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第1讲三角函数的图象与性质、三角恒等变换三角函数的概念、诱导公式及恒等变换1.(2015贵阳高三适应性监测)已知α∈(0,2π),且α的终边上一点的坐标为（sin,cos）,则α等于(B)(A)(B)(C)(D)解析:由已知可得,α的终边上一点的坐标为（,-）,且α∈(0,2π),故α∈（,2π）,根据三角函数的定义可得tanα=-,所以α=.故选B.2.(2015太原市模拟)已知sinα+cosα=,α∈（-,）,则tanα等于(D)(A)-1(B)-(C)(D)1解析:因为sinα+cosα=,α∈（-,）,所以sin（α+）=,所以sin（α+）=1,所以α+=,所以α=,所以tanα=tan=1,选D.3.(2015呼伦贝尔一模)已知sinα+cosα=,则sin2（-α）等于(B)(A)(B)(C)(D)解析:因为sinα+cosα=,则1+2sinαcosα=,2sinαcosα=-,sin2（-α）=（cosα-sinα）2=(1-2sinαcosα)=（1+）=,故选B.4.(2015衢州一模)若cos（α+）=-,则sin（α-）=.解析:sin（α-）=sin[(α+)-]=-sin[-(α+)]=-cos(α+)=.答案:函数y=Asin(ωx+)+B的解析式5.(2015许昌一模)函数f(x)=Asin(ωx+)(其中A0,||)的图象如图所示,为了得到g(x)=sin2x的图象,则只需将f(x)的图象(A)(A)向右平移个长度单位(B)向右平移个长度单位(C)向左平移个长度单位(D)向左平移个长度单位解析:由已知中函数f(x)=Asin(ωx+)(其中A0,||)的图象,过(,0)点,（,-1）点,易得,A=1,T=4（-）=π,即ω=2,即f(x)=sin(2x+),将（,-1）点代入得+=+2kπ,k∈Z又||,所以=,所以f(x)=sin（2x+）,故将函数f(x)的图象向右平移个长度单位得到函数g(x)=sin2x的图象,故选A.6.(2015沈阳校级模拟)将函数y=sin（2x+）的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是(A)(A)y=2cos2x(B)y=2sin2x(C)y=1+sin（2x+）(D)y=cos2x解析:将y=sin（2x+）的图象向左平移个单位得到y=sin[2(x+)+],即y=cos2x,再向上平移1个单位得到函数y=cos2x+1=2cos2x,故选A.7.(2015郑州第一次质量预测)如图,函数f(x)=Asin(ωx+)（其中A0,ω0,||≤）与坐标轴的三个交点P,Q,R满足P(1,0),∠PQR=,M(2,-2)为线段QR的中点,则A的值为(C)(A)2(B)(C)(D)4解析:因为M(2,-2)为QR的中点,所以可知R(0,-4),Q(0,4)所以函数的周期T=6,所以ω==,所以f(x)=Asin（x+）,把P(1,0)代入f(x)可得,sin（+）=0,又||≤,所以=-,所以f(x)=Asin（x-）,把R(0,-4)代入f(x)可得Asin（-）=-4,所以A=,故选C.8.(2015株洲一模)如图为函数f(x)=sin(ωx+)(ω0)的部分图象,B,C分别为图象的最高点和最低点,若·=||2,则ω等于(C)(A)(B)(C)(D)解析:由题意知||=2||,由·=||2知-||·||cos∠ABC=||2,得cos∠ABC=-,则∠ABC=120°,过B作BD垂直于x轴于D,则||=3,所以=3,则T=12,ω==,故选C.三角函数的图象和性质9.(2015开封二模)若函数f(x)=(1+tanx)cosx,0≤x,则f(x)的最大值是(B)(A)1(B)2(C)+1(D)+2解析:f(x)=(1+tanx)cosx=cosx+sinx=2sin（x+）,因为0≤x,所以≤x+,所以f(x)∈[1,2],故选B.10.若函数f(x)=sinωx(ω0)在区间[0,]上单调递增,在区间[,]上单调递减,则ω等于(C)(A)3(B)2(C)(D)解析:因为y=sinωx(ω0)过原点,所以当0≤ωx≤,即0≤x≤时,y=sinωx是增函数;当≤ωx≤,即≤x≤时,y=sinωx是减函数.由y=sinωx(ω0)在[0,]上单调递增,在[,]上单调递减知,=,所以ω=.11.(2015衢州二模)设函数f(x)=2cos(x+),则该函数的最小正周期为,值域为,单调递增区间为.解析:函数的最小正周期为T==4π,值域为[-2,2],由2kπ-π≤x+≤2kπ(k∈Z),可得其单调递增区间为4kπ-≤x≤4kπ-(k∈Z).答案:4π[-2,2][4kπ-,4kπ-](k∈Z).12.(2015洛阳一模)将函数y=sin(x)sin(x+)的图象向右平移个单位,所得图象关于y轴对称,则正数ω的最小值为.解析:因为y=sin(ωx)sin(ωx+)=sin2ωx+sinωx==sin(ωx-)+,所以将函数的图象向右平移个单位,所得解析式为y=sin[ω(x-)-]+=sin(ωx-ω-)+,因为所得图象关于y轴对称,所以-ω-=kπ+,k∈Z,可解得ω=-6k-4,k∈Z,所以k=-1时,正数ω的最小值为2,答案:2一、选择题1.设P(x,2)为角α终边上的一点,且sinα=,则tanα等于(A)(A)1(B)-1(C)±1(D)±2解析:因为角α终边上一点P(x,2),所以|OP|=(O为坐标原点),由sinα==,得x=2,所以tanα==1,故选A.2.(2015江南二模)若3sinθ=cosθ,则cos2θ+sin2θ的值等于(B)(A)-(B)(C)-(D)解析:因为3sinθ=cosθ,所以tanθ=,所以cos2θ+sin2θ====,故选B.3.在下面给出的函数中,既是区间(0,)上的增函数又是以π为周期的偶函数的是(B)(A)y=x2(x∈R)(B)y=|sinx|(x∈R)(C)y=cos2x(x∈R)(D)y=esin2x(x∈R)解析:y=x2(x∈R)不是周期函数,故排除A.因为y=|sinx|(x∈R)周期为π,且根据正弦图象知在区间(0,)上是增函数.故选B.4.(2015桐城市一模)函数y=sin(2x-)在区间[-,π]的简图是(B)解析:当x=-时,y=sin[2×(-)-]=-sin(π+)=sin=0,排除A,D;当x=时,y=sin(2×-)=sin0=0,排除C.故选B.5.(2015惠州模拟)函数f(x)=sin(ωx+)(x∈R,ω0,||)的部分图象如图所示,则ω,的值分别是(A)(A)2,-(B)2,-(C)4,-(D)4,解析:由题图知T=-(-)=π,所以T=π,即=π,解得ω=2.由图象过(,)可知,2×+=+2kπ,k∈Z,即=-+2kπ,k∈Z,因为||,得=-,所以ω,的值分别是2,-.故选A.6.(2015威宁校级模拟)为了得到函数y=sin2x+cos2x的图象,只需把函数y=sin2x-cos2x的图象(A)(A)向左平移个长度单位(B)向右平移个长度单位(C)向左平移个长度单位(D)向右平移个长度单位解析:分别把两个函数解析式简化为y=sin2x+cos2x=sin(2x+).函数y=sin2x-cos2x=sin(2x-),又y=sin[2(x+)-]=sin(2x+),可知只需把函数y=sin2x-cos2x的图象向左平移个长度单位,得到函数y=sin2x+cos2x的图象.故选A.7.(2015唐山一模)已知2sin2α=1+cos2α,则tan2α等于(A)(A)或0(B)-或0(C)(D)-解析:把2sin2α=1+cos2α两边平方得4sin22α=(1+cos2α)2,整理得4-4cos22α=1+2cos2α+cos22α,即5cos22α+2cos2α-3=0,得(5cos2α-3)(cos2α+1)=0,解得cos2α=或cos2α=-1,当cos2α=时,sin2α==;tan2α=,当cos2α=-1时,sin2α==0,tan2α=0,则tan2α=或0.故选A.8.已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω0,||)的最小正周期是π,若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数,则函数y=f(x)的图象(D)(A)关于点(,0)对称(B)关于直线x=对称(C)关于点(,0)对称(D)关于直线x=对称解析:由题意可得=π,解得ω=2,故函数f(x)=sin(2x+),其图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数为y=sin[2(x-)+]=sin(2x-+)是奇函数,又||,故=-,故函数f(x)=sin(2x-),当x=时,函数f(x)=sin=1,故函数f(x)=sin(2x-)关于直线x=对称,故选D.9.(2015丽水一模)设函数f(x)=sin(ωx+)+cos(ωx+)(ω0,||)的最小正周期为π,且f(-x)=f(x),则(A)(A)f(x)在(0,)上单调递减(B)f(x)在(,)上单调递减(C)f(x)在（0,）上单调递增(D)f(x)在（,）上单调递增解析:由于f(x)=sin(ωx+)+cos(ωx+)=sin（ωx++）,由于该函数的最小正周期为π=,得出ω=2,又f(-x)=f(x),得+=+kπ(k∈Z),以及||,得出=.因此,f(x)=sin（2x+）=cos2x,若x∈（0,）,则2x∈(0,π),从而f(x)在（0,）上单调递减,若x∈（,）,则2x∈（,）,该区间不为单调区间,故B,C,D都错,A正确.故选A.10.(2015广西南宁二模)已知函数f(x)=sin(2x+α)在x=时有极大值,且f(x-β)为奇函数,则α,β的一组可能值依次为(D)(A),-(B),(C),-(D),解析:依题意知,f（）=1,即sin（2×+α）=1,所以+α=+2kπ(k∈Z),所以α=+2kπ(k∈Z),k=0时,α=;又f(x-β)=sin(2x+α-2β),因为f(x-β)为奇函数,所以α-2β=nπ(n∈Z),即β=-=-(k∈Z),当n=0时,β=,故选D.二、填空题11.若α∈(0,π),且3cos2α=sin（-α）,则sin2α的值为.解析:因为3cos2α=sin（-α）,所以3(cos2α-sin2α)=(cosα-sinα),所以(cosα-sinα)[3(cosα+sinα)-]=0,所以cosα-sinα=0或3(cosα+sinα)-=0,当cosα-sinα=0时,tanα=1,又α∈(0,π),所以α=,所以sin2α=sin=1.当3(cosα+sinα)-=0时,sinα+cosα=,两边平方得sin2α=-.答案:1或-12.(2015张家港市校级模拟)函数f(x)=Asin(ωx+)(A0,ω0,||)的部分图象如图所示,则将y=f(x)的图象向右平移个单位后,得到的图象解析式为.解析:由题图知,A=1,T=π,所以T=π,ω==2,又×2+=+2kπ(k∈Z),所以=2kπ+(k∈Z),又||,所以=;所以f(x)=sin(2x+),所以将y=f(x)的图象向右平移个单位后得y=sin[2(x-)+]=sin(2x-).答案:y=sin(2x-)13.(2014北京卷)设函数f(x)=Asin(ωx+)(A,ω,是常数,A0,ω0).若f(x)在区间[,]上具有单调性,且f()=f()=-f(),则f(x)的最小正周期为.解析:因为f(x)在[,]上具有单调性,所以≥-,所以T≥.因为f()=f(),所以f(x)的一条对称轴为x==.又因为f()=-f(),所以f(x)的一个对称中心的横坐标为=.所以T=-=,所以T=π.答案:π三、解答题14.(2015淄博模拟)已知函数f(x)=2sinωxcosω