数.思维升华变式训练1设函数f(x)＝x2＋bx＋c，x≤0，2，x0，若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数为()A.1B.2C.3D.4解析由f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，解得b＝4，c＝2，∴f(x)＝x2＋4x＋2，x≤0，2，x0.作出函数y＝f(x)及y＝x的函数图象如图所示，由图可得交点有3个.答案C例2(1)已知奇函数f(x)的定义域是{x|x≠0，x∈R}，且在(0，＋∞)上单调递增，若f(1)＝0，则满足x·f(x)0的x的取值范围是____________.热点二利用数形结合思想解不等式、求参数范围由图可知x·f(x)0的x的取值范围是(－1,0)∪(0,1).解析作出符合条件的一个函数图象草图即可，(－1,0)∪(0,1)(2)若不等式|x－2a|≥x＋a－1对x∈R恒成立，则a的取值范围是________.12解析作出y＝|x－2a|和y＝x＋a－1的简图，12依题意知应有2a≤2－2a，故a≤.12－∞，12求参数范围或解不等式问题时经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问题，往往可以避免烦琐的运算，获得简捷的解答.思维升华变式训练2(1)设A＝{(x，y)|x2＋(y－1)2＝1}，B＝{(x，y)|x＋y＋m≥0}，则使A⊆B成立的实数m的取值范围是_______.解析集合A是一个圆x2＋(y－1)2＝1上的点的集合，集合B是一个不等式x＋y＋m≥0表示的平面区域内的点的集合，要使A⊆B，则应使圆被平面区域所包含(如图)，即直线x＋y＋m＝0应与圆相切或相离(在圆的下方)，而当直线与圆相切时有|m＋1|2＝1，又m0，所以m＝2－1，故m的取值范围是m≥2－1.答案[2－1，＋∞)(2)若不等式9－x2≤k(x＋2)－2的解集为区间[a，b]，且b－a＝2，则k＝________.解析令y1＝9－x2，y2＝k(x＋2)－2，在同一个坐标系中作出其图象，因9－x2≤k(x＋2)－2的解集为[a，b]且b－a＝2.结合图象知b＝3，a＝1，即直线与圆的交点坐标为(1,22).又因为点(－2，－2)在直线上，所以k＝22＋21＋2＝2.2例3(1)已知P是直线l：3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，则四边形PACB面积的最小值为________.热点三利用数形结合思想解最值问题解析从运动的观点看问题，当动点P沿直线3x＋4y＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形PAC的面积SRt△PAC＝12|PA|·|AC|＝12|PA|越来越大，从而S四边形PACB也越来越大；当点P从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形PACB变小，显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂直直线l时，S四边形PACB应有唯一的最小值，此时|PC|＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，从而|PA|＝|PC|2－|AC|2＝22.所以(S四边形PACB)min＝2×12×|PA|×|AC|＝22.答案22(2)已知点P(x，y)的坐标x，y满足x－2y＋1≥0，|x|－y－1≤0，则x2＋y2－6x＋9的取值范围是()A.[2,4]B.[2,16]C.[4,10]D.[4,16]解析画出可行域如图，所求的x2＋y2－6x＋9＝(x－3)2＋y2是点Q(3,0)到可行域上的点的距离的平方，由图形知最小值为Q到射线x－y－1＝0(x≥0)的距离d的平方，最大值为|QA|2＝16.∵d2＝(|3－0－1|12＋－12)2＝(2)2＝2.∴取值范围是[2,16].答案B(1)在几何的一些最值问题中，可以根据图形的性质结合图形上点的条件进行转换，快速求得最值.(2)如果(不)等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结合的思想方法来解题，即所谓的几何法求解.思维升华变式训练3(1)(2013·重庆)设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为()A.6B.4C.3D.2解析由题意，知圆的圆心坐标为(3，－1)，圆的半径长为2，|PQ|的最小值为圆心到直线x＝－3的距离减去圆的半径长，所以|PQ|min＝3－(－3)－2＝4.故选B.B(2)若实数x、y满足x－y＋1≤0，x0，y≤2，则yx的最小值是____.又的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率k.yx解析可行域如图所示.由图知，过点A的直线OA的斜率最小.联立x－y＋1＝0，y＝2，得A(1,2)，所以kOA＝2－01－0＝2.所以yx的最小值为2.答案21.在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义、复数的几何意义等都实现以形助数的途径，当试题中涉及这些问题的数量关系时，我们可以通过图形分析这些数量关系，达到解题的目的.本讲规律总结2.有些图形问题，单纯从图形上无法看出问题的结论，这就要对图形进行数量上的分析，通过数的帮助达到解题的目的.3.利用数形结合解题，有时只需把图象大致形状画出即可，不需要精确图象.4.数形结合思想常用模型：一次、二次函数图象；斜率公式；两点间的距离公式(或向量的模、复数的模)；点到直线的距离公式等.真题感悟押题精练真题与押题12真题感悟341.(2013·重庆)已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为()A.52－4B.17－1C.6－22D.17解析设P(x,0)，设C1(2,3)关于x轴的对称点为C1′(2，－3)，12真题感悟34那么|PC1|＋|PC2|＝|PC1′|＋|PC2|≥|C1′C2|＝2－32＋－3－42＝52.而|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥52－4.答案A12真题感悟342.(2014·江西)在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为()A.45πB.34πC.(6－25)πD.54π解析∵∠AOB＝90°，∴点O在圆C上.设直线2x＋y－4＝0与圆C相切于点D，则点C与点O间的距离等于它到直线2x＋y－4＝0的距离，∴点C在以O为焦点，以直线2x＋y－4＝0为准线的抛物线上，∴当且仅当O，C，D共线时，圆的直径最小为|OD|.12真题感悟3412真题感悟34又|OD|＝|2×0＋0－4|5＝45，∴圆C的最小半径为25，∴圆C面积的最小值为π(25)2＝45π.答案A12真题感悟343.(2013·课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝－x2＋2x，x≤0，lnx＋1，x0.若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是()A.(－∞，0]B.(－∞，1]C.[－2,1]D.[－2,0]解析函数y＝|f(x)|的图象如图.①当a＝0时，|f(x)|≥ax显然成立.②当a0时，只需在x0时，ln(x＋1)≥ax成立.比较对数函数与一次函数y＝ax的增长速度.显然不存在a0使ln(x＋1)≥ax在x0上恒成立.12真题感悟34③当a0时，只需在x0时，x2－2x≥ax成立.即a≥x－2成立，所以a≥－2.综上所述：－2≤a≤0.故选D.答案D12真题感悟344.(2014·天津)已知函数f(x)＝|x2＋3x|，x∈R.若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为________.12真题感悟34解析设y1＝f(x)＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|，在同一直角坐标系中作出y1＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|的图象如图所示.由图可知f(x)－a|x－1|＝0有4个互异的实数根等价于y1＝|x2＋3x|与y2＝a|x－1|的图象有4个不同的交点.当4个交点横坐标都小于1时，12真题感悟34y＝－x2－3x，y＝a1－x有两组不同解x1，x2，消y得x2＋(3－a)x＋a＝0，故Δ＝a2－10a＋90，且x1＋x2＝a－32，x1x2＝a1，联立可得0a1.当4个交点横坐标有两个小于1，两个大于1时，12真题感悟34y＝x2＋3x，y＝ax－1有两组不同解x3，x4.消去y得x2＋(3－a)x＋a＝0，故Δ＝a2－10a＋90，且x3＋x4＝a－32，x3x4＝a1，联立可得a9，综上知，0a1或a9.答案(0,1)∪(9，＋∞)押题精练1231.方程|x2－2x|＝a2＋1(a0)的解的个数是()A.1B.2C.3D.4456解析(数形结合法)∵a0，∴a2＋11.∴y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1的图象总有两个交点.而y＝|x2－2x|的图象如图，B2.不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为()A.(－∞，－1]∪[4，＋∞)B.(－∞，－2]∪[5，＋∞)C.[1,2]D.(－∞，1]∪[2，＋∞)押题精练123456押题精练123456解析f(x)＝|x＋3|－|x－1|＝－4x－3，2x＋2－3≤x1，4x≥1.画出函数f(x)的图象，如图，可以看出函数f(x)的最大值为4，故只要a2－3a≥4即可，解得a≤－1或a≥4.正确选项为A.答案A3.经过P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点，则直线l的斜率k和倾斜角α的取值范围分别为________，________.押题精练123456解析如图所示，结合图形：为使l与线段AB总有公