第二章 完全信息静态博弈3

本章重点讨论一、博弈论的若干基本概念占优战略均衡（Dominantstrategyequilibrium，DSE）重复剔除占优均衡（Iterateddominanceequilibrium,IEDE）纳什均衡（PureNashequilibrium，PNE）混合战略纳什均衡（MixedstrategyNashequilibrium,MNE）二、纳什均衡应用模型举例古诺（Cournot）寡头竞争模型（1838）伯川德悖论（BertandParadox，1883）豪泰林（Hotelling）价格竞争模型（1929）公共品供给（Hardin，1968）、需求模型基础设施建设：中央政府和地方政府之间的博弈三、纳什均衡的存在性和多重性的讨论博弈：参与人寻找最优目标（Max）支付静态时：策略与行动一致，因为没有任何可能影响参与人行动选择的信息被披露出来。选择行动战略三、MNE(混合战略纳什均衡)虽这模型没有PNE，却有下述的MNE：参与人以一定的概率选择某种战略，然后计算相应于不同概率的期望效用。纯战略：参与人在每一个给定信息情况下选择一种特定的行动（以概率1选择某一行动）混合战略：在给定信息情况下以某种概率分布随机地选择不同的行动但有时有些博弈不存在NE。例1、社会福利博弈******1:(,,,,),argmax(,),iiniiiiisNEsssisusss给定满足3,2-1,3-1,10,0救济不救济政府寻找工作游荡流浪汉三、MNE(混合战略纳什均衡)流浪汉选择任何混合战略带来的期望效用是1.5，则流浪汉的任何一种战略(纯的γ=1或γ=0或混合的0γ1)都是政府所选择的混合战略的最优反应。如例1政府以θ(0.5)选救济政府以1-θ(0.5)选不救济流浪汉以γ选寻找工作1-γ选游荡期望效用为：0.5×2+=1.50.5×10.5×3+=1.50.5×0γ×1.5+（1-γ）×1.5=1.5三、MNE(混合战略纳什均衡)特别选寻找工作游荡当流浪汉取γ对政府0.2×3－1×0.80.2×(-1)＋0×0.8||||-0.2-0.2政府选任何战略(混合的或纯的)带给政府的期望效用均为-0.2如：特取2.08.012.0)2.0)(1()2.0(5.015.0**0.210.8**0.510.5每个参与人的混合战略都是给定对方混合战略时的最优选择政府以0.5概率选救济流浪汉以0.2概率选寻找工作**0.20.5MNE三、MNE(混合战略纳什均衡)静态中纯战略：给定信息的一次特定的行动特定行动按某种概率分布混合战略：给定信息的随机选择不同的行动→不同行动之间随机选择(randomization)战略式扩展式定义为纯战略空间上的概率分布定义为行为战略（behaviorstrategies）混合战略行为战略等价的定义：设n，G={s1，…，sn；u1，…，un}，参与人i有k个si={si1，…，sik}，参与人i选sik策略的概率为期望效用:除i外其余参与人的混合战略组合),,,,,(,),(111niiiiiiv),,2,1(,)())((),(1niisusviSsinjjjiii的混合战略空间代表1011,(,),1ikkikiiikiki三、MNE(混合战略纳什均衡)特别两个参与人：1111212212(,,,)(,,)KJ11212112112121221211***12(,)(,)(,)(,)(,)KJkjkjkjKJkjkjkjvussvussMNE：***11211211***21221222(,)(,),(1)(,)(,),(2)vvvv参与人的混合战略空间参与人的混合战略空间三、MNE(混合战略纳什均衡)3,2-1,3-1,10,0政府救济θ不救济1-θ流浪汉寻找工作γ游荡1-γ(,)(31(1))(1)(0(1))(51)(,)(21(1))(1)(30(1))(21)3GGLLGLvv****(1)5100.2(2)(21)00.5(0.5,0.2)GLvvMNE如例1：设政府)1,()1,(LG概率选救济概率选寻找工作（1）式解的是政府的最优化问题，但得到的却是流浪汉的混合战略其解释如下：给定流浪汉混合战略（γ，1-γ）政府选择纯战略救济（即θ*=1）的期望效用政府选择纯战略不救济（即θ*=0）的期望效用若一个混合战略是政府的最优选择，那一定意味着政府在救济与不救济之间是无差异的（即），否则政府将会去选某一个纯战略即救济，或选不救济了。(1,)3(1)41Gv(0,)0(1)Gv*41510.2三、MNE(混合战略纳什均衡)另一方面，也可验证：若γ0.2，政府选不救济流浪汉选寻找工作政府选救济流浪汉选游荡。因此，不构成纳什均衡。同理γ0.2，政府选救济流浪汉选游荡政府选不救济流浪汉选寻找工作。*(1,)(0,)0.20.2410.241GGvv如，若政府应选不救济若政府应选救济则只有γ*=0.2，政府才不会选择两个纯战略的其中一个。(,1)(,0)0.5130.513LLvv同理，若流浪汉选寻找工作若流浪汉选游荡故在社会福利博弈中，MNE：θ*=0.5，γ*=0.2。三、MNE(混合战略纳什均衡)纯战略均衡：反应函数(reactionfunction)混合战略均衡：反应对应(reactioncorrespondence))()(10.50.21NE00.20,1,0.210.2ififif不救济救济，政府：，　10.50,1,0.500.5ififif寻找工作游荡，流浪汉：，三、MNE(混合战略纳什均衡)既然参与人在构成混合战略时选择不同纯战略之间是无差异的，他为什么不选择一个特定的纯战略而要以特定的概率随机地选择不同的纯战略呢？一个参与人选择混合战略目的是给其他参与人造成不确定性。海萨尼(Harsanyi,1973)对混合战略的解释是，混合战略均衡等价于不完全信息下的纯战略均衡：如上例，假定有两类特征的流浪汉，一类选择寻找工作，另一类选择游荡；每个流浪汉都知道自己的特征，但政府并不知道流浪汉的准确特征，只知道流浪汉20%概率属第一类，80%概率属第二类。在这种情况下，政府在选择自己的战略时似乎面临的是一位选择混合战略的流浪汉。三、MNE(混合战略纳什均衡)a：应纳税款c：检查成本F：罚款a-c+F：检查到逃税者-a-F：除了要交税款又要交罚款求MNE有两种方法：一种是支付最大化方法（求一阶导数为0）；另一种是支付等值法（即选两个纯战略是没差异）。已知ca+F解：a-c+F,-a-Fa-c,-a0,0a,-aθ检查1-θ不检查税收机关γ逃税1-γ不逃税纳税人例2、监督博弈*(1,)()(1)()(0,)0(1)()(1)GGacFacaFacacaF*(,1)()0(1)(,0)(1)PPaFaaaaaF三、MNE(混合战略纳什均衡)结论：当逃税概率，则税收机关最优选择不检查检查概率纳税人选逃税。当逃税概率，则税收机关最优选择检查检查概率纳税人选纳税。当逃税概率，则税收机关随机地选择检查或不检查无差异，而当，则纳税人选择纳税与不纳税无差异。FaaFaaFaaFac),0(),1(,GGFac即),0(),1(,GGFac即**aaaFaFMNEccaFaF即税收机关以的概率选择检查：即纳税人以的概率选择逃税三、MNE(混合战略纳什均衡)另一解释是：社会中有许多个纳税人，其中有比例的纳税人选择逃税，比例的纳税人选择不逃税；税收机关以比例随机地检查纳税人的纳税情况。纳税人选逃税概率越小；检查成本越高，纳税人逃税的概率就越大。为什么应纳税款越多，纳税人逃税的概率反而越小呢？这是因为，应纳税款越多，税收机关检查的概率越高，逃税被抓住的可能性越大，因而纳税人反而不敢逃税了。这一点或许可以解释为什么逃税现象在小企业中比在大企业中更为普遍，在低收入阶层比在高收入阶层更普遍。Fac)1(FacFaaFa,c三、MNE(混合战略纳什均衡)例3、同时存在PNE和MNE的例子：性别战*(1,)2(1)0(0,)01(1)112333mmvv女以选足球，选芭蕾*(,1)0(1)(,0)02(1)221333ffvv男以选足球，选芭蕾2,10,00,01,2θ足球1-θ芭蕾男女γ足球1-γ芭蕾四、NE存在性和多重性的讨论NE存在性定理Ⅰ(Nash,1950)：每一个有限博弈(参与人有限，每一个人的策略有限)至少存在一个NE(PNE,MNE)NE存在性定理Ⅱ(Debreu,1952年)：n人，si是Rn上一个非空的、闭的、有界的集，ui(s)是连续且对si是拟凹(反应对应是凸的)，则存在PNE。NE存在性定理Ⅲ(Glicksberg,1952)：n人，si条件同定理Ⅱ，ui(s)是连续，则存在MNE。(条件放宽)1、连续性（ui）条件是重要的2、NE的多重性1、连续性（ui）条件是重要的如每个参与人的战略空间为[0,1]，即s1=s2=[0，1]支付函数u1(s1，s2)=-(s1-s2)2（连续）212121221212111(),331(,)311(),33sssussussss在点左连续右不连续，从而不连续参与人的反应函数为：*1221121122112111()2()0()11,33()11,33rssusssrssssrssss111/31/3s21r2(s1)r1(s2)=s2r2(s1)不相交→NE不存在2、NE的多重性两人分一块蛋糕，每个人独立地提出自己要求的份额。设x1为第一个人要求的份额，x2为第二个人要求的份额。如果x1+x21，每个人得不到自己要求的份额如果x1+x21，每个人得到(有剩余)自己要求的份额但当任一（x1，x2）满足x1+x2=1都是NE。x2x1110x1+x2=1，任一点得NE对这个多重的NE，要达到NE一般要求参与人的预测正确，更确切的说，参与人应具有一致性预期：谁也得不到什么第二个参与人预期第一个参与人预期对策)11.15.06.0(5.06.05.04.02112xxxx这是一个非NE结果，非NE就要是参与人在预测上犯了错误。又如在性别战中，如果男的预期的是（足球，足球），女的预期的是（芭蕾，芭蕾），实际出现的就是（足球，芭蕾）非NE。（1）聚点均衡(1)聚点均衡：当一个博弈有多个纳什均衡时，博弈论并没有一个一般的理论证明纳什均衡结果一定会出现。然而，如萨林(Schelling,1960)指出的，在现实生活中，参与人可能使用某些被博弈模型抽象掉的信息来达到一个“聚点”均衡。如在性别战中，如果今天是男的生日，(足球，足球)可能是一个聚点均衡；而如果今天是女的生日，(芭蕾，芭蕾)可能是一个聚点均衡。分割蛋糕两个小伙子(0.5,0.5)姐弟(0.4,0.6)夫妻(0.6,0.4)（2）“廉价磋商”（cheaptalk）“廉价磋商”(cheaptalk)：博弈前不