第3章-线性定常系统的线性变换

线性定常系统的线性变换第三章本章介绍常用的线性变换方法，以及非奇异线性变换的一些不变特性。3.1状态空间表达式的线性变换在前面学习建立系统动态方程时已经看到，选取不同的状态变量，可以得到不同形式的动态方程。若两组状态变量之间用一个非奇异矩阵联系着，则两组动态方程的矩阵与该非奇异矩阵有确定关系。设系统动态方程为)2053(,cxybuAxx令)2063(xPx式中，P为非奇异线性变换矩阵，变换后的动态方程为)2073(,xcyubxAx式中)2083(,,11cPcbPbAPPA并称对系统进行P变换。线性变换的目的：揭示系统特性及分析计算。线性变换的影响：不改变系统原有的性质。几种常用的线性变换关系1化A阵为对角阵⑴设A阵为任意方阵。且有n个互异实特征值λ1，λ2，…，λn，则可由非奇异线性变换化为对角阵Λ。)2093(211nAPPP阵由A阵的实数特征向量pi(i=1,2,…,n)组成npppP21特征向量满足nipApiii,,2,1;212)-(31111P,100001000010A113121-n12n232221n3211210nnnnnaaaa⑶设A阵具有m重实数特征值λ1，其余为(n-m)个互异实数特征值。在求解Api=λ1pi(i=1,2,…,m)时仍有m个独立特征向量p1,p2,…,pm，仍然可使A阵化为对角阵Λ。⑵若A为友矩阵，且有n个互异实特征值λ1，λ2，…，λn，则下列的范德蒙特矩阵P可使A对角化：)2143(213)-(3001211111nmmnmpppppPAPP式中，pm+1,pm+2,…,pn为互异实数特征值对应的实特征向量。⑴设A阵具有m重实特征值λ1，其余为n-m个互异实特征值，但在求解Api=λ1pi(i=1,2,…,m)时只有一个实特征向量p1，则只能使A化为约当阵J。2化A阵为约当型)2163()2153(010112111111nmmnmpppppPAPPJJ中虚线表示存在一个约当块。式中p2,p3,…,pm为广义实特征向量，满足⑵若A阵为友矩阵，具有m重实特征值λ1，且只有一个实特征向量p1，则使A约当化的P阵为J中虚线表示存在一个约当块。式中p2,p3,…,pm为广义实特征向量，满足)2173(112111121mmpppAppppm+1,pm+2,…,pn是互异特征值对应的实特征向量。)2193(1)2183(112111111112112111TnnmmmpppppppP式中⑶设A阵具有五重实特征值λ1，且只有两个独立实特征向量p1,p2,其余为n-5个互异时特征值，A阵约当化的可能形式如下，式中，J中虚线表示存在两个约当块。)2213()2203(111612221121116111111nnpppppppPAPPJ3化可控系统为可控标准型已知单输入线性定常系统的状态方程的可控标准型为)2223(10001000010000101211210121uxxxxaaaaxxxxnnnnn与之相对应的可控性矩阵S为S是一个右下三角形，主对角线元素均为1，故detS≠0，系统一定可控。)2233(11010010001000021111nnnnnaaaabAAbbS任何一个可控系统，当A，b不具有可控标准型时，一定可通过适当的变换化为可控标准型。已知可控系统的状态方程为)2243(buAxx进行P-1变换，即令)2253(1zPx变换为)2263(1PbuzPAPz要求)2273(1000,10000100001012101PbaaaaPAPn？如何确定变换矩阵P推导变换矩阵P：)2283(21TTnTTpppPP应该满足式（3-227），有展开得)2293(1000010000101211210121nnnnnppppaaaaApppp假设变换矩阵P为nnnnnpapapaAppAppAppAp1211013221整理后得由此可得变换矩阵PnnnnpApAppApAppAp111321221)2303(111121nnApApppppP又根据b阵变换要求，P应该满足式（3-227），有)2313(1001111bApAppPbn即①计算可控性矩阵S＝[bAb…An-1b];②计算可控性矩阵的逆阵S-1,设一般形式为故)2323(10011bAAbbpn上式表明，p1是可控矩阵的逆阵的最后一行。因此可得出变换矩阵P-1的求法：)2333(100111bAAbbpn③取出S-1的最后一行，构成p1行向量)2343(2122221112111nnnnnnSSSSSSSSSS④构造P阵)2353(211nnnnSSSp⑤P-1便是讲非标准型可控系统化为可控标准型的变换矩阵)2363(1111nApAppP3.2对偶原理对偶原理可使系统的研究更加方便。设系统为S1(A,B,C)，则系统S2(AT,CT,BT)为系统S1的对偶系统。特征方程分别为：)2383(,:)2373(,:21zBwvCzAzSCxyBuAxxSTTT系统与对偶系统之间，其输入、输出向量的维数是相交换的。S1与S2互为对偶系统。特点：①S1的可控性矩阵与S2的可观测性矩阵完全相同。②S1的可观测性矩阵与S2的可控性矩阵完全相同。TTnTTTTTTTTnBABABBAABB)())(()()()(11TnTTTTTnTTTTCACACCACAC11)()(③可把可观测的SISO系统化为可观测标准型的问题转化为将其对偶系统化为可控标准型的问题。利用已知的化可控标准型的原理和步骤，获得可观测标准型的步骤：)2433()(1nTTnTTnTnAvAvvP⑴列出对偶系统的可控性矩阵（即原系统的可观测性矩阵V2）)2413()(12TnTTTTcAcAcV⑵求V2的逆阵V2-1，且记为行向量组)2423(2112TnTTvvvV⑶取V2-1的第n行νnT，并按下列规则构造变换矩阵P⑷求P-1，引入P-1变换nnnnTvAAvvP1⑸对对偶系统再利用对偶原理，便可获得原系统的可观测标准型，结果为)2463()()2453()()(11xcPxPcybuPxAPPuPbxPPAxTTTTTTTTTT与原系统动态方程相比较，可知将原系统化为可观测标准型需要进行PT变换，即令其中，)2443(,,111zPbwvPczPPAzzPzTTT)2473(xPxTνn为原系统可观测性矩阵的逆阵中第n行的转置。3.3非奇异线性变换的不变性1变换后系统特征值不变变换后系统的特征值为AIAIIAIPPAIPPPAIPPAIPAPPPPAPPPPAPPI111111111)(令线性变换线性变换后的动态方程为xPx系统变换后与变换前的特征值完全相同。?非奇异线性变换后，系统的固有特性是否会改变？系统特征值；？系统传递矩阵；？系统可控、可观测性；设系统的动态方程为DuCxyBuAxx,DuxCPyyBuPxAPPx,112变换后系统传递矩阵不变3变换后系统可控性不变变换后系统可控性矩阵的秩为系统变换后，可控性矩阵的秩相同，系统的可控性不变。变换后系统的传递矩阵为变换前后系统的传递矩阵完全相同。DBAsICDBPPAsICPPDBPPAsIPCPDBPAPPsIPPCPDBPAPPsICPsG11111111111111)()(])([)()()('rankSBABAABBrankBABAABBrankPBAPBAPABPBPrankBPAPPBPAPPBPAPPBPrankrankSnnnn12121112111111121111)()()('4变换后系统可观测性不变变换前后系统的可观测性矩阵的秩相等，故系统的可观测性不变。变换后系统的可观测性矩阵为V’，变换前系统的可观测性矩阵为V，则rankVCACACACrankCACACACrankPCAPCAPCAPCPrankCPAPPCPAPPCPAPPCPrankrankVTTnTTTTTTTnTTTTTTTTnTTTTTTTTTTTnTTTTT)()()()()()()())(()())(()()()('121212112113.4线性定常系统的结构分解定义、意义、方法和过程定义：从可控性、可观测性出发，状态可分解成可控可观测cox、可控不可观测ocx、不可控可观测ocx、不可控不可观测ocx四类，由对应状态变量作坐标轴构成的子空间也分为四类，把系统也随应分成四类系统子系统，称为系统的结构分解。意义：研究规范系统分解能更明显地揭示系统结构特性、传递特性，并与稳定性分析、反馈校正等密切相关。方法：选取一种特殊的线性变换，使原来的状态向量x变换成TTocTocTocTcoxxxx，相应地使原动态方程中的A、B、C矩阵变换成某种标准构造的形式。过程：可以先从整个系统的可控性分解开始，将可控、不可控的状态变量分离开，继而分别对可控。不可控子系统进行可观测性分解，便可以分离出四类状态变量及四类子系统。1系统按可控性分解设不可控系统动态方程为)2493(,CxyBuAxx系统可控性矩阵的秩为r（rn），从可控性矩阵中选出r个线性无关的列向量s1,s2,…,sr，另外再任意选取尽可能简单的（n－r）个列向量sr+1,sr+2,…,sn，使它们与{s1,s2,…,sr}线性无关，这样就可以构成（n×n）非奇异变换矩阵nrrsssssP1211对式（3－249）进行非奇异线性变换，)2513(,11ccccccxxCPyPBuxxPAPxx式中cx为r维可控状态子向量，cx为（n-r）维不可控状态子向量，且式（3－249）便变成下列的规范表达式)2