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上天自有公道，付出总有回报读史使人明智，读诗使人灵秀，数学使人周密，科学使人深刻，伦理使人庄重，逻辑使人善辩。---培根1证明（三）┄┄矩形的性质与判定【知识要点:】1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（矩形是特殊的平行四边形）。2．矩形的性质：矩形具有平行四边形的所有性质。（1）角：四个角都是直角。（2）对角线：互相平分且相等。3．矩形的判定:（1）有一个角是直角的平行四边形。（2）对角线相等的平行四边形。（3）有三个角是直角的四边形。4.矩形的对称性：矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心；矩形是轴对称图形，对称轴有2条，是经过对角线的交点且垂直于矩形一边的直线。5.矩形的周长和面积：矩形的周长=)(2ba矩形的面积=长宽=ab（ba,为矩形的长与宽）★注意:（1）矩形被两条对角线分成的四个小三角形都是等腰三角形且面积相等。（2）矩形是轴对称图形，两组对边的中垂线是它的对称轴。【经典例题:】例1、如图，矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥CE交AB于F，若DE=2，矩形ABCD的周长为16，且CE=EF，求AE的长．四边形四边形四边形平行四边形平行四边形矩形矩形菱形菱形梯形梯形一角为90°一角为90°一组邻边相等一组邻边相等正方形正方形两组对边平行两组对边平行只有一组对边平行只有一组对边平行一角为直角且一组邻边相等一角为直角且一组邻边相等邻边相等邻边相等一角为90°一角为90°等腰梯形两腰相等上天自有公道，付出总有回报读史使人明智，读诗使人灵秀，数学使人周密，科学使人深刻，伦理使人庄重，逻辑使人善辩。---培根2PHDCBA例2、已知：如图，平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H，求证：四边形EFGH是矩形。例3、已知：如图所示，矩形ABCD中，E是BC上的一点，且AE=BC，15EDC．求证：AD=2AB．例4、已知：如图，四边形ABCD是由两个全等的正三角形ABD和BCD组成的，M、N分别为BC、AD的中点．求证：四边形BMDN是矩形．例5、如图，已知在四边形ABCD中，ACDB交于O，E、F、G、H分别是四边的中点，求证：四边形EFGH是矩形．例6、如图,在矩形ABCD中,AP=DC,PH=PC,求证:PB平分CBH.ABECDBACD上天自有公道，付出总有回报读史使人明智，读诗使人灵秀，数学使人周密，科学使人深刻，伦理使人庄重，逻辑使人善辩。---培根3【课堂练习题:】1．判断一个四边形是矩形，下列条件正确的是（）A．对角线相等B．对角线垂直C．对角线互相平分且相等D．对角线互相垂直且相等。2．矩形的两边长分别为10cm和15cm，其中一个内角平分线分长边为两部分，这两部分分别为（）A．6cm和9cmB．5cm和10cmC．4cm和11cmD．7cm和8cm3.在下列图形性质中，矩形不一定具有的是（）A．对角线互相平分且相等B．四个角相等C．是轴对称图形D．对角线互相垂直平分4在矩形ABCD中,对角线交于O点，AB=0.6,BC=0.8,那么△AOB的面积为;周长为.5一个矩形周长是12cm,对角线长是5cm,那么它的面积为.6.若一个直角三角形的两条直角边分别为5和12，则斜边上的中线等于.7.矩形的两条对角线的夹角是60°，一条对角线与矩形短边的和为15，那么矩形对角线的长为，短边长为.8.矩形的两邻边分别为4㎝和3㎝，则其对角线为㎝，矩形面积为cm2.9.若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线相交所成的锐角是.10．矩形的对角线相交所成的钝角为120°，矩形的短边长为5cm，则对角线之长为cm。11．矩形ABCD的两对角线AC与BD相交于O点，∠AOB=2∠BOC，若对角线AC的长为18cm，则AD=cm。【课后练习题:】1.矩形具有而一般的平行四边形不一定具有的特征是（）。A．对角相等B.对边相等C．对角线相等D.对角线互相平分2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,AB=5，AC=13，则矩形ABCD的面积__。题2题4BCDEA上天自有公道，付出总有回报读史使人明智，读诗使人灵秀，数学使人周密，科学使人深刻，伦理使人庄重，逻辑使人善辩。---培根43．已知，矩形的一条边上的中点与对边的两个端点的连线互相垂直，且该矩形的周长为24cm，则矩形的面积为cm2。4．如图所示，在矩形ABCD中，AB=2BC，在CD上取一点E，使AE=AB，则∠EBC=。5．如图，已知△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，BM为高，求证：DE+DF=BM。6.如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B、∠D，使BC、AD恰好落在AC上。设F、H分别是B、D落在AC上的两点，E、G分别是折痕CE、AG与AB、CD的交点。（1）求证：四边形AECG是平行四边形；（2）若AB＝4cm，BC＝3cm，求线段EF的长。7、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，求证：四边形ADCE为矩形。ABCDEMF上天自有公道，付出总有回报读史使人明智，读诗使人灵秀，数学使人周密，科学使人深刻，伦理使人庄重，逻辑使人善辩。---培根5