第二章质点运动学(2)

第二章质点动力学（2）动量守恒定律火箭运动质心运动定律1、冲量tpFdd把牛顿第二定律的微分形式改写为ptFdd考虑一过程，力对质点的作用时间从t1—t2，两端积分12122121ddvvmmppptFpptt2-3冲量‧动量定理定义21dtttFI为力从t1—t2内作用在物体上的冲量。122121ddppptFpptt2、动量定理物体在一段时间内所受合外力的冲量，等于该时间间隔内物体动量的增量。ptF以平均力代替瞬时力时2t1ttFFhNgM例质量M=3t的重锤，从高度h=1.5m处自由落到受锻压的工件上，工件发生形变。如果作用的时间(1)=0.1s，(2)=0.01s。试求锤对工件的平均冲力。解法一利用动量定理，取竖直向上为正。0)(vvMMMgN末状态动量为0。初状态动量为，ghM2)2(0)(ghMMgN得到/2ghMMgN解得代入M、h、的值，求得：(1)牛顿531092.1)1.0/5.18.928.9(103N牛顿63109.1)01.0/5.18.928.9(103N(2)支持力的作用时间为，解法二考虑从锤自由下落到静止的整个过程，动量变化为0。重力作用时间为。gh/2根据动量定理，整个过程外力的冲量为0，即0)/2(ghMgN得到解法一相同的结果。/2ghMMgN2-4动量守恒定理质点系12f21f1F2F1m2m由若干个相互作用的质点组成的系统称为质点系。若该质点系没有受到任何外力的作用，则该系统为封闭系统。2112ff;dd1121tpfFtpfFdd22122112fftptppFFdddd2121NiiNiippFF11;外对一般质点系。式中tpFdd动量守恒定律若系统所受合外力为零，则质点系的总动量不随时间变化，即质点系动量守恒。质点系的动量定理tpFdd质点系的牛顿第二运动定律122121ddppptFpptt例1手提一柔软长链的上端，使其下端刚与桌面接触，然后松手使链自由下落。试证明下落过程中，桌面受的压力等于已落在桌面上的链的重量的3倍。解设链长为l，当落在桌面上的链长为x时，桌面对链的支持力为N。链的运动方程为FlgNtpddtmtmddddvvgtxlmdd,)(vl-xxxol-xtxtmdddd,vgtvgtxlmdd,)(v代入运动方程，有ddddmNlgmttvv()lglxg2vxg2v2xggx3xg所以桌面受的压力3NNxg例2一柔软链条长为l，单位长度的质量为。链条放在桌上，桌上有一小孔，链条一端由小孔稍伸下，其余部分堆在小孔周围。由于某种扰动，链条因自身重量开始落下。求链条下落速度与落下距离之间的关系。设链与各处的摩擦均略去不计，且认为链条软得可以自由伸开。解以竖直悬挂的链条和桌面上的链条为一系统,建立如图坐标。动量定理ptFddm1m2OyyyggmF1则tyygddv两边同乘以，则yydvvvyyyyyygyddddd2tvvvyyyyyyg002dd2132gyv232131vygym1m2Oyy)d(dvytyg)d(dvyp又解先设定动量的正方向（一般取初始动量的方向），)(uVmMVtt例3质量为m的人站在质量为M的车上，开始时一起以速率V0沿光滑水平面向左运动。现在人以相对车为u的速率向右跑，求车的速率Vt。)()0uVmMVVmMtt（0)VmM（则系统的初始动量为人跑动后系统的总动量为mMmuVVt0该系统动量守恒vmM例4如图所示,设炮车以仰角发射一炮弹，炮车和炮弹的质量分别为M和m，炮弹的出口速度为v，求炮车的反冲速度V。炮车与地面间的摩擦力不计。解因系统在水平方向不受外力,故水平方向动量守恒。对地面参考系而言，炮弹相对地面的速度，有uVuvVuxcosv根据动量守恒定理有cosvMmmV由此得炮车的反冲速度为0cosVmMVv2-5火箭运动根据动量守恒定律有（m–dm）（v+dv）+dm（v+dv–vr）=mv忽略二阶无穷小量dmdv，得mdv–vrdm=0dv=vrdmmdm为喷出气体的质量，于是火箭质量的减少量为–dm，把上式改写为dv=vr（–dm）m=–vrdmm2121ddmmrvvvvmm2112lnmmrvvv即航天飞机我国长征系列火箭升空１、质心2-6质心运动质点系的质量中心，简称质心。MrmtMrmtamFFiiiiiiiiiii2222ddddMrmriiic故定义质心的矢径r1r2rccxyom1m2iimM式中MzmzMymyMxmxiiciiciic,,在直角坐标系中的分量形式Mmrrcd对于质量连续分布的物体MmzzMmyyMmxxcccd,d,d注意：质心的位矢与参考系的选取有关。刚体的质心相对自身位置确定不变。质量均匀的规则物体的质心在几何中心。质心与重心不一样，物体尺寸不十分大时，质心与重心位置重合。解以地球为坐标原点)km(1072.41098.51084.31035.70324522MmlmMmlMxc例1地-月系的质心,地月的中心距离为。，月地kg1035.7kg1098.52224mM，km1084.35lROXY例2求质量均匀分布的半圆形薄板的质心。解设薄板半径为R，总质量为m。取如图所示坐标，由对称性可知xc=0。在y处取dy宽窄条为质量元dm，薄板面密度，π34dπ4d2202RyyRyRMmyyRc2π2RmyyRmd2d22则yyd)m(4)10200(501)(1)m(4d501d1)m(21)30201530(501)(1)m(21)2030d(501d122112002211300ymymMyyymyMyxmxmMxxxmxMxcccc练习1均匀棒弯成如图所示直角形，求它的质心位置。解或或练习2均匀铁丝弯成半径为R的半圆形，求此半圆形铁丝的质心。解RRmRRmyxccπ221dsin102π02、质心运动定理iiiiiiccnnniiicmmmtrmtrmmmrmrmrmmrmrvvdddd212211设有一个质点系，由n个质点组成，它的质心的位矢是：iiiiiiccmammtmtaddddvv由牛顿第二定律得)1(3222321222221131211111ddddddnnnnnnnnnnnfffFtmamfffFtmamfffFtmamvvv对于内力iiiFam,0,,02112niinffffiiicmamaMFmFaiiicciaMF质心运动定理例1质量为M，半径为R的四分之一圆弧滑槽，原来静止于光滑水平地面上，质量为m的小物体由静止开始沿滑槽顶滑到槽底，求这段时间内滑槽移动的距离。xRmMmSSRmMSxxmxxMmxMxmMmxMxmMxmmMMmMmMc)()()()(1)(10000解x方向，质心位置不变。例2手提一柔软绳子的上端，使其下端刚与地面接触，然后松手使绳子自由下落。求下落到所剩长度为z时，地面对这段绳子的作用力。绳子的质量均匀分布。解把绳子当作质点组，它的质心高度lzzzlmmzzc2d120lzzlfzmtzlztzccddddv)(2ddzlgtzv而质心的加速度为tlzllzttaccdd)(ddddvvvv2tlzllzttaccdd)(ddddvvvv2lzzlfzm式中为绳子下落的加速度，有gtddvglzgglzlzgac32)1(2对整根绳子应用质心运动定理cmamgf可得地面对这段绳子的作用力)1(3lzmgf作业第二章P1272-442-482-502-51