第二章静电场(二)案例

第二章静电场(二)2§2-1静电场的唯一性定理及其应用§2-2§2-3§2-4§2-5无限大介质交界平面的镜象§2-6§2-7§2-8§2-9带电导体系统的电场能量及其分布§2-10虚位移法计算电场力第二章静电场(二)3§2-1静电场的唯一性定理及其应用唯一性定理及其重要意义静电场中，满足一定边界条件(即前述三类边界条件)的泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的。静电场解的唯一性定理当场中介质及各导体的分布一定时：(1)给定各导体表面的电位值(见图2-1)，此时由边值问题解得之电位函数为唯一。图2-1位于不同介质的两给定电位的带电导体4图2-2位于不同介质的两给定电荷的带电导体(2)导体表面为等位面，给定各导体表面的电荷量(图2-2)，此时由边值问题所解得的电位函数，仅相差一无关紧要的常数。(3)若给定某些导体表面的电位值，及其它每一导体表面(导体表面为等位面)的电荷量(见图2-3)，此时由边值问题所解得的电位函数为唯一。图2-3位于不同介质量分别给定电荷和给定电位的两带电导体5唯一性定理的应用——等位面法根据唯一性定理，若沿场的等位面任意一侧，填充导电媒质，则等位面另侧的电场保持不变。如图2-4为两平行输电线的电场，若沿场中任一等位面k之一侧(这里我们沿其内侧)填充导电媒质(见图2-5)，则导电媒质以外之另一侧，其电场不变。因为这样处理之后：1.它保持了另一侧场的边界形状及介质分布不变，且对另一侧场而言，边界仍为等位面。填充导电媒质后，边界上的总电荷量等于填充导电媒质前边界上所穿过的总电通量，即亦即边界条件没有变化。2.它保持了另一侧场的介质及电荷分布不变。因而根据唯一性定理，另一侧的场没有变化。由于这一方法是沿等位面填充介质，因而称之为等位面法。SdnSdD6图2-4两平行输电线的电场图2-5沿场的等位面一侧，填充导电媒质后的电场7例2-1静电场唯一性定理在解静电解在物理学中，已知静电屏蔽现象：(1)接地的封闭导体壳内的电荷不影响壳外的电场；(2)封闭导体壳无论它是否接地，则壳内的电场不受壳外电荷的影响。作为唯一性定理的应用，图2-6(a)表示一种情形。设封闭导体壳的外表面为S1，对于壳外区域而言，它是一个边界面。无论壳内电荷q1在数量上增减或作位置上的移动，由于导体壳接地，恒有，始终没有改变壳外区域边界面上的边界条件。因此在这种情况下，壳内的电荷不影01s图2-6例2-1图81qSdnS图2-6(b)表示第二种情形。设封闭导体壳的内表面为S2，对于壳内区域而言它是一个边界面。首先，S2是一个等位面。其次，如在壳内紧贴S2作一高斯面S，则有即电位移矢量的通量为q1。因此以S2作为导体壳内电场的一个边界面，通过它的电通量仅仅决定于导体壳内的电荷，而与壳外的电荷分布是无关的。根据唯一性定理，当导体壳内带电导体都是给定电荷量时，电位函数可以相差一个常数，但是电场强度是唯一确定的。它不受导体壳外电荷q2的影响。这时甚至壳内的电位函数也是唯一确定的。总之，在第二种情况下，导体壳内的电场不受壳外电荷的影响。D9平行双电轴电场是一个平行平面场，在垂直于电轴的各个平面上，场有完全相同的分布图形。设介质电容率为ε0的空间有两无限长平行电轴，两电轴所带有的电荷线密度分别为0102RRE0202RRE,§2-2平行双电轴法平行双电轴电场(2-1)(2-2)由高斯定理可得两电轴分别产生的电场强度表达式为图2-7两平行输电线表面电荷分布10102/ln2ln21RDRdEDRP202/ln2ln22RDRdEDRP210ln2lnln2ln2RDRDppp（2-5）图2-8两电轴外任意一点P的电场由叠加原理，点P的电位为(2-4)(2-3)选取坐标轴的原点o为零电位点，点P电位为11图2-9平行双电轴电场等位线的分布规律在双电轴的电场中，等位面是一组偏心的圆柱族面。通常称零等位线的那个等位面为零电位面或中性面。12设某个等位圆之半径为R0，等位圆圆心至中性面距离为x0，以及电轴至中性面的距离为D/2，则R0、x0与D三者间的关系，可通过简单几何关系求得。在等位圆上选择特殊点A及B，令R2/R1=R2′/R1′=K(常数)，则有图2-10两平行同半径圆柱的等效电轴位置000000002222RDxDDxRRxDDxRk(2-6)22002DxR(2-7)13可知：1)若已知电轴位置，选取任意点x0为圆心，即可作出以x0为圆心R0为半径的等位圆。2)若已知电轴位置，给定任意的R0，亦可作出此等位圆圆心所在处x0的等位圆。3)若已知R0，及圆心的位置x0，亦可推出电轴所在的位置，亦即推求出距离D14图2-11两平行同半径圆柱体的几何中心轴与等效电轴的位置具有相同半径R0的平行双输电线。设每根导线单位长度上所带的电荷量分别为+τ及-τ，求电场分布。可认为导线的圆截面是沿某待求的双电轴所形成的等位圆填充导电媒质所得，根据等位面法，此问题转化为求解双电轴的电场，而由式(2-7)，可以容易地求得双电轴的位置。平行双电轴法22002DRx(2-8)152020202022RxRxD由式(2-9)及式(2-10)可求得dxx00dRRdx2202020(2-11)(2-10)(2-9)对于相互平行但半径不同的带电圆柱导体，半径R0′与R0″以及两圆柱体轴心距离d已知，得02020202xddRRdx(2-12)图2-12两不同半径的平行圆柱体的等效电轴的位置解得x0′及x0″可求两电轴的距离16图2-13两不同半径的偏心圆的等效电轴的位置对于两偏心圆柱套筒的电场，在已知两圆柱套筒半径R0′、R0″以及圆柱轴心间距离d的情况下，可得ddRRx2220200ddRRx2220200从而可求两电轴的距离D。(2-13)(2-14)电轴法在求解双输电线电容及偏心圆柱套筒等的电容问题中被广泛运用。17cmdRRdx25.235022015502222202020cmxdx75.265.235000cmRxD76.171525.232222020电轴到中性面的距离为中性面到半径R0″的圆柱面的几何中心的距离为例2-2空中两根互相平行、无限长的导体圆柱上带有等量异号电荷。设单位长度的电量τ=10-8C/m，圆柱的半径各为R0′=15cm,R0″=20cm，两圆柱的几何轴线间距离为d=50cm。试求电轴的位置、零位(中性)面的位置。解对于两半径不等的平行导体圆柱，根据式(2-11)可确定中性面到半径为R0′的圆柱面的几何中心的距离为18所谓镜象法，是基于唯一性定理的。此方法的特点是以场域外虚拟的集中电荷代替场域边界上分布电荷的作用，使场的边界条件保持不变，从而保持被研究的场不变。由于虚拟电荷往往与场域内的集中电荷互为镜象(平面镜象或曲面镜象)，故称为镜象法。§2-3无限大导电平面的镜象法点电荷对无限大导电平面的镜象若有一点电荷q，其与无限大地平面(地为导电平面)相距h高度，试求上半场域中的场量。根据唯一性定理，这个问题所给的条件是齐备的：对于场域内部，除点电荷所在点(奇异点)之外，均满足拉普拉斯方程。图2-14地面上方h处有一点电荷q19对于场域边界条件而言，无限大地平面为等位面，其上总电荷(感应电荷)已知为-q。设想将无限大地平面撤去，而将下半场域亦充以电容率为ε0的媒质，且以地平面为镜象，在电荷q的镜象位置，放置一点电荷-q。对于上半场域，其内部未作任何变更，边界条件也没有改变。图2-15地面下方h处置一镜象电荷-q代替大地影响20图2-16大地对点电荷电场的影响填充导电媒质后，电荷-q即转移至无限大地平面上，根据等位面法，上半域的电场仍保持不变，即上半域的电场完全可以作为两点电荷电场进行求解。导电平面镜象问题的特点：镜象电荷必在被研究场域边界外，所处位置与场源电荷以平面对称。镜象电荷的电量与边界面有总电荷量相等，与场源电荷量大小相等、符号相反，而被研究场域边界电位值为零。图2-17用镜象电荷代替大地的影响21无限大导电平面镜象法的应用应用(1)：图2-18夹角为直角的两(a)直角区域内的点电荷；(b)图(a)的镜象电荷应用（2）：图2-19夹角为α的两相联无限大导电平面的镜象(a)特殊角(2π/α偶数)区域的(b)图(a)的镜象电荷22应用（3）：图2-20长直圆柱导体对导电平面的镜象(a)大地上方h(b)图(a)的镜象此时要求2π/α＝偶数，否则无法将整个空间划分为同一大小的均匀区域，从而不能保证被研究场域的边界电位值为零。23例2-3带电的云与地面之间形成一均匀向下的电场E0，如图所示。由于大气电场的影响将导致高度为l处的高压输电线A的电位升高。若在A的上方又架设有架空地线G，半径为r0，G是经过支架接地的，则在架空地线G上感应出负电荷，地面上感应出正电荷。将这些感应电荷的电场叠加到大气电场以后可以降低A处的电位。工程上采用这种方法使得高压输电线免受雷击，试求由于架空地线的屏蔽作用而导致A处电位的变化。图2-21例2-3图24hr2ln2001hE02hEhr000212ln2hrhE2ln2000解设架空地线单位长度上的感应负电荷为-τ。地面上的感应正电荷可视为-τ感应所致，它在大气中产生的电场可以用-τ的镜象电荷+τ来代替，如图所示。因为架空地线的半径r0较之它与镜象之间的距离2h小得多，可以认为电轴与几何轴线重合，根据式(2-5)，架空地线的电位为故得因为接地，所以在大气电场中架空地线的电位为25因此，高压输电线A处的电位由原来的降低为lE00hrlhlhhElElhlhlE2lnlnln200000hrlhlhlhl2lnln00%1.610架空地线的重要作用，是使其自身表面造成很大的场强，其值可达大气电场场强的几十倍至几百倍，因此当大气的场强很高发生雷电时，可以引导输电线附近的闪电偏向于架空地线，从而保护高压输电线免受直接的雷击。若h=11m，l=10m，r0=0.004m，得相对值为26§2-4球形导体面的镜象点电荷q的电场中，置有一半径为R的接地导体球(其电位为零)，球心至点电荷的距离为d。在点电荷的电场中，引入一中性导体球后，球面两侧将分别出现等量而异号的感应电荷+q′与-q′。球面感生的负电荷(或正电荷)，其数值必较电荷q为小，即q-q′。接地导体球对点电荷的镜象图2-22接地导体球邻近点电荷时产生的感应电荷27图2-23接地导体球对点电荷的镜象若此时将球与地联接，则球面所感应的正电荷将受电场力的作用而流入地中，球体净剩分布于其表面的感应负电荷，球面电位为零。按镜象法原理将导体球撤去，使整个空间充以电容率为ε0的同一媒质，并在距球心b处，置一虚拟的集中镜象电荷-q′，来代替球面分布电荷的作用。若此时仍能保持球面的电位为零，则球面以外的电场，可视为点电荷q及-q′所共同产生的电场，运用点电荷场强公式及叠加原理，即可求解。280442010RqRqp(2-15)设球面电位为零，因而在截取的平面上，对于以R为半径的圆周上的任意点P，其电位表达式为qqRR12R2及R1分别为点P至点电荷-q′及q的距离。由于点电荷q为确定值，q′亦必为确定值，故有在圆上选取两特殊点C及DkqqRR12(常数)(2-16