线性代数第五讲_矩阵的初等变换及其性质

第五讲矩阵的初等变换一三种初等变换矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运算它在解线性方程组、求逆阵及矩阵理论的探讨中都起重要的作用二用初等变换化简矩阵为阶梯形、行最简形本讲主要讨论两个问题1方程组的同解变换与增广矩阵的关系在解线性方程组的过程中我们可以把一个方程变为另一个同解的方程这种变换过程称为同解变换一三种初等变换同解变换有(1)交换两个方程的位置(2)把某个方程乘以一个非零数(3)某个方程的非零倍加到另一个方程上①②①②979634226442224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx979634226422424321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx交换(Ab)的第1行与第2行增广矩阵的比较例1(Ab)=2-1-11211-2144-62-2436-9792-1-11211-2144-62-2436-979③2③2(Ab)第3行乘以1/2979634226442224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx例19796323242224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx增广矩阵的比较(Ab)=2-1-11211-2144-62-2436-9792-1-11211-2142-31-1236-979979634226442633432143214321432xxxxxxxxxxxxxxx①2②①2②(Ab)第2行乘以(2)加到第1行979634226442224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx例如增广矩阵的比较(Ab)=2-1-11211-2144-62-2436-9790-33-1-611-2142-31-1236-979定义：下列三种变换称为矩阵的初等行变换：对调两行，记作；ijrr以非零常数k乘某一行的所有元素，记作；irk某一行加上另一行的k倍，记作.ijrkr把定义中的“行”换成“列”，就得到矩阵的初等列变换的定义．矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换．初等变换初等行变换初等列变换151112131937381112131937r2r4———15113811例1r1×2———1-93738-111-213210-2-2———r1-r4×21-93738-111-213014-4-8二阶梯形、行简化阶梯形、标准形矩阵1行阶梯形411214011100001300000B行阶梯形矩阵：1.可画出一条阶梯线，线的下方全为零；2.每个台阶只有一行；3.阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素.510104011030001300000B411214011100001300000B行阶梯形矩阵：1.可画出一条阶梯线，线的下方全为零；2.每个台阶只有一行；3.阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素.行最简形矩阵：4.非零行的第一个非零元为1;5.这些非零元所在的列的其它元素都为零.12rr23rr510104011030001300000B行最简形矩阵：4.非零行的第一个非零元为1;5.这些非零元所在的列的其它元素都为零.10000010000010000000F标准形矩阵：6.左上角是一个单位矩阵，其它元素全为零.34cc412ccc5123433cccc任何矩阵行最简形矩阵行阶梯形矩阵标准形矩阵有限次初等行变换有限次初等列变换有限次初等变换结论有限次初等行变换100001303851A00000100002002001211B021030004161C210000000031210D例1阶梯形,行简化阶梯形，标准形2513847200256875003452690000042800000000E=例1阶梯形,行简化阶梯形，标准形100001100801A00000100000001001201B000010000110C000002100030210D例2阶梯形,行简化阶梯形，标准形例3阶梯形,行简化阶梯形，标准形000000100001000000010000010000010100001000010000000010000011234524681000002A=123450000200000123450000000002123400000000001例1用初等行变换化为行简化阶梯形212rr23rr22r125rr~~~003121-124231-2-14-3A=00314231-2-14-321-12003121-12005-3003-1例2用初等行变换化为行简化阶梯形~~12rr312rr41rr003121-12005-3003-10011/321-12005-3000-221-120011/3000-14/3000-24223rrr325rr423rr~~21-120011/30001000011/2000010000100002112001130001430002/~/3431432()rrr~将1所在列上下化为零1-4-32-5-3-164A=1-4-3033021行最简形0111-4-3021行阶梯形01110100-1首先，化为行阶梯形010100001练习1、用初等行变换化为行简化阶梯形~~~~1-13-112-1-1423-2234A=练习2：用初等行变换化为行简化阶梯形1-13-1101-76001-76101-7601-13-110000101-7600000110-450~~~1111113210-3601236-3543261A=练习3：用初等行变换化为行简化阶梯形121253rrrr1111110-1-2-3-6301236-30-1-2-31-43242rrrr1111110-1-2-3-6300000000007-710-1-20101230300001-1000000~~~~1111110-1-2-3-6300001-1000000三初等变换的应用求逆矩阵求矩阵的秩求方程组的解…………