1-1-1正弦定理和余弦定理第二课时

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•1.1正弦定理和余弦定理•1.任意三角形三边满足:,三个角满足:,并且大边对,小边对.•2.直角三角形三边长满足勾股定理,即.3.在Rt△ABC中,C=π2,则ac=,bc=,asinA=bsinB=csinC,那么在任意一个三角形中asinA=bsinB=csinC成立吗?两边之和大于第三边大角小角sinAsinB内角和为180°a2+b2=c2正弦定理:2sinsinsinARCcBbaBacAbcCabABCsin21sin21sin21S)3(1.正弦定理的常见变形设R为三角形外接圆半径,公式可扩展为asinA=bsinB=csinC=2R,即当一内角为90°时,所对边为外接圆的直径,灵活运用正弦定理,还需知道它的几个变形:(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;(2)sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=c2R;(3)asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA;(4)a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC.类问题:正弦定理能够解决的两1.两角和任意一边,求其它两边和一角;2.两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而可求其它的边和角.•答案:C1.已知△ABC中,a=2,b=3,B=60°,那么角A等于()A.135°B.90°C.45°D.30°解析:由正弦定理得sinA=asinBb=2·323=22,又∵ab,∴AB.∴A=45°,故选C.•答案:A2.在△ABC中,a=5,b=3,C=120°,则sinA∶sinB的值是()A.53B.35C.37D.57解析:在△ABC中,C=120°,故A,B都是锐角.据正弦定理sinAsinB=ab=53,故选A.3.在△ABC中,BC=3,A=45°,B=60°,则AC=________.解析:由正弦定理得:ACsinB=BCsinA∴AC=BCsinBsinA=3×sin60°sin45°=322答案:322•在△ABC,已知A=60°,B=45°,c=2,解三角形.[解题过程]在△ABC中,C=180°-(A+B)=180°-(60°+45°)=75°.sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=22×32+22×12=23+14=6+24根据正弦定理:a=csinAsinC=2sin60°sin75°=2×3223+14=6(3-1)=32-6,b=csinBsinC=2sin45°sin75°=2×2223+14=2(3-1).[题后感悟]已知两角和一边(如A,B,c),求其他角与边的步骤是:(1)C=180°-(A+B);(2)用正弦定理,a=csinAsinC;(3)用正弦定理,b=csinBsinC.,1.(1)已知A=45°,B=30°,c=10.求b.(2)在△ABC中,若A=105°,B=45°,b=22,求c.解析:(1)∵A+B+C=180,∴C=105°.又∵sin105°=sin(45°+60°)=sin45°·cos60°+cos45°·sin60°=2+64,∴b=csinBsinC=10×sin30°sin105°=10×122+64=5(6-2).(2)∵A+B+C=180°,∴C=30°.又∵bsinB=csinC,∴c=bsinCsinB=22×sin30°sin45°=22×1222=2.1.(1)已知A=45°,B=30°,c=10.求b.(2)在△ABC中,若A=105°,B=45°,b=22,求c.•已知两边及一边对角,先判断三角形解的情况,∵ab,∴AB,B为小于45°的锐角,故有一解,先由正弦定理求角B,然后由内角和定理求C,然后再由正弦定理求边c.在△ABC中,A=60°,a=43,b=42,解三角形.[解题过程]由asinA=bsinB,得sinB=b·sinAa=42×sin60°43=22.∵ab,∴AB,而A=60°,∴B为锐角,∴B=45°.C=180°-(A+B)=75°由asinA=csinC得c=asinCsinA=43·sin75°sin60°=2(6+2)[题后感悟]已知两边和其中一边对角(如a,b,A)不能唯一确定三角形形状,解这类问题将出现无解、一解、两解三种情况,要注意判别,其方法是:由三角形中大边对大角可知,若a≥b,则A≥B,从而B为锐角,有一解,若ab,则AB,此时由正弦定理得sinB=bsinAa,①当sinB1,无解;②当sinB=1,一解;③当sinB1,两解.,•2.本例中条件“A=60°”改为“B=45°”,其它条件不变,解三角形.解析:由正弦定理asinA=bsinB得sinA=asinBb=43sin45°42=32∵ab,∴AB,∴A=60°或120°.当A=60°时,C=180°-(A+B)=75°由正弦定理csinC=bsinB得c=bsinCsinB=42·sin75°sin45°=2(6+2).当A=120°时,C=180°-(A+B)=15°由正弦定理csinC=bsinB得c=bsinCsinB=42·sin15°sin45°=2(6-2)∴A=60°,C=75°,c=2(6+2)或A=120°,C=15°,c=2(6-2)•在△ABC中,已知a2tanB=b2tanA,试判断△ABC的形状.•观察已知条件,是一个边角等式,可以应用正弦定•理把边化为角,再利用三角公式求解.[规范作答]由已知得a2sinBcosB=b2sinAcosA.2分由正弦定理的推广得a=2RsinA,b=2RsinB(R为△ABC的外接圆半径),∴4R2sin2AsinBcosB=4R2sin2BsinAcosA,6分即sinAcosA=sinBcosB,∴sin2A=sin2B.8分又A、B为三角形的内角,∴2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B=π2.10分∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.12分•[题后感悟](1)确定三角形的形状主要有两条途径:•①化边为角;②化角为边.•(2)确定三角形形状的思想方法:•先将条件中的边角关系由正弦定理统一为角角或边边关系,再由三角变形或代数变形分解因式,判定形状.在变形过程中要注意等式两端的公因式不要约掉,应移项提取公因式,否则会有漏掉一种解的可能.•3.在△ABC中,A、B、C的对边分别为a、b、c,若b=acosC,试判断△ABC的形状.•解析:∵b=acosC,•由正弦定理得:sinB=sinA·sinC.•∵B=π-(A+C),•∴sin(A+C)=sinA·cosC.•即sinAcosC+cosAsinC=sinA·cosC,•∴cosAsinC=0,∵A、C∈(0,π),∴cosA=0,∴A=π2,∴△ABC为直角三角形.在△ABC中,分别根据下列条件解三角形:(1)a=1,b=3,A=30°;(2)a=3,b=1,A=60°;(3)a=3,b=1,B=120°.[解题过程]在△ABC中,(1)根据正弦定理,sinB=bsinAa=3sin30°1=32.∵ba,∴BA=30°,∴B=60°或120°.当B=60°时,C=180°-(A+B)=180°-(30°+60°)=90°,∴c=bsinB=3sin60°=2;当B=120°时,C=180°-(A+B)=180°-(30°+120°)=30°,c=bsinCsinB=3sin30°sin120°=1.(2)根据正弦定理,sinB=bsinAa=sin60°3=12.∵ba,∴BA=60°,∴B=30°.∴C=180°-(A+B)=180°-(60°+30°)=90°.∴c=bsinB=112=2.(3)根据正弦定理,sinA=asinBb=3sin120°1=321.因为在△ABC中,A180°-B=60°.所以,A不存在,即无解.•[题后感悟](1)正弦函数y=sinx的值域是[-1,1],据此可判断是否有解.•(2)在△ABC中,大边对大角,小边对小角,据此可判断解的个数.4.已知下列各三角形中的两边及其一边的对角,先判断三角形是否有解?有解的作出解答.(1)a=23,b=6,A=30°.(2)a=2,b=2,A=45°.(3)a=5,b=3,B=120°.(4)a=3,b=4,A=60°.解析:(1)a=23,b=6,ab,A=30°90°,又∵bsinA=6sin30°=3,absinA,∴本题有两解.由正弦定理得sinB=bsinAa=6sin30°23=32,∴B=60°或120°.当B=60°时,C=90°,c=asinCsinA=23sin90°sin30°=43;当B=120°时,C=30°,c=asinCsinA=23sin30°sin30°=23.∴B=60°,C=90°,c=43或B=120°,C=30°,c=23.(2)由asinA=bsinB得sinB=bsinAa=2sin45°2=2×222=12,∵ab,∴AB,∴B必为锐角.∴B=30°,∴C=180°-(A+B)=180°-(45°+30°)=105°,∴c=asinCsinA=2sin105°sin45°=2×6+2422=3+1,∴B=30°,C=105°,c=3+1.(3)∵a=5,b=3,ab.∴AB又∵B=120°∴不存在角A,故此题无解.(4)∵ab,bsinA=4·sin60°=23又∵absinA∴无解.•2.解斜三角形的类型•(1)已知两角与一边,用正弦定理,有解时,只有一解.•(2)已知两边及其中一边的对角,用正弦定理,可能有两解、一解或无解.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况如下:A为锐角A为钝角或直角图形关系式(1)a=bsinA(2)a≥bbsinAababsinAaba≤b解的个数两解无解一解一解无解◎在△ABC中,已知a=52,c=10,A=30°,求B、C及b.【错解】根据正弦定理得:sinC=csinAa=10×1252=22∴C=45°∴B=180°-(A+C)=180°-(30°+45°)=105°∴b=a·sinBsinA=52·sin105°sin30°=5(3+1)【错因】上述解法由sinC=22,求角C时漏掉了一个解,∵在△ABC中,c=10a=52,∴CA,∴C=45°或135°.【正解】根据正弦定理得:sinC=csinAa=10sin30°52=22∵ac,∴AC,∴C=45°或135°.(1)当C=45°时,B=180°-(30°+45°)=105°∴b=asinBsinA=52·sin105°sin30°=5(3+1)(2)当C=135°时,B=180°-(135°+30°)=15°∴b=asinBsinA=52·sin15°sin30°=5(3-1)作业•P10T3

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