3-(1-2)、刚体、转动动能、转动惯量

第三章刚体的转动3.1刚体的定轴转动3.2转动动能转动惯量3.3力矩转动定律3.4力矩的功转动动能定理3.5角动量守恒定律3.6旋进3.7刚体的平面运动第三章刚体的转动3.1刚体的定轴转动一.刚体在任何情况下形状和大小都不发生变化的力学研究对象。即每个质元之间的距离无论运动或受外力时都保持不变。mimjcrji二.刚体运动的基本形式1.平动----刚体内任一直线的方位始终保持不变的运动mimjmimjmimjmimjmimjmimjmimjirjrmimjOijr选取参考点O，则：)1(ijijrrrijvvijaacrij对（1）式求导：mimjmimjmimjmimjmimjmimjmimj二.刚体运动的基本形式1.平动----刚体内任一直线的方位始终保持不变的运动结论：刚体平动时，其上各点具有相同的速度、加速度、及相同的轨迹。只要找到一点的运动规律，刚体的运动规律便全知道了。质心运动定理反映了物体的平动规律。2.刚体的定轴转动刚体的各质元在运动中都绕一固定轴作圆周运动，称为刚体作定轴转动。转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动.转动又分定轴转动和非定轴转动.刚体的平面运动.刚体的一般运动质心的平动绕质心的转动+xz参考平面)(t)()(ttt角位移)(t角坐标00约定r沿逆时针方向转动r沿逆时针方向转动tttddlim0角速度矢量方向:右手螺旋方向参考轴三.刚体定轴转动的特点角加速度tdd1）每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；2）任一质点运动均相同，但不同；3）运动描述仅需一个坐标.,,a,v定轴转动的特点刚体定轴转动（一维转动）的转动方向可以用角速度的正负来表示.00zz四.角速度矢量dmrvrvdtdOXY刚体的平动动能niiikvmE1221平221CMvmimjMCmimjMCmimjMCmimjMCmimjMCmimjMCmimjMCCv其平动动能应为各质元动能和。vc为质心的速度miMCCv3.2转动动能转动惯量一、转动动能Mnimmmm21,刚体的动能应为各质元动能之和，为此将刚体分割成很多很小的质元222221)(2121iiiiiirmrmvmimir任取一质元距转轴，则该质元动能：故刚体的动能：212221)(2121niiiiinikrmrmE刚体绕定轴以角速度旋转ivimri质量不连续分布（离散）212)(21niiikrmE221021limiininmkrmEi22221)(21Idmr221IEk质量连续分布0imMivimridmrI2令dmrrmIiii22－质量不连续分布－质量连续分布221mvEkI－转动惯量dVdsddm－线分布λ＝m/ι－面分布σ＝m/S－体分布ρ＝m/V221IEk二、决定转动惯量的三因素hO质BAX3）刚体转轴的位置。（如细棒绕中心、绕一端）1）刚体的质量；2）刚体的质量分布；（如圆环与圆盘的不同）；例1）求质量为m,长为L的均匀细棒对下面三种转轴的转动惯量：转轴通过棒的中心o并与棒垂直转轴通过棒的一端B并与棒垂直转轴通过棒上距质心为h的一点A并与棒垂直hO质BAXdxxdm已知：L、m求：IO、IB、IA解：以棒中心为原点建立坐标OX、将棒分割成许多质元dm.dxdmLm/求：IO2312112mLL求：IBdmxLdmrIB22)2(23313mLL2/2/2)2/(LLdxxLdxdmLm/22222LLodxxdmxdmrIhO质BAXdmLdxxdmrIA2求IALhL23122/2/2)(LLdxxh22121mhmL2mh222)2(12131LmmLmLIIOB222121)121(mLmhmLIIOA注意：dxdmLm/hO质BAXdmLdxx2mh222)()2(12131LmmLmLIIOB质心222)(121)121(mLmhmLIIOA质心或：2)2(LmIIcB2mhIIcA注意：dxdmhO质BALm/XdmLdxx平行轴定理：刚体对任一轴A的转动惯量IA和通过质心并与A轴平行的转动惯量Ic有如下关系：2mdIICAm为刚体的质量、d为轴A与轴C之间的垂直距离MCAd正交轴定理：（仅适用于薄板状刚体）（z⊥x、y，xy轴在刚体平面内Iz－绕垂直其平面的转轴的转动惯量，Ix，Iy－在转动平面内两个正交轴的转动惯量。yxzIII例2）半径为R的质量均匀分布的细圆环及薄圆盘，质量均为m，试分别求出对通过质心并与环面或盘面垂直的转轴的转动惯量。RR解：（1）细圆环RdldldmLCdlRdmRI222222mRRRdlRL解：（2）薄圆盘rdrr2drrdrds2drrdmrdI322rdrdsdm2例2）半径为R的质量均匀分布的细圆环及薄圆盘，质量均为m，试分别求出对通过质心并与环面或盘面垂直的转轴的转动惯量。RdrrdIIRmC3022）薄圆盘r2rdrds2drrdmrdI322rdrdsdm2424Rdrrdr221mR4242RRm例3）求一质量为m的均匀实心球对其一条直径为轴的转动惯量。解：一球绕Z轴旋转，离球心Z高处切一厚为dz的薄圆盘。其半径为22ZRrdZZRdZrdV)(222dZZRdVdm)(22dZZRdmrdI2222)(2121其体积：其质量：其转动惯量：YXZORrdZZdmrdI2212552158mRR334RmdIIRRdZ)ZR(22221YXZORrdZdZ)ZR(22221Am,ιm,Rω例4)系统由一个细杆和一个小球组成，求绕过A点的轴转动时的转动惯量。球杆解：IIIA231mlI杆2)(lRmIIOA球球由平行轴定理：252mRIO球222)(5231lRmmRmlIA