5麦克斯韦速率分布

第六节麦克斯韦速率分布律单个分子速率不可预知，大量分子的速率分布遵循统计规律，是确定的，这个规律也叫麦克斯韦速率分布律。按统计假设，各种速率下的分子都存在，用某一速率区间内分子数占总分子数的百分比，表示分子按速率的分布规律。一、速率分布函数：1.将速率从分割成很多相等的速率区间。0§5.麦克斯韦速率分布律/一、速率分布函数NN/12.总分子数为N，区间内的在vvvN分子数为m/s10001N出现的概率为的分子数为任一速率区间内分子出现的概率为NNi/ovvNNv§6.麦克斯韦速率分布律/一、速率分布函数NdvdNvf)(f(v)为速率分布函数3.dvv速率间隔很小，该区间内分子数为dN，在该速率区间内分子的概率dvNdN写成等式dvvfNdN)(§6.麦克斯韦速率分布律/一、速率分布函数4.速率分布函数的物理意义NdvdNvf)(•表示在速率v附近，单位速率区间内分子出现的概率，即概率密度。•或表示在速率v附近，单位速率区间内分子数占总分子数的百分比。对于不同气体有不同的分布函数。麦克斯韦首先从理论上推导出理想气体的速率分布函数。§6.麦克斯韦速率分布律/一、速率分布函数二、麦克斯韦速率分布规律§6.麦克斯韦速率分布律/二、麦克斯韦速率分布规律麦克斯韦是19世纪英国伟大的物理学家、数学家。1831年11月13日生于苏格兰的爱丁堡，自幼聪颖，父亲是个知识渊博的律师，使麦克斯韦从小受到良好的教育。10岁时进入爱丁堡中学学习，14岁就在爱丁堡皇家学会会刊上发表了一篇关于二次曲线作图问题的论文，已显露出出众的才华。1847年进入爱丁堡大学学习数学和物理。1850年转入剑桥大学三一学院数学系学习。1856年在苏格兰阿伯丁的马里沙耳任自然哲学教授。1860年到伦敦国王学院任自然哲学和天文学教授。1861年选为伦敦皇家学会会员。§6.麦克斯韦速率分布律/二、麦克斯韦速率分布规律1865年春辞去教职回到家乡系统地总结他的关于电磁学的研究成果，完成了电磁场理论的经典巨著《论电和磁》，并于1873年出版。1871年受聘为剑桥大学新设立的卡文迪什实验物理学教授，负责筹建著名的卡文迪什实验室，1874年建成后担任这个实验室的第一任主任，直到1879年11月5日在剑桥逝世。麦克斯韦主要从事电磁理论、分子物理学、统计物理学、光学、力学、弹性理论方面的研究。尤其是他建立的电磁场理论，将电学、磁学、光学统一起来，是19世纪物理学发展的最光辉的成果，是科学史上最伟大的综合之一。§6.麦克斯韦速率分布律/二、麦克斯韦速率分布规律1860年麦克斯韦推导出理想气体的速率分布律：2/324)(kTmvf1.f(v)~v曲线讨论ov)(vf0)(0vfv时0)(vfv时222vekTmv§6.麦克斯韦速率分布律/二、麦克斯韦速率分布规律2.在dv速率区间内分子出现的概率ov)(vfdvvfNdN)(NdvdNvf)(§6.麦克斯韦速率分布律/二、麦克斯韦速率分布规律dv)(vfNdN3.在f(v)~v曲线下的面积为该速率区间内分子出现的概率。ov)(vfdvvfNNvvv)(vvv)(vf§6.麦克斯韦速率分布律/二、麦克斯韦速率分布规律4.在f(v)~v整个曲线下的面积为1-----归一化条件。ov)(vfdvNdvdNdvvf00)(分子在整个速率区间内出现的概率为1。NdNN011NN§6.麦克斯韦速率分布律/二、麦克斯韦速率分布规律例1：试说明下列各式的物理意义。,)()1(dvvf,)()3(21dvvfvv答：由速率分布函数可知NdvdNvf)(NdNdvvf)()1(表示在速率v附近，dv速率区间内分子出现的概率。,)()2(dvvNf.)()4(21dvvNfvv§6.麦克斯韦速率分布律/二、麦克斯韦速率分布规律dNdvvNf)()2(表示在速率v附近，dv速率区间内分子的个数。表示在速率v1~v2速率区间内，分子出现的概率。NNdvvfvv)()3(21NdvvNfvv)()4(21表示在速率v1~v2速率区间内，分子出现的个数。§6.麦克斯韦速率分布律/二、麦克斯韦速率分布规律三、麦克斯韦速率分布律的应用计算:最概然速率、方均根速率、平均速率等物理量。1.最概然速率vP最概然速率也称最可几速率，表示在该速率下分子出现的概率最大。ov)(vfpv§6.麦克斯韦速率分布律/三.麦克斯韦速率分布律应用气体分子各种运动速率都有，在哪个速率下出现的概率最大，即求f(v)的极大值对应的速率。将f(v)对v求导，令一次导数为00)(dvvdf222/3224)(vekTmvfkTmvvekTmv22/20222/22kTvmevkTmv§6.麦克斯韦速率分布律/三.麦克斯韦速率分布律应用0212kTmvmkTvp2最概然速率由0NRkmkTvp2和mN0RTvp202mNRTRT2RT41.1§6.麦克斯韦速率分布律/三.麦克斯韦速率分布律应用讨论1.vP与温度T的关系mkTvp2pvT曲线的峰值右移,由于曲线下面积为1不变，所以峰值降低。12TTov)(vf1pv2pv2T1T§6.麦克斯韦速率分布律/三.麦克斯韦速率分布律应用pvm曲线的峰值左移,由于曲线下面积为1不变，所以峰值升高。12mmov)(vf1pv2pv2m1m2.vP与分子质量m的关系§6.麦克斯韦速率分布律/三.麦克斯韦速率分布律应用mkTvp2例2：求空气分子在27ºC时的最概然速率vP解：由公式RTvp23102930031.82pvK300Tg/mol29m/s414§6.麦克斯韦速率分布律/三.麦克斯韦速率分布律应用2.平均速率气体分子在各种速率的都有，那么平均速率是多大呢？假设：速度为v1的分子有个，1N速度为v2的分子有个，2N平均速率为：NvNvNvNvnn2211vn1iiiNvN§6.麦克斯韦速率分布律/三.麦克斯韦速率分布律应用vdvvvfv)(0dvvfNdN)(•计算一个与速率有关的物理量g(v)的统计平均值的公式：dvvfvgvg)()()(0NvdNN0§6.麦克斯韦速率分布律/三.麦克斯韦速率分布律应用dvvvfv)(0利用积分公式10!naxnandxex设,2kTma2/32/324av2/30kT2m4dvve3kT2mv2,2vx1n2202dvevav§6.麦克斯韦速率分布律/三.麦克斯韦速率分布律应用mkTv8例3：求空气分子在27ºC时的平均速率。解：,300KT3102930031.88vg/mol29m/s1.469§6.麦克斯韦速率分布律/三.麦克斯韦速率分布律应用RTv8平均速率RT59.13.方均根速率利用方均根速率可计算分子的平均平动动能。利用计算统计平均值公式：dvvfvgvg)()()(0dvvfvv)(2022vdxexaxn220利用广义积分公式aannn12)12(531§6.麦克斯韦速率分布律/三.麦克斯韦速率分布律应用mkTv32mkTv32RTv32方均根速率与前面温度公式中所讲的方均根速率相同。RT73.1§6.麦克斯韦速率分布律/三.麦克斯韦速率分布律应用ov)(vfpv2vv4.三种速率的比较§6.麦克斯韦速率分布律/三.麦克斯韦速率分布律应用mkTv32RTv8RT59.1RTvp2四、麦克斯韦速率分布律的验证麦克斯韦在1860年从理论上预言了理想气体的速率分布律。60年后，也就是1920年斯特恩通过实验验证了这一规律，后来拉美尔将实验进一步完善。§6.麦克斯韦速率分布律/四.麦克斯韦速率分布律验证例4：假想的气体分子，其速率分布如图所示。当v5v0时分子数为零。试求1）根据N和v0，表示常数a的值；2）速率在2v0到3v0间隔内的分子数；3）分子的平均速率。)v(NFMa3a2av0v解：根据速率分布曲线，速率分布可表示为§6.麦克斯韦速率分布律/五.例题0000000000000Mv5v,0)v5vv4(),v5v(va)v4vv3(,a2)v3vv2(,a3)v2vv(,a2)vv0(,vva)v(NF)v(NFMa3a2av0v•由归一化条件，有Ndv)v(NF1dv)v(F0M0M§6.麦克斯韦速率分布律/五.例题0v00vdvva00v2vadv200v3v2adv300v4v3adv2Ndv)v5v(va00v5v400解得：0v8Na•2）速率分布在2v03v0间隔内的分子数NN83av3adv3dv)v(FNN0v3v2v3v2M0000)v(NFMa3a2av0v§6.麦克斯韦速率分布律/五.例题•3）分子的平均速率为：0v4v3v5v400v0v2vv3v2200M0Mv25]vdv)v5v(vaavdv2avdv3avdv2dvvva[N1dv)v(vNFN1dv)v(vFv000000000§6.麦克斯韦速率分布律/五.例题ov)(vfpv2vv小结：三种速率§6.麦克斯韦速率分布律/三.麦克斯韦速率分布律应用mkTv32RTv8RT59.1RTvp2