5 非高斯色噪声的产生

2020/2/16哈尔滨工业大学电子工程系15、非高斯色噪声的产生相关传递法(定性分析)1、基本思想2、方法特点零记忆非线性变换法ZMNL1、方法起源PDF设计+PSD设计→ZMNL2、一般方法3、特殊方法均匀分布、对数正态分布、瑞利分布、威布尔分布、K分布球不变随机过程法SIRP1、球不变随机矢量球不变随机过程2、基本思想及应用基本思想R.J.Polge,E.M.HollidayandB.K.Bhagavan,Generationofapseudo-randomsetwithdesiredcorrelationandprobabilitydistribution,Simulation,Vol.20,No.5,May1973,pp153~158上文提出相关传递法—correlationtransferscheme可以使一个随机序列的相关特性传递给另一个随机序列：只要使第一个序列具有所要求的振幅分布，第二个序列具有规定的相关特性，通过使第一个序列按第二个序列的大小次序排列就可使前者同时具有规定的概率密度函数和相关特性。解释：概率分布是随机序列值大小的总体描述而与其排列次序无关，而自相关特性不仅与随机序列值大小有关，更取决于序列值的相对位置，因此概率分布特性与自相关特性是两个截然不同、完全无关的概念，可以分别单独考虑实现。相关传递法2020/2/16哈尔滨工业大学电子工程系22020/2/16哈尔滨工业大学电子工程系3方法特点1、通用性采用相关传递法可以模拟任意特定概率分布、功率谱的随机序列。2、简单易行，但谱近似程度无法保证具体实现步骤：可先由线性滤波法或功率谱逆变换方法产生具有特定功率谱的随机序列作为参考序列，再利用相关传递法对具有给定概率分布的随机序列进行重排次序的改造，从而得到在概率分布和谱特性两方面都符合要求的随机序列。缺点：相关传递法原理非常简单且容易实现，但其谱特性的近似程度无法保证，缺乏严格的理论分析，仅适宜作为备用方法。相关传递法2020/2/16哈尔滨工业大学电子工程系4方法起源1、PDF设计前面系统介绍了非均匀分布随机序列的产生方法，其中最具代表性的方法是反变换法。说明：采用反变换法由均匀分布随机序列产生特定的非均匀分布随机序列时要经过非线性变换，该变换在获得特定分布的同时，也改变了输入序列的相关特性。零记忆非线性变换法(ZMNL)F-1(·)U[0,1]特定PDF非线性变换2020/2/16哈尔滨工业大学电子工程系5方法起源2、PSD设计前面介绍了特定功率谱随机序列的产生方法，其中典型方法是线性滤波法。说明：线性滤波法在获得特定功率谱的同时，也改变了输入序列的取值，即影响了随机序列的PDF。基于前面分析当输入过程功率谱带宽远大于系统等效噪声带宽时，输出过程近似高斯过程，而该条件一般满足；并且当输入高斯过程时，输出高斯过程。因此通常输入高斯白噪声，经过线性变换后获得特定PSD的高斯色噪声。零记忆非线性变换法(ZMNL)h(t)白噪声特定PSD线性变换方法起源3、ZMNL(zeromemorynonlineardevice)结合前面PDF、PSD的单独设计方法，产生具有特定PDF、PSD的随机序列需要经过线性变换、非线性变换。U.G.GujarandR.J.Kavanagh,Generationofrandomsignalswithspecifiedprobabilitydensityfunctionsandpowerdensityspectra,IEEETrans.Automat.Contr.,Vol.13,Dec.1968,pp716~719零记忆非线性变换法(ZMNL)无记忆系统的解释)(xf)(xF5.01xx2020/2/16哈尔滨工业大学电子工程系7方法起源3、ZMNL(zeromemorynonlineardevice)前文提出了ZMNL方法的思想：首先通过线性滤波产生相关高斯随机过程，然后经过某种非线性变换得到所要求的相关随机序列。零记忆非线性变换法(ZMNL)2020/2/16哈尔滨工业大学电子工程系8方法起源3、ZMNL(zeromemorynonlineardevice)前文提出的ZMNL方法可进一步扩展为如下框图：零记忆非线性变换法(ZMNL)其中)(t为高斯白噪声，)(tx为高斯预畸变相关过程，)(G正态分布函数，)]([)(txGtr为均匀分布相关序列，)(1F为特定分布反函数，)]}([{)]([)(11txGFtrFty为待求的具有特定分布、特定相关特性的过程。2020/2/16哈尔滨工业大学电子工程系9方法起源3、ZMNL(zeromemorynonlineardevice)非线性变换是为了获得所需的非高斯分布，而线性变换(即线性滤波)是为了获得指定的自相关函数。我们不能用给定的非高斯随机序列的自相关函数去产生相关高斯随机序列，因为非线性变换使其相关特性同时发生变化。因此首先应从给定的非高斯随机数列的自相关函数和采用的非线性变换关系，求出应先产生的高斯随机数列的自相关函数——相关预畸变法。方法难点：求非线性变换输入、输出序列自相关函数的关系式。零记忆非线性变换法(ZMNL)2020/2/16哈尔滨工业大学电子工程系10方法起源3、ZMNL(zeromemorynonlineardevice)思考：将上图进行重组可获得如下框图，即理论上可将均匀分布色噪声(其产生已解决)作为反变换法的输入，难点在于难以定义均匀分布序列二维PDF。零记忆非线性变换法(ZMNL)线性变换线性变换线性变换线性变换产生均匀色噪声)}({t)}({tx)(txG)(1trF)}({ty)}({tr2020/2/16哈尔滨工业大学电子工程系11一般方法基于高斯白噪声输入的ZMNL法的核心是求非线性变换输入、输出自相关函数的变换关系，下面参考文献建立了此问题的一般理论分析方法（利用Hermite多项式，实际上前篇参考文献已进行类似理论分析及计算）：G.L.Wise,A.P.TraganitisandJ.B.Thomas,Theeffectofamemorylessnonlinearityonthespectrumofarandomprocess,IEEETransactionsonInformationTheory,Vol.23,No.1,Jan.1977,pp84~89零记忆非线性变换法(ZMNL)2020/2/16哈尔滨工业大学电子工程系12特殊方法ZMNL法针对不同的概率分布所采用的非线性变换不同且确定，下面针对几种常用分布具体分析相应的非线性变换对自相关函数的影响。1、均匀分布战普明，M序列非线性变化产生伪随机数的理论分析，《邮电部邮电科学研究院论文集》第二期，1988零记忆非线性变换法(ZMNL)设]1,0[~)]([)(Utytx，其中)1,0(~)(Nty，函数)(为高斯分布概率分布函数。设)(ty的自相关函数为)(yr，)(tx标准化(均值为0，方差为1)后的自相关函数为)(xr，则)(21sin6)(1yxrr上式详细推导过程见“邮电科学研究院83级硕士学位论文，作者：战普明”特殊方法2、对数正态分布P.Peebles,Thegenerationofcorrelatedlognormalclutterforradarsimulation,IEEETrans.AES,Vol.7,1971,pp1215~1217零记忆非线性变换法(ZMNL)2020/2/16哈尔滨工业大学电子工程系13对数正态分布与正态分布的变换关系为：wze其中正态分布221()()exp[]22wfw，对数正态分布221(ln)()exp[]22zfz特殊方法2、对数正态分布零记忆非线性变换法(ZMNL)Z的相关函数()00[](,)ijwwijijijijsEzzefwwdwdw式中22222()2()()()1(,)exp2(1)21iijijjijijij[][][]()()ijijijijEwwEwEwDwDw22[]ijEww是iw、jw的相关系数。则22[]exp2ijijEzz，则22exp()1exp()1ijijs、22ln11ijijse当x较小时，1xex、23ln(1)23xxxx，则有221ijijijses，dB5~6.0时上式表明当噪声功率较小时，对数正态分布与其对应的正态分布的相关系数近似相等。特殊方法3、瑞利分布零记忆非线性变换法(ZMNL)设),(~2Nx为高斯分布，)(1xFy为待求的瑞利分布，则有)(1ln2)(1ln)(1xGxGxFy令1,02，则上式中函数)(G就变成标准正态分布函数)(，求解自相关函数)(yr同样是求积分问题，此时得不到精确的解析式。用级数展开法，并用许瓦兹不等式在证明了积分收敛后得到不等式：0!)(nnGnynIAr式中]2[0]2[0)(),(),(83)!(!1)(262nknjjknnjnBknBjknjknI，knkCkknB2!)!12()1(),(，表示取整，A为实常数，G为正态分布自相关系数。取级数的前四项并将结果归一化得自相关系数：321286316543139.0)(GGGy根据计算机模拟结果对上式进行修正后得：32008.002.0192.0181967.0)(GGGy特殊方法4、威布尔分布W.J.Szajnowski,ThegenerationofcorrelatedWeibullclutterforsignaldetectionproblems,IEEETrans.AES,Vol.13,Sept.1977,pp536~540零记忆非线性变换法(ZMNL)威布尔分布的概率密度函数为1exp,0,0,0ppiiiizzpfzzpqqqq式中q是尺度参数，表示分布的中位数；p为形状参数，表明分布的偏斜度，控制分布尾部的形状。当p=1,2时，威布尔分布分别退化为指数分布和瑞利分布。威布尔分布的均值和方差为11Ezqp2222111Dzqpp式中是伽玛(Gamma)函数。对独立同20,N分布的随机向量1,iw和2,iw1,2,i，随机变量1221,2,piiizww服从威布尔分布，122pq。2020/2/16哈尔滨工业大学电子工程系17特殊方法4、威布尔分布产生相关威布尔分布的ZMNL算法框图如下：零记忆非线性变换法(ZMNL)其中iv,1、iv,2是独立的不相关的高斯分布随机向量；iu,1、iu,2是iv,1、iv,2经过线性频谱调制得到的相关高斯分布随机向量，其相关系数为ij；iu,1、iu,2再经过非线性的幅度调制得到iz，即相关系数为ijs且服从威布尔分布的杂波序列。2020/2/16哈尔滨工业大学电子工程系18特殊方法4、威布尔分布零记忆非线性变换法(ZMNL)定义12,ww的相关系数为22,1,2;,1,2,,kikjkikjijkikjEwwEwEwkijNDwDw则ijs与ij之间有关系式22212111,1;1;11211ijijpsFpppp其中21F为高斯超几何分布，且有210,,,;;,!nnanbnxFabcxcnn，这里,