超静定结构的内力计算,不错的讲义

第6章超静定结构的内力计算6.1第6章超静定结构的内力计算返回总目录第6章超静定结构的内力计算6.2•力法•位移法•力矩分配法•习题本章内容第6章超静定结构的内力计算6.3教学要求：本章要求学生了解简单超静定结构的计算原理。掌握超静定结构的受力特性和超静定次数的判断。能用力法、位移法、力矩分配法求解简单超静定结构。第6章超静定结构的内力计算6.4力法一、超静定结构超静定结构，如图6.1所示，又称静不定结构。它是工程实际中常用的一类结构。其几何组成特征是具有多余约束的几何不变体系；其静力解答特征是它的支座反力和各截面的内力不能完全由静力平衡条件求出，必须补充变形条件。图6.1超静定结构超静定结构的类型主要有以下几种。(1)超静定梁，如图6.2所示。(2)超静定刚架，如图6.3所示。(3)超静定拱，如图6.4所示。图6.2超静定梁图6.3超静定刚架图6.4超静定拱第6章超静定结构的内力计算6.5力法(4)超静定桁架，如图6.5所示。(5)超静定组合结构，如图6.6所示。图6.5超静定桁架图6.6超静定组合结构超静定结构的计算方法很多，依据基本未知量选择的不同可以分为两类：一类是以多余未知力为未知量的力法，即本节将要介绍的；另一类是以结点位移为未知量的位移法。其他的计算方法大多由这两种方法派生而来，比如力矩分配法等。二、超静定次数的确定超静定结构多余约束力的数目，称为超静定次数。结构的超静定次数可以这样来确定：如果结构去掉个多余约束后即变为静定结构，则该结构的超静定次数就为。解除超静定结构多余约束的方法主要有如下几种：(1)去掉一根支杆或切断一根链杆，相当于解除一个约束(如图6.7(a)、(b)所示)。第6章超静定结构的内力计算6.6力法(2)去掉一个固定铰支座或切开一个单铰，相当于解除两个约束(如图6.7(c)、(d)所示)。(3)去掉一个固定支座或切断一根梁式杆件，相当于解除三个约束(如图6.7(e)、(f)所示)。(4)将固定支座改为固定铰支座或将梁式杆件中某截面加一单铰(刚结改成铰结)，相当于解除一个约束(如图6.7(g)、(h)所示)。注意：(1)不能去掉必要约束，使剩余结构成为几何可变体系；(2)应把多余约束全部去掉，不能只是去掉其中的一部分。运用该方法确定超静定结构的超静定次数时，应尽量使解除多余约束后的静定结构为我们所熟悉的简支梁、悬臂梁等形式。图6.7解除超静定结构多余约束第6章超静定结构的内力计算6.7力法【例6.1】确定如图6.8(a)所示结构的超静定次数。图6.8超静定结构解此结构去掉与地面相连的三根支杆后，桁架内部可看做两刚片(如图6.8(b)所示)用四根链杆相连，是一次超静定结构。欲使其成为静定结构，在这四根链杆中任意去掉一根都可以。形成的静定结构如图6.8(c)所示，被截断的杆件的作用力以一对多余未知力X1代替。三、力法的基本原理与力法的典型方程现以一个二次超静定刚架为例，说明力法的基本原理以及如何建立多次超静定结构的力法方程；再进一步推广到次超静定结构，得到力法典型方程。如图6.9所示的刚架为二次超静定结构，分析时必须解除两个多余约束。现去掉铰支座A，相应的代以多余约束力X1，X2得到如图6.9(b)所示的基本体系，由于原结构在支座A处没有水平位移和竖向位移，因此，基本结构在荷载和多余未知力X1、X2的共同作用下，铰支座A处也没有水平位移和竖向位移。即A点沿X1和X2方向的位移：第6章超静定结构的内力计算6.8力法△1＝0，△2＝0图6.9力法解二次超静定刚架第6章超静定结构的内力计算6.9力法设各单位未知力X1=1、X2=1和荷载分别作用于基本结构上，A点沿X1方向的位移分别为δ11、δ12、△1P；沿X2方向的位移分别为δ21、δ22、△2P(如图6.9(c)、(d)、(e))所示。根据叠加原理，上述位移条件可表示为：1111122122112222ΔΔ0ΔΔ0PPXXXX这就是二次超静定结构的力法方程式。对于n次超静定结构，相应地有n个多余未知力，而对每一个多余未知力结构总有一个已知的位移条件与之相对应，故可建立一个含有n个未知量的方程组，从而可以求解出n个多余约束力。1111122112211222221122ΔΔ0ΔΔ0ΔΔ0nnPnnPnnnnnnnPXXXXXXXXX(6-1)第6章超静定结构的内力计算6.10力法式(6-1)通常称为力法典型方程，其物理意义是：基本结构在多余未知力和荷载共同作用下，多余约束处的位移和原来超静定结构相应的位移相等。在上述方程中，主对角线上未知力的系数δii(i=1，2，…，n)称为主系数，它代表单位未知力Xi=1单独作用在基本结构上时，在i处沿Xi自身方向上所引起的位移，其值恒为正。其余的系数δij(i≠j)称为副系数，它代表基本结构在未知力Xi处，由未知力Xj=1单独作用时引起的沿Xi方向的位移。自由项△iP表示外荷载(或温度改变、支座移动)作用下，基本结构沿未知力Xi方向所引起的位移。副系数δij(i≠j)和自由项△iP的值可以为正、负或零。根据位移互等定理，副系数存在以下关系：δij=δji典型方程中的各系数和自由项，都是基本结构在已知力作用下的位移计算，完全可以通过静定结构的位移计算求出。将求得的系数与自由项代入力法典型方程，解出各多余未知力X1，X2，…，Xn然后将已求得的多余未知力和荷载共同作用在基本结构上，利用平衡条件，求出其余的反力和内力。在绘制原结构的最后内力图时，可利用基本结构的单位内力图与荷载内力图按叠加法得到，即：第6章超静定结构的内力计算6.11112211221122PPPMMXMXMQQXQXQNNXNXN力法(6-2)式中，分别为单位未知力Xi=1作用在基本结构上的弯矩、剪力和轴力；分别为外荷载作用在基本结构上的弯矩、剪力和轴力。,,iiiMQN,,PPPMQN四、简单超静定结构的力法计算用力法计算超静定结构可按下列步骤进行：(1)确定超静定次数，去掉多余约束并以多余未知力代替，得到原结构的基本体系。(2)根据基本结构在多余未知力和荷载共同作用下，在所去掉各多余约束处的位移与原结构相应位移相等的条件，建立力法的典型方程。(3)依次做出基本结构在各单位未知力和荷载单独作用下的内力图，然后利用积分法(或图乘法)计算典型方程中的各个系数以及自由项。(4)求解典型方程，得出各多余未知力。(5)按照分析静定结构的方法，由平衡条件和叠加原理绘制结构的内力图。(6)校核。第6章超静定结构的内力计算6.12力法下面结合具体例子说明力法的运用。【例6.2】用力法计算如图6.10(a)所示的刚架，各杆的EI相等且为常数，绘制内力图。图6.10超静定刚架解(1)由几何组成分析知，该结构是二次超静定结构，去掉处的两个多余约束，得到基本结构，如图6.10(b)所示。第6章超静定结构的内力计算6.13力法(2)由已知点的位移条件，列出力法的典型方程：1111221211222200PPXXXX(3)作基本体系的图，利用图乘法求系数和自由项，并解方程求得X1、X2。12,,PMMM23111232223121221241122422d112()233d1124()233d11()22d11()224d1135()32428PPPPMsllllEIEIEIMslllllllEIEIEIMMsllllEIEIEIMMsqlqlllEIEIEIMMsqlqlqlllllEIEIEI第6章超静定结构的内力计算6.14力法将各系数、自由项代入典型方程，得1232837XqlXql(4)由公式求各截面弯矩值，并绘制弯矩图，如图6.11(a)所示。1212PMMXMXM222230721433287228CBACqlqlMlqlqlqlMlqllql（上边受拉）（右边受拉）图6.11内力图第6章超静定结构的内力计算6.15力法(5)根据最后弯矩图(如图6.11(a)所示)，取隔离体，由平衡条件求得各杆端剪力和轴力，并作Q图、N图，如图6.11(b)、(c)所示。取AC，如图6.12(a)所示，分别由∑MA=0，∑x=0，∑y=0，得3=28ACCAACCAqlQQNN，取CB，如图6.12(b)所示，分别由∑MB=0，∑x=0，得：47328CBBCCBQqlNNql取C结点，如图6.12(c)所示，由∑y=0得：47CACBNQql取结点B，由∑X=0，已知得237xql37BCNql图6.12求各杆轴力及剪力第6章超静定结构的内力计算6.16力法同一超静定结构在求解时可选择各种不同形式的基本结构，结果必然相同。五、超静定结构在温度变化、支座移动时的内力计算对于超静定结构，即使没有荷载作用时也可能产生内力，如支座移动、温度变化以及制造装配方面的误差都可以引起结构的内力。用力法计算由于支座移动、温度变化等引起结构的内力时，其基本思路、原理和步骤与荷载作用下的内力计算基本相同，不同的只是力法的典型方程中自由项的计算。以下只以支座移动时的计算为例来讲述。【例6.3】如图6.13(a)所示的等截面梁，已知端支座转动角度为，端支座下沉位移。试求梁的弯矩图。图6.13例6.3图第6章超静定结构的内力计算6.17力法解(1)AB为一次超静定梁，去掉B支座多余约束，代以多余约束反力X1，基本体系如图6.13(b)所示。(2)在X1和θ、a共同作用下，基本体系与原结构受力相同。为了使两者变形也相同，必须令基本体系在多余约束处的位移与原结构相同，即：针对基本体系讨论B点的竖直位移：△1＝－a，负号表示支座位移a与X1所设方向相反。δ11X1＋△1c＝－a由图6.13(c)知：△1c=－θl，负号表示△1c与X1假设方向相反。由基本结构图(如图6.13(d)所示)得到：1M321111112233lMdxlllEIEIEI代入力法方程，得：123()EIaXll(3)求内力。原超静定结构内力与基本体系相同，而支座移动在基本体系(静定结构)中不引起内力，所以最后弯矩为：iiiMMX＝第6章超静定结构的内力计算6.18力法原结构的弯矩图如图6.13(e)所示。由此可以看出，计算超静定结构由于支座移动引起的内力时，其力法方程右端项应等于原结构相应处的位移，而自由项为基本结构由于支座移动产生的与多余未知力相应的位移。该两项可直接由基本结构中变形关系求出。结构的最后内力全部由多余未知力引起。六、超静定结构的位移计算超静定结构的力法计算的基本思想是利用静定的基本体系来计算多余未知力，基本体系的内力、变形与原来超静定结构完全相同。因此，在求解超静定结构的位移时，仍可以借助于基本体系，把已求出的多余力当作主动力来看待，采用前面的静定结构求位移的方法即可以求出基本体系的位移，该位移也就是原来超静定结构中相应的位移。求超静定结构的位移仍可用单位荷载法，单位力可加在原结构上，也可加在它的任一静定基本结构上。超静定结构有不同于静定结构的一些特性：(1)由于存在多余约束，超静定结构的内力仅由静力平衡条件不能确定，必须同时考虑变形条件才能求出，因此超静定结构的内力与材料性质和截面尺寸有关，即与杆件的刚度有关。七、超静定结构的特性第6章超静定结构的内力计算6.19力法(2)由于存在多余约束，超静定结构在温度变化和支座位移等因素的影响下一般会产生内力；而静定结构除在荷载作用下会产生内力外，在其他因素影响下不会产生内力。这一特性在一定条件下对超静定结构带来不利影响，例如，连续梁当地基基础发生不均匀沉降时，会使结构产生过大的附加内力。但另一方面也可以利用这一特性，通过改变支座的高度来调整结构的内力，使其得到合理的内力分布。(3)由于存在多余约束，超静定结