线性代数简明教程(方小娟编 科学出版社)第三章、向量空间

第三章向量空间1、向量及其运算2、向量组的线性相关性3、向量组的等价与向量组的秩4、矩阵的秩及其行秩列秩5、向量空间的基§1向量及其运算定义1n个数组成的有序数组（a1,a2,…,an）称为一个n维向量，简称向量。naaa21或用希腊字母αβγ等来表示向量，其中n为向量的维数。一般向量看作是列向量,即用αβγ表示列向量,行向量用它们的转置表示。行向量列向量数a1,a2,…,an称为这个向量的分量。ai称为这个向量的第i个分量或坐标。x),(yxMzyyx),,(zyxM00OMyxjyix),(OMzyxkzjyix),,(分量都是实数的向量称为实向量；分量是复数的向量称为复向量。注：向量既有大小也有方向。矩阵与向量的关系：通常把维数相同的一组向量简称为一个向量组，n维行向量组可以排列成一个s×n分块矩阵s,,21s21其中为由A的第i行形成的子块，称为A的行向量组。is,,21n维列向量组可以排成一个n×s矩阵s,,21),,(21sB其中为由B的第j行形成的子块，称为B的列向量组。js,,21向量的运算设k和l为两个任意的常数，,,12(,,,)Tnaaa12(,,,)Tnbbb定义2如果和对应的分量都相等，即ai=bi，（i=1,2,…,n）就称这两个向量相等，记为为任意的n维向量，其中定义3向量(a1+b1,a2+b2,…,an+bn)T称为与的和，记为。向量(ka1,ka2,…,kan)T称为与k的数量乘积，简称数乘，记为。k定义4分量全为零的向量称为零向量，记为T)00,0(T)00,0()(向量的减法定义为向量的加法与数乘具有下列性质：交换律)1()()()2(结合律定义5与-1的数乘Tnaaa),,,()1(21称为的负向量，记为(3)(4)()kkk)()5(lklk))(6()()()7(kllk1)8(满足（1）—（8）的运算称为线性运算。,,其中都是n维向量，lk,都是实数§2线性相关与线性无关我们把由同维数的向量所构成的集合称为向量组。如果没有特别说明，所指的向量组都是n维向量组。则称向量是向量组A的线性组合，或称向量能由向量组A线性表示。定义2：给定向量组和向量，如果存在一组实数使得12:,,,,mA12,,,m1122mm1122mmkkk为向量组A的一个线性组合，称为这个线性组合的系数。12:,,,,mA定义1设是一个n维向量组，对数域F中的一组数，称向量12,,,mkkk12,,,mkkk例如：12342100050100,,,,3001000001有2100050100253030010000011234=2530即所以，称是的线性组合，或可以由线性表示。1234,,,1234,,,问题：1零向量是任何向量的线性组合，为什么？2任何向量都可由它本身所在的向量组线性表示么？121211000200100miiim答：0102101222200001001010222000010011132211110001113220111定义3/向量组称为线性相关的，如果存在一组不全为零的数k1,k2,…,km，使12,,m11221miimmikkkk反之，如果只有在k1=k2=…=km=0时上式才成立，就称线性无关。12,,m定义3向量组，如果该向量组对零向量只有平凡表示，也即对零向量的线性表示方法唯一，则称向量组线性无关，否则，称其线性相关。12,,m12,,m例1判断向量组12(1,0,,0),(0,1,,0),(0,0,,1)TTTn的线性相关性。解112212(,,,)Tnnnkkkkkk令1122nnkkk当且仅当k1=k2=…=kn=0因此线性无关。n,,21称为基本单位向量。n,,21对任意的常数都有,,21nkkk例2讨论向量组1=(1,－1,1)T,2=(2,0,－2)T,3=(2,－1,0)T的线性相关性。解：设有一组数1，2，3,使即(1+22+23,－1－3,1－22)T=(0,0,0)T有1+22+23=0－1－3=01－22=011+22+33=解得：3=－11221不妨取1=2,得非零解1=2，2=1,3=－2所以，向量组1,2,3线性相关。例3设向量组线性无关，，，，试证向量组也线性无关。321,,211322133321,,证332221131332211)()()(kkkkkkkkk设有k1,k2,k3,使112233kkk由线性无关，故有321,,000322131kkkkkk由于满足k1,k2,k3的取值只有k1=k2=k3=0所以线性无关。321,,定理1向量组（m≥2）线性相关的充要条件是其中至少有一个向量能由其他向量线性表示。12,,m证设中有一个向量能由其他向量线性表示，12,,m12233mmkkk122mmkk所以线性相关。12,,m不妨设k1≠0,那么sskkkkkk13132121即能由线性表出。1s,,32s,,21如果线性相关，则存在不全为零的一组数k1,k2,…,km，1122mmkkk例如，向量组是线性相关的，因为2133)1,3,1,2(1)4,5,2,4(2)1,4,1,2(3推论：两个非零向量1，2线性相关即1，2对应坐标成比例1=k2，(其中k0)定理2设向量组线性无关，而向量组线性相关，则能由向量组线性表示，且表示式是唯一的。t,,21,,,,21tt,,,21证由于线性相关，就有不全为零的数k1,k2,…,kt,k，使,,,,21t1122ttkkkk由线性无关，得t,,21假设0k则ttkkk2211021tkkk这与,,,,21t线性相关矛盾所以0kttthhhlll22112211设为两个表达式。11221122111222()()()()()tttttttlllhhhlhlhlh且线性无关t,,21得到l1=h1,l2=h2,…，lt=ht因此表示式是唯一的。ttkkkkkk2211即可由线性表出。t,,,21定理3若线性相关，则线性相关。(部分相关整体相关)r2,srr1,1,证明因为线性相关，即存在不全为零数，使得于是有由于不全为零，所以，线性相关．证毕．r,,1rkk,,1rrkk11srrrkk001110,0,,,1rkksrr,,,,11推论1：包含零向量的向量组一定线性相关推论2：若m个向量1，2，…，m线性无关，则其中任一部分也线性无关。(整体无关部分无关)(2)如果线性无关，那么也线性无关。s,,21s,,21s,,21s,,21s,,21s,,21定理4在r维向量组的各向量添上n-r个分量变成n维向量组。(1)如果线性相关，那么也线性相关。证对列向量来证明定理。121),,,(As2121),,(AAs111222(,,)sAAXXXAAX121(,,)sXAX所以利用(1)式,用反证法容易证明(2)式也成立。因此,也线性相关,即(1)式成立。s,,21如果线性相关,就有一个非零的s1矩阵X,使s,,21见书47页例3.2.4§3向量组的等价与向量组的秩定义4如果向量组中的每个向量都可以由向量组线性表示，就称向量组可由线性表示，如果两个向量组可以互相线性表示，就称它们等价。112:,,r212:,,s112:,,r212:,,s若向量组可以由向量组线性表示，则必存在一个矩阵，使得12()ijsrMm1212(,,,)(,,,)rsM系数矩阵如果，则mnmssnCAB11121121212()(,)nnssssnbbbCCCAAAbbb，，，，C的列向量组可以由A的列向量组线性表示。类似的，C的行向量组可以由B的行向量组线性表示。TsTTmsmmsTmTTaaaaaa21211121121向量组的等价具有下述性质：(1)反身性：向量组与它自己等价；s,,21(2)对称性:如果向量组与等价，那么也与等价。s,,21s,,21t,,21t,,21(3)传递性:如果向量组与等价，而向量组又与等价,那么与等价。t,,21s,,21t,,21p,,21p,,21s,,21向量组的极大无关组定义5(1)1，2，…，r线性无关；(2)任取，总有1,2,…,r,线性相关设1,2,…,r是某向量组中的r个向量，若则称1,2,…,r为向量组的一个极大线性无关组，简称极大无关组。注:（1）只含零向量的向量组没有极大无关组.（2）一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身。（3）一个向量组的任一向量都能由它的极大无关组线性表示极大无关组中所含想了个数r称为向量组π的秩，记作rR规定它的秩为零例如：对于向量组T：1=(1,2,－1),2=(2,－3,1),3=(4,1,－1)1,2为T的一个最大无关组;2,3;1,2,3线性相关，因为21+2－3=01,3也是T的最大无关组。注：一个向量组的极大无关组一般不是唯一的。可见：一个向量组的极大无关组不一定是唯一的推论秩为r的向量组中任意含r个向量的线性无关的部分组都是极大无关组。性质3性质1一向量组的极大无关组与向量组本身等价。性质2一向量组的任意两个极大无关组（若存在）都等价。向量组中的任一向量都可以由它的极大无关组a1，a2，…，ar线性表示。容易得到以下结论性质4向量组线性无关的充要条件是m21,mRm