高等代数课件(北大版)第六章-线性空间§6.2

2020/2/16数学与计算科学学院§2线性空间的定义与简单性质§3维数·基与坐标§4基变换与坐标变换§1集合·映射§5线性子空间§7子空间的直和§8线性空间的同构§6子空间的交与和小结与习题第六章线性空间2020/2/16§6.2线性空间的定义与简单性质数学与计算科学学院一、线性空间的定义二、线性空间的简单性质§6.2线性空间的定义与简单性质2020/2/16§6.2线性空间的定义与简单性质数学与计算科学学院12121122(,,,)(,,,)(,,,)nnnnaaabbbababab1212(,,,,,)(,,)nnkaaakakkakaP而且这两种运算满足一些重要的规律,如引例1空间Pn，定义了两个向量的加法和数量乘法：在第三章§2中，我们讨论了数域P上的n维向量0()()()01()()klkl()klkl()kkk,,,,nPklP2020/2/16§6.2线性空间的定义与简单性质数学与计算科学学院同样满足上述这些重要的规律，即(),(),()[],,fxgxhxPxklP()()()()fxgxgxfx数域P上的一元多顶式环P[x]中，定义了两个多项式的加法和数与多项式的乘法，而且这两种运算(()())()()(()())fxgxhxfxgxhx()()()()klfxklfx1()()fxfx()(())0fxfx()0()fxfx()()()()klfxkfxlfx(()())()()kfxgxkfxkgx引例22020/2/16§6.2线性空间的定义与简单性质数学与计算科学学院一、线性空间的定义设V是一个非空集合，P是一个数域，在集合V中定义了一种代数运算，叫做加法：即对，,V在V中都存在唯一的一个元素与它们对应，称为的和，记为；在P与V的元素之间还与定义了一种运算，叫做数量乘法：即,,VkP在V中都存在唯一的一个元素δ与它们对应，称δ为的数量乘积，记为如果加法和数量乘k与.k法还满足下述规则，则称V为数域P上的线性空间：2020/2/16§6.2线性空间的定义与简单性质数学与计算科学学院加法满足下列四条规则：①1⑤⑥()()klkl数量乘法与加法满足下列两条规则：⑦()klkl（具有这个性质的元素0称为V的零元素）数量乘法满足下列两条规则:②()()⑧()kkk,,V④对都有V中的一个元素β，使得,V;（β称为的负元素）0③在V中有一个元素0，对,0V有2020/2/16§6.2线性空间的定义与简单性质数学与计算科学学院3．线性空间的判定：注：1．凡满足以上八条规则的加法及数量乘法也2．线性空间的元素也称为向量，线性空间也称向量空间．但这里的向量不一定是有序数组．称为线性运算．就不能构成线性空间．运算封闭但不满足八条规则中的任一条，则此集合若集合对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者2020/2/16§6.2线性空间的定义与简单性质数学与计算科学学院例1引例1,2中的Pn,P[x]均为数域P上的线性空间．例2数域P上的次数小于n的多项式的全体，再添的加法和数量乘法，构成数域P上的一个线性空间，法构成数域P上的一个线性空间，常用P[x]n表示．上零多项式作成的集合，按多项式的加法和数量乘1110110[]{(),,,}nnnnPxfxaxaxaaaaP例3数域P上矩阵的全体作成的集合,按矩阵mn用表示．mnP2020/2/16§6.2线性空间的定义与简单性质数学与计算科学学院例5全体正实数R＋，logbaabkkaaababkkaa判断R＋是否构成实数域R上的线性空间.1)加法与数量乘法定义为：,,abRkR2)加法与数量乘法定义为：,,abRkR例4任一数域P按照本身的加法与乘法构成一个数域P上的线性空间．2020/2/16§6.2线性空间的定义与简单性质数学与计算科学学院1）R＋不构成实数域R上的线性空间.⊕不封闭，如12212log12R＋．2)R＋构成实数域R上的线性空间．首先，R＋≠，且加法和数量乘法对R＋是封闭的.,,kaRkRkaaR,且ak唯一确定．解：,,abRababR,且ab唯一确定；事实上,其次，加法和数量乘法满足下列算律②()()()()()()abcabcabcabcabcabc①ababbaba2020/2/16§6.2线性空间的定义与简单性质数学与计算科学学院③R＋，111,aaaaR＋，即1是零元；④aR＋，1aR＋，且111aaaa即a的负元素是；1a⑤11aaa;aR＋；⑥()()()llklkklklakaaaakla;()()()klklklklaaaaaakala⑦⑧()()()kkkkkkabkabababab∴R＋构成实数域R上的线性空间．;()()kakb2020/2/16§6.2线性空间的定义与简单性质数学与计算科学学院即n阶方阵A的实系数多项式的全体，则V关于矩阵例6令()()[],nnVfAfxRxAR的加法和数量乘法构成实数域R上的线性空间．证：根据矩阵的加法和数量乘法运算可知()()(),()()fAgAhAkfAdA其中，,(),()[]kRhxdARx又V中含有A的零多项式，即零矩阵0，为V的零元素.以f(x)的各项系数的相反数为系数作成的多项式记为－f(x),则f(A)有负元素－f(A).由于矩阵的加法与数乘满足其他各条，故V为实数域R上的线性空间.2020/2/16§6.2线性空间的定义与简单性质数学与计算科学学院1、零元素是唯一的.2、，的负元素是唯一的，记为-．V证明：假设有两个负元素β、γ，则有◇利用负元素，我们定义减法：01＝01＋02＝02．证明：假设线性空间V有两个零元素01、02，则有0()()()00,0()二、线性空间的简单性质2020/2/16§6.2线性空间的定义与简单性质数学与计算科学学院∴两边加上即得0＝0；∵(0)0kkkk∴两边加上k；即得k0＝0;(1)1(1)(11)00∵∴两边加上－即得(1);∵()()kkkk即得∴两边加上k().kkk00,00,(1),()kkkk3、∵0(01),证明：2020/2/16§6.2线性空间的定义与简单性质数学与计算科学学院4、如果k＝0，那么k＝0或＝0.111()()00.kkkkk证明：假若则0,k练习：1、P273：习题31）2）4）2、证明：数域P上的线性空间V若含有一个非零向量，则V一定含有无穷多个向量.2020/2/16§6.2线性空间的定义与简单性质数学与计算科学学院证：设,0V且121212,,,,有kkPkkkkV1212()0kkkk又－12.kk而数域P中有无限多个不同的数，所以V中有无限多个不同的向量.注只含一个向量—零向量的线性空间称为零空间.