第2章 轴向拉伸与压缩

第2章轴向拉伸与压缩2.1轴向拉伸与压缩的概念在工程结构中，承受轴向拉伸或压缩的构件相当多。例如图2—1所示的联接螺钉，当拧紧螺帽时，被拧紧的工件对螺钉有反作用力，其合力将通过螺钉横截面的形心，并且沿螺钉轴线的方向使螺钉受拉。图2—2所示的内燃机连杆，在燃气爆发冲程中受压。这类杆件的受力特点是：外力合力的作用线与杆的轴线相重合；其变形特点是，杆件产生沿杆轴线的伸长或缩短。本章只研究直杆的拉伸与压缩，因此可将这类杆件的形状和受力情况进行简化，得到如图2—3所示的受力简图。图中的实线为受力前的形状，虚线表示变形后的形状。2.2轴向拉伸或压缩时的应力一、横截面上的内力取一直杆，在它两端施加一对大小相等、方向相反，作用线与直杆轴线相重合的外力，使其产生轴向拉伸变形，如图2—4a所示。为了显示拉杆横截面上的内力，沿横截面mm假想地把拉杆分成两部分。杆件横截面上的内力是一个分布力系，其合力为NF，如图2—4b和2—4c所示。由左段的静力平衡条件0xF得0FFNFFN活塞连杆曲柄图2-2(a)(b)图2-3因为外力F的作用线与杆轴线相重合，所以内力合力NF的作用线也一定与杆轴线相重合，故称NF为轴力（normalforce）。为了使左右两段同一截面上的轴力，不仅大小相等而且正负符号也相同，必须联系变形，对轴力的符号作如下规定：使杆产生拉伸变形的轴力为正，产生压缩变形的轴力为负。二、横截面上的应力仅仅知道杆件横截面上的轴力并不能解决杆的强度问题。例如，两根材料相同而横截面面积不同的直杆，受到同样大小的轴向拉力作用，两杆横截面上的轴力也相同。当轴向拉力逐渐增大时，横截面面积小的直杆，必定先被拉断。这说明杆件强度不仅与轴力大小有关，而且与横截面面积有关。所以必须用横截面上的应力来度量杆件的强度。在拉(压)杆横截面上，与轴力NF相对应的是正应力。要确定该应力的大小，必须了解在横截面上的分布规律。由于内力与变形之间存在一定的关系，因此可通过实验的方法观察其变形规律，从而确定正应力的分布规律。取一等直杆，在其侧面上画两条垂直于轴线的横线ab和cd，如图2—5a所示。然后在杆两端施加轴向拉力，使杆产生拉伸变形。可以发现，ab和cd仍为直线，且仍然垂直于轴线，只是分别平移到了ba和dc。这一现象是杆件变形在表面的反映。由此推测，杆内部的变形情况也是如此。因此可作如下假设：变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面，且垂直于轴线。这个假设称为平面假设。由平面假设可以推断，拉杆所有纵向纤维的伸长相等。根据材料均匀性假设，每根纵向纤维受力相同，所以横截面上的内力是均匀分布的，即横截面上各点处正应力相等，如图2—5b所示。若杆的横截面面积为A，则微面积dA上的法向内力元素dA组成一垂直于横截面的平行力系，其合力为NF。于是由静力关系得NF=AdA由于横截面上各点处的正应力相等，则NF=AdAAFN(2—1)(a)(b)bd′′bd′aa′cc图2－5(b)(a)图2-4(c)ⅠⅠⅠⅡⅡⅢⅢ(a)ⅠⅡⅡⅢ(b)Ⅲ图2-6(c)式（2－1）为拉杆横截面上正应力的计算公式。式中为横截面上的正应力，NF为横截面上的轴力，A为横截面面积。公式(2—1)也同样适用于轴向压缩的情况．当NF为拉力时，为拉应力，规定为正，当NF为压力时，为压应力，规定为负。应该指出，在载荷作用点附近的截面上，正应力均匀分布的结论有时是不成立的。在实际构件中，载荷以不同的加载方式施加于构件。不同的加载方式，对截面上的应力分布是有影响的。但是，实验研究表明，杆端加载方式的不同，只对杆端附近截面上的应力分布有影响，其影响长度不超过杆的横向尺寸。这一论断，称为圣维南（Saint-Venant）原理。根据这一原理，在拉压杆中，离外力作用点稍远的横截面上，应力分布便是均匀的了。例2-1一变截面圆钢杆ABCD，如图2—6a所示。已知F1=20kN，F2=35kN，F3=35kN，d1=12mm，d2=16mm，d3=24mm，试求：1.各截面上的轴力，并作轴力图：2．杆的最大正应力max。解：(1)求轴力及轴力图用截面分别在I—I、Ⅱ—Ⅱ、Ⅲ—Ⅲ截面处将杆截开，保留右边部分，各截面上的轴力分别以1NF、2NF、3NF表示，并均假定为拉力，各部分的受力简图分别如图2－6b所示。由各部分的静力平衡方程可得kNFFN2011kNFFFN15212kNFFFFN503213其中负号表示轴力与假定方向相反，即轴力为压力。由于钢杆受到两个以上的轴向外力作用，因而杆的各部分横截面上的轴力将不相同。杆的各横截面上的轴力随横截面位置而变化的情况，可用轴力图表示。选取一坐标系，其横坐标表示横截面的位置，纵坐标表示相应截面的轴力，然后根据AB，BC和CD段内的轴力的大小与符号，可绘出表示钢杆轴力与截面位置关系的图线，即所谓轴力图(diagramofnormalforce)。习惯上将拉力画在x轴的上侧，压力画在x轴的下侧。这样从轴力图上不但可以看出各段轴力的大小，而且还可看出各段的变形是拉伸还是压缩。根据AB、BC、CD段内轴力的大小和符号，画出的轴力图，如图2－6c所示。(2)求最大正应力由于圆截面钢杆为一阶梯形，故AB、BC及CD三段内不仅内力不同，而且横截面面积亦不同，这就需要分段求出各横截面上的正应力。利用式(2－1)可分别求得AB、BC和CD段内的正应力为MPaPadFAFNN8.176108.17610121020446623211111MPadFAFNN6.741016101544623222222MPadFAFNN5.1101024105044623233333可见，最大正应力发生在AB段内，其值为MPa8.176max三、斜截面上的应力设一等直杆受到轴向拉力F的作用，其横截面的面积为A，要求任意斜截面mm上的应力。设该斜截面的外法线n与x轴的夹角为，图2－7a所示。采用截面法可求得mm截面上的内力为FFN如图2－7b所示。仿照证明横截面上应力均匀分布的方法，也可得出斜截面上应力均匀分布的结论。若以A表示斜截面的面积，f表示其上的应力，则有NFFfAA因cos/AA，故f=coscosAF式中的AF/，即横截面上的正应力。将应力f分解成垂直于斜截面的正应力和相切于斜截面的剪应力，如图2－7c所示。应力的符号规定为：正应力符号规定如前所述；剪应力对截面内侧任意点的矩为顺时针转向时规定为正，反之为负。的符号规定：由x轴转到外法线n为逆时针转向时，规定为正，反之为负。按上述符号规定，图2—7c中、和皆为正。由图2－7c可知2coscossinsin22ffa(2—2)从上式看出，和均随角度而改变。当0时，斜截面mm即为垂直于杆轴线的横截面，达到最大值，其值为max当045时，达到最大值，其值为2max这就是说：轴向拉(压)杆的最大正应力发生在横截面上，最大剪应力发生在与轴线成45o角的斜截面上。2.3材料在拉抻时的力学性质图2-7(a)(b)(c)构件的强度，除与其横截面上的应力有关外，还和材料的力学性质有关。例如，横截面面积相等的二直杆，一根为木材，另一根为钢材，二杆抵抗破坏的能力显然是不同的。因此，需要研究材料的力学性质。所谓材料的力学性质是指材料在外力作用下表现出的变形和破坏方面的特征。材料的力学性质，是通过各种试验测定得出的。材料的力学性质和加载方式、温度等因素有关。本节主要介绍材料在静载(缓慢加载)、常温(室温)下的力学性质。常温静载拉伸实验是测定材料力学性质的基本试验。其方法和要求，在国家标准《金属拉力试验法》中有详细规定。为了便于对不同材料的试验结果进行比较，应按国家标准规定将材料做成标准试件。对于金属材料，通常采用圆柱形试件，其形状如图2—8所示。长度l为标距。标距一般有两种，即l＝5d，l=10d。前者称为短试件，后者称为长试件。式中的d为试件的直径。低碳钢和铸铁是两种不同类型的材料，而且是工程实际中被广泛使用，它们的力学性质比较典型。因此，以这两种材料为代表，来说明材料在常温静载条件下拉伸时的力学性质。一、低碳钢拉伸时的力学性质将低碳钢试件两端装入试验机的夹头内，然后缓慢加载，使其产生拉伸变形。加在试件上的拉力F可通过试验机的测力装置读出。试件标距段的伸长l可用引伸仪测得。利用试验机的自动绘图装置，可以画出试件在试验过程中标距段的伸长l和拉力F之间的关系曲线。该曲线的横坐标为l，纵坐标为F，称之为试件的拉伸图。图2—9为低碳钢的拉伸图。拉伸图与试件的尺寸有关，为了消除试件尺寸的影响，将拉力F除以试件的原横截面面积A，以横截面上的应力AF/作纵坐标，将伸长量l除以标距的原始长度l，以试件标距内的应变(=l／l)作为横坐标，从而获得曲线，如图2－10所示，称为应力－应变图或曲线(stress-straincurve)。由低碳钢的曲线可见，整个拉伸过程可分为下述的四个阶段：1．弹性阶段oa在这个阶段内，材料的变形完全是弹性的。亦即是说，当应力小于a点所对应的应力时，如果卸去外力，变形全部消失，这种变形称为弹性变形(elasticdeformation)。因此，这一阶段称之为弹性阶段。相应于a点的应力用e表示，它是材料只产生弹性变形的最大应力，故称为弹性极限(elasticlimit)。在弹性阶段内，开始为一斜直线ao。然后是曲线aa。这表示当应力小于a点相应的应力时，应力与应变成正比，即或者写为E(2－3)图2-8′d图2-9da′abc′fef′aebpscab图2-10gd′′fhdef这就是拉伸或压缩时的虎克定律(Hooke’slaw)。式中的E称为材料的弹性模量(modulusofelasticity)，其量纲与相同，常用单位为GPa。由(2—3)式可知tanE即E为斜线ao的斜率。与a点相应的应力用p表示，它是应力与应变成正比的最大应力，故称之为比例极限(proportionallimit)。在曲线上，a与a极为接近，因此工程中对弹性极限和比例极限并不严格区分。Q235的比例极限p200MPa。当应力超过弹性极限后，若卸去外力，材料的变形只能部分消失，另一部分将残留下来。残留下来的那部分变形称为残余变形或塑性变形(plasticdeformation)。2．屈服阶段bc当应力达到b点的相应值时，应力几乎不再增加，仅有微小的波动，而变形却增长，在曲线上出现一条近似水平的小锯齿形线段，这种应力几乎保持不变而应变显著增长的现象，称为屈服或流动(yield)。bc阶段称之为屈服阶段。在屈服阶段内的最高应力和最低应力分别称为上屈服极限和下屈服极限。由于上屈服极限受试验的某些因素影响较大，一般不如下屈服极限稳定，故规定下屈服极限为材料的屈服极限(yieldlimit)，用s表示。Q235的屈服极限为MPas240。若试件表面经过磨光，当应力达到屈服极限时，可在试件表面看到与轴线约为成45的一系列条纹，如图2－11所示。这是由于材料内部晶格间相对滑移而形成的，故称为滑移线。由前面的分析知道，轴向拉压时，在与轴线成45的斜截面上有最大的剪应力。可见，滑移现象是由于最大剪应力max达到某一极限值而引起的。3．强化阶段ce在屈服阶段，材料不能抵抗变形的增长。过了c点后，材料又恢复了抵抗变形的能力，要使它继续变形必须增加拉力，这种现象称为材料强化。从c点到曲线的最高点e，即ce阶段为强化阶段。e点所对应的应力是材料所能承受的最大应力，故称强度极限(strengthlimit)，用b表示。Q235的强度极限b=380～470MPa。在这一阶段中，试件横向尺寸有明显地缩小。如果在这一阶段中的任意一点d处，逐