第一类曲线积分

曲线积分与曲面积分积分学定积分二重积分三重积分积分域区间域平面域空间域曲线积分曲线域曲面域曲面积分曲线积分曲面积分第一类曲线积分第二类曲线积分第一类曲面积分第二类曲面积分第一类曲线积分第一节第十章一、第一类曲线积分的概念与性质二、第一类曲线积分的计算法一、第一类曲线积分的概念与性质1.问题的提出曲线形构件的质量ABis),(iiηξ设有一位于xOy平面上的曲线形状的构件(如图)，),,(yxμ求构件的质量.采用分割，近似，求和，取极限的方法来求曲线形构件的质量:M构件分布是非均匀的，其线密度为1iAiA1º分割,isn小弧段的弧长为小段，分割成}.{max1inisλ2º近似iiAA1，上任取一点),(iiiηξM),,2,1(),(nisηξμMiiii3º求和niiiiniisηξμMM11),(4º取极限niiiiλsηξμM10),(limABis1iAiA),(iiηξ在小弧段该弧段的质量可近似表示为整个构件质量的近似值构件的质量,,,,10nAAA用曲线AB上的任意点将AB设函数f(x,y)在xOy面内的分段光滑曲线弧L的长度为个小弧段记第iinAAiAAA110.,,,iiiiiiiisηξfηξMAA),(),,(1作乘积上任取一点的取法无关，的分法及点iML2.定义10.1上有界.将L任意分成n个小弧段，设分点为在小弧段记）（}.{max,,,2,11iniisλnisniiiisηξfni1.),(,,,2,1并作黎曼和）（即极限值与曲线若此和的极限总存在，，令0λ则称该极限值为函数f(x,y)在曲线L上的第一类niiiiLsfsyxf10),(limd),(被积函数积分弧段积分和式弧微分被积表达式曲线积分或对弧长的曲线积分，记作注1º当函数f(x,y)在曲线L上连续时,曲线积分Lsyxfd),(2º曲线形构件的质量可以表示为LsyxμMd),(存在(充分条件).上的表示立于当Lyxf),(),(yx柱面在点,处的高时.d),(LsyxfS柱面面积时，当1),(yxf;dLsL弧长3º4º,轴的转动惯量轴及曲线弧对yx,d2LxsyI曲线弧的质心坐标.dd,ddLLLLssyyssxxxyOL(x,y).d2LysxI5º6º的区别：与DLyxfsyxfd),(d),(LyxsyxfL),(:d),(点.不独立与yx:d),(DyxfDyx),(点.彼此独立与内，在yxDxyOL(x,y)(x,y)7º1º若积分弧段为空间曲线弧niiiiiλsζηξfszyxf10ΓΔ),,(limd),,(3º如果L是闭曲线,则记为.d),(Lsyxf推广,则函数f(x,y,z)在曲线弧上对弧长的曲线积分为2º对空间曲线弧有与平面曲线弧类似的重心公式和转动惯量公式.思考：定积分对弧长的曲线积分但定积分中dx可能为负.否！baxxfd)(是否可看作对弧长曲线积分的特例?xObaab要求ds0,Lsyxfd),(LLsyxfsyxfd),(|d),(|特别的有21d),(d),(d),(LLLsyxfsyxfsyxfLLLsyxgβsyxfαsyxgβyxfαd),(d),(d)],(),([组成和由21LLL1Rβα，3.性质1º线性性质：2º可加性：3º保序性：βαLttψtφtψtφfsyxfd)()()](,)([d),(22基本思路:计算定积分转化定理10.1且上的连续函数,是定义在光滑曲线弧则曲线积分求曲线积分二、第一类曲线积分的计算法1.直接法ttψtφskkttkd)()(122,)()(22kkktτψτφ点将曲线L任意分成n份，设各分点对应参数为),(kkηξ对应参数为证根据定义kknkkλsηξf),(lim10因此nkλ10lim])(,)([kkτψτφf连续注意)()(22tψtφ则nkλ10lim])(,)([kkτψτφf注xdydsdxyo,0,0kkts因此积分限必须满足下限小于上限：!βα2º注意到22)(d)(ddyxsttψtφd)()(22x因此上述计算公式相当于“换元法”.1º则2º如果L为极坐标形式),()(则)sin)(,cos)((fd)()(22xxψd)(12baxψxf))(,(),()(bxaxψy1º如果曲线L的方程为推广3º设空间曲线弧的参数方程为)()(,)(),(:βtαtωztψytφxszyxfd),,(则ttωtψtφd)()()(222βαtωtψtφf))(),(,)((,dLsx其中L是抛物线2xy点O(0,0)与点B(1,1)之间的一段弧.解)10(:2xxyL10xxxxd4110210232)41(121x)155(121上点1Lxy2xyo)1,1(B例1计算计算半径为R,中心角为α2的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度=1).解建立坐标系如图,RxyoLsyILd2θθRθRθRααd)cos()sin(sin2222θθRααdsin23αθθR0342sin22)cossin(3αααR则)(sincos:αθαθRyθRxL例2计算曲线积分,d)(222szyx其中为螺旋的一段弧.解szyxd)(222ttkakad][π2022222)π43(3π222222kaka)π20(,sin,costtkztaytax线例32.利用对称性上连续，在曲线设Lyxf),(轴对称性)1(),(),(,d),(2),(),(,0d),(1yxfyxfsyxfyxfyxfsyxfLL.0:1的部分在yLL.论轴对称时，有类似的结关于当yL轴对称，则关于若xL轮换对称性)2(进行交换，与的方程中，将若在曲线yxL的方程不变，则LLLsxyfsyxfd),(d),(例4).0()()(,d222222ayxayxLsxL常数为双纽线：其中计算解的极坐标方程为：L2cos22asd1求,2sin2)()(22a)(2sin)(2ad)()(d22sd)()2sin()(224axyO4da)(2由轴对称性，2),(),(yxfxyxfxL轴对称，关于),(),(yxfxyxfyL轴对称，关于sxsxLLd4d1):(1在第一象限部分LLsxLd41d)(cos)(424π0axyO4.0,,d22222zyxazyxsxI为圆周其中求由轮换对称性,知.ddd222szsysxszyxId)(31222故sad32解例5将圆周表示成参数方程的形式比较困难，由表达形式的对称性可利用对称性计算点(x,y,z)的坐标满足曲线的方程3π23a),dπ2(球面大圆周长sa例6axyx222求圆柱面22224azyx被球面.A所截部分面积解曲面对称于面，xoy截取的柱面面积A是第一卦限部分面积倍。的41A圆柱面的准线L的参数方程：,sin),cos1(taytax.dd,0tastLszAd1Lsyxad4222ttad)cos1(2π02.4d2sin22π02atta柱面面积.16421aAA1.定义szyxfd),,(2.性质Lsyxfd),(Γd),,(),,()1(szyxgβzyxfα21d),,(d),,(d),,()2(szyxfszyxfszyxfszyxgβd),,(内容小结3.计算•对参数方程形式Lsyxfd),(•对显函数形式Lsyxfd),(baxψxf))(,(Lsyxfd),()sin)(,cos)((f•对极坐标形式ttψtφd)()(22xxψd)(12d)()(22βαtψtφf)](),([1.例5中改为如何计算解令11zZyYxX0:2222ZYXaZYX,则思考题sXd)1(2sXd2,0d)(sZYXsZsYsXddd0dsXaaπ2π323xyo2.设C是由极坐标系下曲线,a0θ及4π所围区域的边界,求a4xy0yar解分段积分备用题例1-1,d)(syxL计算L是以A(1,0),B(0,1),C(-1,0)为顶点的三角形的边界.解xyOABC.d)432(,1342222LsyxxyayxL求，其周长为是椭圆设故时当,1243),(22yxLyxLsyxxyd)43222（LLssxyd12d2Lsxyd)122().(12对称性a解例1-2有一半圆弧θRxcos),0(πθ其线密度,2解θRsμkFxcosdd2θRsμkFysindd2RRoxyπ0dcos2RkFxπ0dsin2RkFy0πcossin2Rk0πsincos2Rk故所求引力为),(yx,sinθRy求它对原点处单位质量质点的引力.RkRkFπ2,4例2-1其中计算,d222szyxL解),1,2,1(sL的方向向量直线tzttytxL210211的参数方程：故tzyxsdd222ttd6d121222ttttszyxLd62211d10222222tttd626610269例3-1.312211的直线段，，到点，，是点Lθsdd计算,d)(222szyxI其中为球面22yx解,1141)21(21:22zxyx:πθ202)sin2(θ2)sin2(θπ18d229π20Iθd2cos221z.1的交线与平面zx292z化为参数方程21cos2xsin2θy则例3-2例3-3其中L是：曲线L的参数方程是：解,d222Lszyxy计算.0,0,2,4222222azaxyxazyxtaytaxsin),cos1(.π20,2sin2ttazttztytxsdddddddd222ttad2cos12oxyz2a,sin),cos1(taytax.20,2sin2ttazttztytxsdddddddd222ttad2cos12Lszyxyd222ttaatad2cos14sin2202tttdsin2cos1212π02cosd2cos122π0ttπ02322cos132t).122(32L为球面2222Rzyx坐标面的交线,求其形心.在第一卦限与三个解如图所示,交线长度为RozyxRR1L3L2L1d3Lsl423Rπ23Rπ由对称性,形心坐标为321d1LLLsxlxyz