第二章阿什顿飞

第二章:消费理论专题1、对偶2、Integrability定理3、显示性偏好4、不确定性条件下的消费选择2.1、对偶理论意义：效用最大化：*max..,ustyyxxpxxxp支出最小化：*min..,hstuuupxxxxxp当,yeup、,uvyp时，效用最大化问题的解和支出最小化问题的解相同，即：,,,heuuxppxp,,,hvyyxppxp2.1.1：支出函数和偏好关系求证：对已知的任意的函数,:nEup，如果它满足支出函数的七个特征，则它是支出函数。即有：min,,..Eustuuppxxx准备知识：支出函数,eup的七个特征：1.在u取最低效用水平时，支出函数,eup为零2.在定义域:ne上连续3.对于所有的p0，支出函数在u上递增并且无上界4.在价格p上递增5.在价格p上一阶齐次性6.在价格p上为凹函数7.如果效用函数严格拟凹，有谢菲尔德引理：0000,,hiieuxuppp第一步：构造效用函数ux第二步：证明满足支出函数特征的,Epu是支出函数，即有min,,..Eystuuppxxx。0,nup，0,Eup，超平面：00,Eupxp闭半空间：000,,nAuEupxpxp2x1x,Aup2x1x000,,AuEupxpxp111,,nAuEupxpxp闭集、凸集...0,,,nnAuAuEuppxpxpp闭集、凸集定理：1.14：用Au构造偏好关系定理2.1：支出函数效用函数：函数,:nEup满足支出函数的七个特征，,,nnAuEuxpxpp，则由max0uuAuxx定义的函数:nu递增、无上界、拟凹。证明：max0uuAuxx，而Aux意味着有,Eupxp，所以，有：max0,,0uuEuxpxpp1、证明上述定义有意义，即max0,,0uEupxpp有解。,Euppx，,Eup有最大值max,Euppx，,Eup在u上为增函数，所以在,Eup取最大值时，u取最大值：maxˆuu。2、证明ux递增：12xx，有12uuxx。取12xx和0p，有12pxpx；根据ux的定义，有22,Eupxpx，和1212,EuAupxpxxx121121212max0,max0,uEuuuuuEuuuApxpxpxpxxxxxx3、证明ux无上界：4、证明ux拟凹：取1x、2x，线性组合121,0,1ttttxxx，求证：12min,tuuuxxx证明：设12uuxx,Eup在u上递增，有12,,EuEupxpx有11121,1,,,1,tEutEutEtEuuEupxpxpppxxx根据1ux和2ux的定义，有1122,,EuEupxpxpxpx12,1121,1,tEutttEutEupxpxpxpxpxpx1,tEupxpx11112max,min,ttuuEuuuuxxpxpxxxx定理2.2：衍生效用函数支出函数函数,:nEup满足支出函数的七个特征，ux为定理2.1中由函数E得到的递增、无上界和拟凹函数。对于所有的非负价格和效用，如果有min,,..Eustuuppxxx则，函数E为衍生效用函数ux导致的支出函数。证明：关键证明对于所有的uux，有：,min,min,minEuEuEuppxppxppx①证明：,minEuppx固定00p，00u，并设0uux根据ux的定义，有,Eupxpx函数E满足支出函数七特征，在u上递增，所以有0,Eupxp，这适用于所有的00p，因此，对于任意给定的价格向量0p，对于任意的x，有：000,Euppx，其中x满足0uux有000min,Euppxx，x满足0uux②证明：,minEuppx,Eup在价格上一阶其次性，满足欧拉定理：,,EuEupppp,Eup在价格上为凹函数，有：gxfx，即000fxfxxxfx000000,,,EuEuEupppppp即：0000000000,,,,,EuEuEuEuuEppppppppp得fxx0x0fx000gxfxfxxxfx到：000,,uuEEpppp函数E满足谢菲尔德引理，有：0000,,iiEuxuppp令000,Euxpp有00,Eupxp0uu0x00000000000,,,EuEuEuppppxppxp＝当0x最小化0px时，00000,minEupxpxp＝当0x没有最小化0px时，00000,minEupxpxp＝所以有，000min,Eupxpx，..st，0uu0x所以，000min,Eupxpx，..st，0uu0x所以有：min,Eupxpx，..st，0uu0x定理2.3：间接效用函数和直接效用函数的对偶性ux拟凹、可导，0iuxx，由此函数衍生的间接效用函数vp,px在价格向量p上有最小值，且有minuvxp,pxp证明：间接效应函数max,..vyustyp,xpxxvyvup,p,pxx对任何价格水平，有：minuvxp,pxp要证明minuvxp,pxp，只需证明minuvxp,pxp或者说，找到一个价格向量0p，有00uvxp,px。构造价格向量0p：给定00x，设00upx（边际效用等于价格）。进而设01，000ypx。有：00000uypxpx此即效用最大化00max,..ustyxpxx的一阶条件。0x使消费者达到最大效用。有000000vyvup,p,pxx当000minvvp,pxp,pxp时，0minuvxp,pxp当000minvvp,pxp,pxp时，0minuvxp,pxp所以有0minuvxp,pxp。由于0x任意选定，所以有minuvxp,pxp因此，minuvxp,pxpvp,px具有零阶齐次性，ˆ11vvvpp,px,p,px所以，minminˆ1ˆuvvxp,pxp,pp，ˆ1px定理2.4：Hotelling定理ux为消费者的直接效用函数，在收入为1y时，对商品i的反需求函数为ipx为：1iinjjjuxpuxxxxx证明：min1,.,1.1vsuvtp,pppxxx对最小化问题求解，构造拉格朗日函数：,11Lpvp,px根据包络定理，有iiupxx，1,...,in11nniiiiiiuxpxxx1iiinjjjuuxxpuxxxxx效用最大化问题中表示预算的边际效用：11,,,,niiiniiiuyuyxyyxyxypyxpxppp需求函数的特征：1.)预算平衡性2.)零阶齐次性3.)对称的的替代矩阵4.)负半定的替代矩阵5.)Cournot加总6.)Engel加总预算平衡性对称的的替代矩阵负半定的替代矩阵零阶齐次性Cournot加总Engel加总定理2.5：马歇尔需求函数,yxp满足预算平衡性，其Slutsky矩阵是对称的，则在p和y上，它满足零阶齐次性。证明：略定理2.6:一体性定理:函数1:nnnx是由递增的、拟凹的效用函数导出的需求函数该函数满足预算平衡性、对称性和负半定性。证明：函数1:nnnx满足预算平衡性、对称性和负半定性该函数是由递增的、拟凹的效用函数导出的需求函数。要点：找出效用函数。显示性偏好偏好基础上的（公理性）消费者理论：偏好关系消费者需求效用最大化：*max..,ustyyxxpxxxp消费者需求,yxp的特征：预算平衡性负半定性对称性选择基础上的消费者理论：消费者的选择行为需求函数消费者的选择行为：选择函数,yxp，在价格为p收入为y时，消费者选择的商品束为,yxp。需求函数：,yxp，定义：P.21：“效用最大化问题的解,yxp在被看作是价格p和收入y的函数的时候，被称为需求函数”。选择函数不是需求函数求证：在消费者的行为即选择函数,yxp满足某些条件时，该选择函数为需求函数，即该选择函数是效用最大化问题的解。方法：一体性定理：连续可导的函数1:nnnx在满足预算平衡性、对称性和负半定性特征时，它是由某个递增的、拟凹的效用函数产生的需求函数。求证：选择函数,yxp连续可导且满足预算平衡性、对称性和负半定性证明步骤：1.选择函数,yxp必须满足显示性偏好弱公理（WARP）（只有满足WARP的选择行为才有意义——选择具有一致性）。2.（假设）选择函数,yxp满足预算平衡性3.证明选择函数,yxp满足零阶齐次性4.证明选择函数,yxp满足负半定性5.证明选择函数,yxp满足对称性6.应用一体性定理显示（性）偏好：在某一价格p和收入水平y下，如果两个不同的消费束0x和1x都是消费者能够支付得起的1,yy0pxpx，消费者选择了0x而没有选择1x，则说，消费者的这一选择行为揭示出在消费束0x和1x之间，消费者偏好0x。此定义存在的问题：0x1x1x0x显示性偏好的弱公理（WARP）：某消费者在价格0p下选择0x，在价格1p下选择了1x，0x和1x是不同的消费束，如果0100pxpx，有1110pxpx，则说该消费者的行为满足WARP。换句话说，如果消费者的行为揭示出消费者偏好0x甚于偏好1x，而1x始终没有被揭示出优于0x，则说该消费者的选择行为满足显示性偏好的弱公理（WARP）。“如果0100pxpx”：在价格0p下，两个消费束都是可支付得起的；在价格0p下，消费者选择了0x，根据显示性偏好的定义，01xx，这意味着只要两个消费束都是可支付得起的，消费者将始终选择0x；在价格1p下，消费者选择1x而没有选择0x，这意味着在这一价格水平1p下，0x是消费者支付不起的，即1110pxpx。0x在价格0p下，消费者选择0x。0p1p显示性偏好的意义：消费者行为具有一致性，不“朝三暮四”。假设消费者行为满足显示性偏好的弱公理。证明步骤：1.选择函数,yxp必须满足显示性偏好弱公理（WARP）（只有满足WARP的选择行为才有意义——选择具有一致性）。2.（假设）选择函数,yxp满足预算平衡性3.证明选择函数,yxp满足零阶齐次性4.证明选