解析版：北京市海淀区2015-2016学年八年级上学期期末数学试卷

北京市海淀区2015－2016学年八年级第一学期期末考试数学试题2016.1一、选择题（本题共36分，每小题3分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个．．符合题意．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置．题号123456789101112答案1．下列标志是轴对称图形的是ABCD【考点】轴对称与轴对称图形【试题解析】根据轴对称图形的定义可观察得知B为轴对称图形．故选B．【答案】B2．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，2.5微米等于0.0000025米，把数字0.0000025用科学记数法表示为A．62.510B．60.2510C．62510D．62.510【考点】科学记数法和近似数、有效数字【试题解析】根据题意得0.0000025=．故选D．【答案】D3．使分式23x有意义的x的取值范围是A．3xB．3xC．3xD．3x【考点】分式的概念【试题解析】由于分式的分母不能为0，否则无意义，所以．故选A．【答案】A4．下列计算中，正确的是A．238()aaB．842aaaC．325aaaD．235aaa【考点】幂的运算【试题解析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加。所以D选项正确．故选D．【答案】D5．如图，△ABC≌△DCB，若AC＝7，BE＝5，则DE的长为A．2B．3C．4D．5【考点】全等三角形的性质【试题解析】由于△ABC≌△DCB，根据全等三角形的性质可得BD=AC=7，又因为BE＝5，所以DE=BD-BE=2．故选A．【答案】A6．在平面直角坐标系中，已知点A（2，m）和点B（n，－3）关于x轴对称，则mn的值是A．－1B．1C．5D．－5【考点】平面直角坐标系及点的坐标【试题解析】由于A、B两点关于x轴对称，所以横坐标相同，纵坐标互为相反数，得m=3，n=2．故选C．【答案】C7．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同．．的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C作射线OC．由此作法便可得△MOC≌△NOC，其依据是A．SSSB．SASC．ASAD．AAS【考点】全等三角形的判定【试题解析】根据题意得在△MOC和△NOC中，∴△MOC≌△NOC（SSS）．故选A．【答案】A8．下列各式中，计算正确的是A．2(21)21xxxB．23193xxxC．22(2)4aaD．2(2)(3)6xxxx【考点】整式的运算因式分解【试题解析】根据题意得B选项．故选B．【答案】B9．若1ab，则222abb的值为A．4B．3C．1D．0【考点】因式分解整式的运算【试题解析】根据题意得．故选C．【答案】C10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于D点，则∠DBC的度数是A．20°B．30°C．40°D．50°【考点】线段的垂直平分线【试题解析】根据题意得∵AB＝AC，∠A＝40°∴∠ABC=70°，又∵AB的垂直平分线MN交AC于D点，∴∠ABD=40°，∴∠DBC=30°．故选B．【答案】B11．若分式61a的值为正整数，则整数a的值有A．3个B．4个C．6个D．8个【考点】分式的基本性质【试题解析】根据题意得的值为正整数，∴a+1必定是可以整除6正整数，∴a+1=1，2,3或6，a=0,1,2，或5．故选B．【答案】B12．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为A．6B．8C．10D．12【考点】一元二次方程的根与系数的关系【试题解析】根据题意得CD=2，等腰三角形ABC的高AD=8，∵EF垂直平分AC，所以连接AM可得AM=CM，∴△CDM周长=CD+DM+CM=CD+DM+AM，当AM与DM在同一直线上时最短，即为高AD=8，∴△CDM周长的最小值为=2+8=10．故选C．【答案】C二、填空题（本题共24分，每小题3分）13．当x时，分式1xx值为0．【考点】分式的概念【试题解析】根据题意得分式分母不能为0，所以分式的分子为0时，即x=0时，分式值为0．【答案】14．分解因式：24xyy．【考点】因式分解【试题解析】根据题意得．【答案】15．计算：233xy．【考点】分式的运算【试题解析】根据题意得．【答案】16．如果等腰三角形的两边长分别为3和7，那么它的周长为．【考点】等腰三角形【试题解析】根据题意得等腰三角形的另一边可能为7或3，由于三角形的三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）可知，另一边为3不成立，所以另一边只能为7．所以周长为7+7+3=17【答案】1717．如图，DE⊥AB，∠A＝25°，∠D＝45°，则∠ACB的度数为．【考点】三角形的性质及其分类【试题解析】根据题意得DE⊥AB，∠A＝25°，∴∠AFE==∠DFC=65°，∵∠D＝45°，∴∠ACD＝70°，∠ACB=110°．【答案】110°18．等式222()abab成立的条件为．【考点】整式乘法【试题解析】根据题意得．∵，∴．【答案】19．如图，在△ABC中，BD是边AC上的高，CE平分∠ACB，交BD于点E，DE＝2，BC＝5，则△BCE的面积为．【考点】三角形中的角平分线、中线、高线三角形的面积【试题解析】根据题意得DE=2，如图，过E作BC的垂线交于F，∵CE平分∠ACB，∴EF=ED=2（角平分线的性质），又∵BC＝5，∴△BCE的面积=。【答案】520．图1是用绳索织成的一片网的一部分，小明探索这片网的结点数（V），网眼数（F），边数（E）之间的关系，他采用由特殊到一般的方法进行探索，列表如下：特殊网图结点数（V）46912网眼数（F）1246边数（E）4712☆表中“☆”处应填的数字为；根据上述探索过程，可以猜想V，F，E之间满足的等量关系为；如图2，若网眼形状为六边形，则V，F，E之间满足的等量关系为．图1图2【考点】定义新概念及程序【试题解析】根据题意可观察得出“☆”处应填的数字为17，根据规律观察可得．【答案】17，，．三、解答题（本题共16分，每小题4分）21．计算：1014(π3)32．【考点】实数运算【试题解析】原式＝＝2【答案】222．如图，E为BC上一点，AC∥BD，AC＝BE，BC＝DB．求证：AB=ED．【考点】全等三角形的判定全等三角形的性质【试题解析】证明：∵AC∥BD，∴∠C＝∠EBD．在△ABC和△EDB中,∴△ABC≌△EDB．∴AB＝ED．【答案】见解析23．计算：2234221121xxxxxx．【考点】分式的运算【试题解析】原式＝＝＝＝.【答案】24．解方程：3111xxx．【考点】分式方程的解法【试题解析】方程两边乘以，得解得.检验：当时，．所以，原分式方程的解为．【答案】2四、解答题（本题共13分，第25题4分，第26题5分，第27题4分）25．已知3xy，求2[()()()]2xyxyxyx的值．【考点】整式的运算【试题解析】原式＝＝＝.当时，原式＝＝3.【答案】326．北京时间2015年7月31日，国际奥委会主席巴赫宣布：中国北京获得2022年第24届冬季奥林匹克运动会举办权．北京也创造历史，成为第一个既举办过夏奥会又举办冬奥会的城市，张家口也成为本届冬奥会的协办城市．近期，新建北京至张家口铁路可行性研究报告已经获得国家发改委批复，同意新建北京至张家口铁路，铁路全长约180千米．按照设计，京张高铁列车的平均行驶速度是普通快车的1.5倍，用时比普通快车用时少了20分钟，求高铁列车的平均行驶速度．【考点】分式方程的应用【试题解析】设普通快车的平均行驶速度为x千米/时,则高铁列车的平均行驶速度为1.5x千米/时根据题意得解得经检验，是所列分式方程的解，且符合题意∴【答案】270千米/时27．已知：如图，线段AB和射线BM交于点B．（1）利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹（不写作法）．①在射线BM上作一点C，使AC＝AB；②作∠ABM的角平分线交AC于D点；③在射线CM上作一点E，使CE＝CD，连接DE．（2）在（1）所作的图形中，猜想线段BD与DE的数量关系，并证明．MBA【考点】角及角平分线尺规作图【试题解析】（1）（2）BD＝DE证明：∵BD平分∠ABC，∴∠1＝∠ABC．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠4．∴∠1＝∠4．∵CE＝CD，∴∠2＝∠3．∵∠4＝∠2＋∠3，∴∠3＝∠4．∴∠1＝∠3．∴BD＝DE．【答案】见解析五、解答题（本题共11分，第28题5分，第29题6分）28．如图1，我们在2016年1月的日历中标出一个十字星，并计算它的“十字差”（将十字星左右两数，上下两数分别相乘再将所得的积作差，称为该十字星的“十字差”）．该十字星的十字差为121462048，再选择其它位置的十字星，可以发现“十字差”仍为48．（1）如图2，将正整数依次填入5列的长方形数表中，探究不同位置十字星的“十字差”，可以发现相应的“十字差”也是一个定值，则这个定值为____________．（2）若将正整数依次填入k列的长方形数表中（3k≥），继续前面的探究，可以发现相应“十字差”为与列数k有关的定值，请用k表示出这个定值，并证明你的结论．（3）如图3，将正整数依次填入三角形的数表中，探究不同十字星的“十字差”，若某个十字星中心的数在第32行，且其相应的“十字差”为2015，则这个十字星中心的数为__________________（直接写出结果）．图1图2图3【考点】定义新概念及程序【试题解析】（1）；（2）；证明：设十字星中心的数为x，则十字星左右两数分别为，，上下两数分别为，（）．十字差为＝＝＝．∴这个定值为．（3）观察图3得，第n排的数字比（n-1）排的数字多2(n-1),第n排的数字比（n+1）排的数少2n,设第32行某十字星中心的数为x，则十字星左右两数分别为，，上下两数分别为x-62,x+64.十字差【答案】（1）24（2）（3）97629．数学老师布置了这样一道作业题：在△ABC中，AB＝AC≠BC，点D和点A在直线BC的同侧，BD＝BC，∠BAC＝α，∠DBC＝β，α＋β＝120°，连接AD，求∠ADB的度数．小聪提供了研究这个问题的过程和思路：先从特殊问题开始研究，当α＝90°，β＝30°时（如图1），利用轴对称知识，以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD′，连接CD′（如图2），然后利用α＝90°，β＝30°以及等边三角形的相关知识便可解决这个问题．图1图2（1）请结合小聪研究问题的过程和思路，求出这种特殊情况下∠ADB的度数；（2）结合小聪研究特殊问题的启发，请解决数学老师布置的这道作业题；（3）解决完老师布置的这道作业题后，小聪进一步思考，当点D和点A在直线BC的异侧时，且∠ADB的度数与（1）中相同，则α，β满足的条件为_______________________________________________（直接写出结果）．【考点】一元二次方程的根与系数的关系【试题解析】（1）如图,作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接CD′，AD′．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝45°．∵∠DBC＝30°，∴∠ABD＝∠ABC－∠DBC＝15°．∵AB＝AB，∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，∴△ABD≌△ABD′．∴∠ABD＝∠ABD′＝15°，∠ADB＝∠AD′B．∴∠D′BC＝∠ABD′＋∠ABC＝60°．∵BD＝BD′，BD＝BC，∴BD′＝BC．∴△D′BC是等边三角形．∴D′B＝D′C，∠BD′C＝60°．∵，∴△AD′B≌△AD′C．∴∠AD′B＝∠AD′C．∴∠AD′B＝∠BD′C＝30°．∴∠ADB＝30°（2）第一种情况：当时如图,作∠ABD′＝∠ABD，B