线性代数第二章矩阵第一节

第二章矩阵矩阵及其运算矩阵的初等变换逆矩阵矩阵的秩分块矩阵矩阵的概念矩阵的运算矩阵的转置第一节矩阵及其运算nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa221122222121112121111.线性方程组的解取决于,,,2,1,njiaij系数n,,,ibi21常数项nnnnnnnbaaabaaabaaa21222221111211对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究.线性方程组的系数与常数项按原位置可排为一、矩阵概念的引入2.某航空公司在A,B,C,D四城市之间开辟了若干航线,如图所示表示了四城市间的航班图,如果从A到B有航班,则用带箭头的线连接A与B.ABCD四城市间的航班图情况也可用表格来表示:其中1表示有航班,0表示没有航班.0111111100000000ABCDABCDnmmnmmnnaaaaaaaaa212222111211定义2.1排成的行列的数表mn称为行列的矩阵，二、矩阵的概念nm)1,2,1,2,njmiaij,;,(个数由简称nm矩阵为表示它是一个整体，总是加一个大括号，并用大写黑体字母表示，记作mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211简记为.ijnmijnmaaAA元的矩阵nmA,.,简称为元的元素个数称为这Anm元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵.主对角线副对角线所有nm矩阵的全体记为nmM例如34695301是一个实矩阵,422222222613i是一个复矩阵,33421是一个矩阵,139532是一个矩阵,41（2）只有一行的矩阵称为行矩阵。又称行向量。记作：naaaA21只有一列的矩阵称为列矩阵。又称列向量。maaaA21记作：三、几个特殊的矩阵(1)行数与列数都等于的矩阵，称为阶nnA.nA方阵.也可记作称为对角矩阵(或对角阵）.n00000021（4）形如的方阵,OO不全为0记作.,,,21ndiagA（3）元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作：O注意不同阶数的零矩阵是不相同的..00000000000000000000例如(5)方阵100010001nII称为单位矩阵（或单位阵）.OO全为1(6)n阶方阵称为n阶数量矩阵。kkkkIn000000O全为kO0ijaji时当其特点是：（7）方阵nnnnaaaaaaA22211211称为上三角形矩阵。（8）方阵nnnnaaaaaaA21222111称为下三角形矩阵。0ijaji时当其特点是：OO.A为对称阵例如6010861612（9）若方阵A满足条件：),2,1,(njiaajiij则称A为对称矩阵。其特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等。（10）若方阵A满足条件：),2,1,(njiaajiij则称A为反对称矩阵。其特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相反。若对应元素相等)2,1;2,1(njmibaijij即则称矩阵A与B相等，记作A=B定义2.2nmijaA)(nmijbB)(设两个矩阵定义2.3nnijaA)(由方阵的元素构成的行列式nnnnnnaaaaaaaaa212222111211称为矩阵A的行列式，记作：AA或det要注意区分方阵与方阵的行列式。1、矩阵的加法则矩阵nmijijnmijbacC)()(称为矩阵A与B的和。记为C=A+BnmijnmijaAaA)()(，记设矩阵nmijnmijbBaA)(,)(定义2.4设-A称为矩阵A的负矩阵。由此可定义矩阵的减法为：A-B=A+（-B）四、矩阵的代数运算满足：，则矩阵加法、、、设nmMOCBA（1）结合律：A+（B+C）=（A+B）+C（4）A+（-A）=O（2）交换律：A+B=B+A（3）A+O=O+A=A加法的运算规律定理2.12、数乘矩阵定义2.5数k和矩阵nmijaA)(的乘积记作kAmnmmnnkakakakakakakakakakA212222111211规定为：注意：数乘矩阵是用该数乘此矩阵的每一个元素。这一点一定要与数乘行列式加以区别。则：为实数，、、设lkMOBAnm,,数乘矩阵运算规律定理2.2kBkABAk)()1(AlAkAlk)()2(AklAlk)()()3(AA1)4(OA0)5(BABA23412131121,1110210011求，已知例4121311212111021001323BA解：8323432066232040231151205241XBXABA，求且，已知例3233224,4302122）（得由解BAXBXA31320101224333022214231）（，设nsijsmijbBaA)(,)(ABCcCBAnmij即的乘积为与那么,)(3、矩阵的乘法sjisjijiijbababac2211其中定义2.6),,,(njmi2121skkjikba1例如222263422142C221632816?故121113121430415003112101ABC.567102621710415003112101A121113121430B又如106861985123321例如123321132231.10不存在.注意：要使C=AB有意义，则A的列数必须等于B的行数，且矩阵C的第i行第j列元素正好是A的第i行与B第j列对应元素乘积之和。13140242313BA设例AB求4120191AB解无意义此处BA011010014BA设例BAAB、求01100110BAAB，解解：nnnnnnnnabababababababababaaabbbBA2122212121112121nnbbbaaaAB2121)(2211nnbababaBAABbbbBaaaAnn、求设例21215,313131001213AC解：BCACCBA、求，设例3100191512136313131001915BCBCACBA但此处(4)IA=A；AI=A定理2.3设A、B、C、O、I在下面各式中相应的乘法和加法运算中都能进行，k为实数，则：(1)结合律：A（BC）=（AB）C；(2)分配律：A（B+C）=AB+AC；（B+C）A=BA+CA(3)OA=O；AO=O矩阵乘法运算规律k（AB）=A（kB）4、方阵的幂设A为n阶方阵,定义：为正整数）（其中mAAAAAAAAmm121,,,成立。对任意的正整数并且lkAAAAAkllklklk,)(,因为矩阵的乘法不满足交换律，所以对两个n阶方阵一般有、BAmmmBAAB）（111111111111111111111111111111112A解10011111111111111117AA求设例I44000040000400004IIAA505050210044)()(50121,0318APQAQP，求设例000363121121031A解AA7000363121700021422171470003631210003631212AA2370003631210003631217依次类推可得：00036312174950A5、矩阵的转置nmnnmmTaaaaaaaaaA212221212111为矩阵A的转置矩阵。定义2.7则称矩阵设矩阵mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211AAT由转置矩阵的定义可知如下结论：矩阵A为反对称矩阵的充要条件为矩阵A为对称矩阵的充要条件为AAT定理2.4设有矩阵A、B，及常数k，则TTTTTTTkAkABABAAA)((3))((2))((1)TTTABAB)()4(矩阵转置、方阵行列式的运算规律BAABAAAAnBAnT)(321，）（，）（是数，则有阶方阵，为，设.BAAB例9已知,102324171,231102BA.TAB求解法1102324171231102AB,1013173140.1031314170TAB解法2TTTABAB213012131027241.1031314170例10设列矩阵），（满足1),,(21XXxxxXTTnI为n阶单位阵，,,是对称阵证明HXXIHT2IHHT且证TTTTTTXXIXXIH)()(22所以H是对称阵。))((TTTXXIXXIHHH222TTTXXXXXXI)(44IXXXXITT44))((TTTXXXXXXI44HXXIT2矩阵的定义））下三角矩阵（）上三角矩阵（是单位矩阵是对角矩阵是零矩阵时，是列矩阵时，是行矩阵时，jiajiaAjiajiaAjiaAaAnAmijijijijijij00),(0),(1)(0011nmijaA小结矩阵的代数运算矩阵的转置ABABA乘法运算数乘运算加法运算TAA方阵的行列式问等式阶方阵为与设,nBABABABA22成立的充要条件是什么?答,22BABBAABABA故BABABA22.BAAB成