2012-2013高一数学北师大版必修1：1.2《集合的基本关系》课件

第一章集合集合的基本关系§2学习方法指导方法警示探究思路方法技巧课堂巩固训练探索延拓创新课后强化作业知能自主梳理知能目标解读1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别一些给定集合的子集．2．能使用Venn图表达集合间的关系，尤其要注意空集这一特殊集合的意义．3．理解集合关系与其特征性质之间的关系，并能简单应用．重点难点点拨重点：抽象集合与Venn图结合考查集合间的包含关系．难点：子集、真子集以及结合元素的互异性确定参数．学习方法指导一、子集(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由任意x∈A，都能推出x∈B.(2)任何一个集合都是它本身的子集，事实上，对于任一集合A，它的任何一元素都属于集合A本身，故有A⊆A.(3)空集是任何集合的子集，对于任一集合A，总有∅⊆A，空集是任一非空集合的真子集．(4)若A不是B的子集，记作A⃘B(或B⊉A)，读作：“A不包含于B”(或“B不包含A”)．(5)如果集合A是集合B的子集，不能理解为集合A是集合B中的“部分元素”所组成的集合．因为若A＝∅，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素，但此时可以说集合A是集合B的子集．(6)A是B的子集，有两类不同情况，一是A＝B，二是AB，二者必有其一．(7)如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C.二、集合相等对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，同时集合B中的任何一个元素都是集合A中的元素，这时，我们说集合A与集合B相等，记作A＝B.例如，A＝{x|(x－7)(x＋5)＝0}，B＝{－5,7}，不难看出A＝B.注意：(1)集合A与B相等，其通俗说法便是：集合A与集合B的元素是相同的，我们就说集合A与集合B相等，而用严格定义的符号表示则是：对于集合A与B，如果A⊆B，同时B⊆A，则A＝B，因此，要证明两个集合A与B相等，即要证明A⊆B且B⊆A.(2)在解决与集合相等有关问题时，要注意集合的元素是否满足三条性质：确定性、互异性、无序性．三、真子集对于两个集合A与B，如果A⊆B，且A≠B，就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)．需注意以下几点：(1)空集是任何非空集合的真子集；(2)对于集合A、B、C，若AB，BC，则AC；(3)对于任意集合A和B，有A⊆BA＝B⇔A⊆B，且B⊆AA≠B⇒AB；A⃘B(4)元素与集合的关系是属于与不属于的关系，用符号“∈”、“∉”表示；集合与集合之间的关系是包含、真包含、相等的关系，用符号“⊆”“”和“＝”表示．(5)有限集合的子集个数：①n个元素的集合有2n个子集．②n个元素的集合有2n－1个真子集．③n个元素的集合有2n－1个非空子集．④n个元素的集合有2n－2个非空真子集．知能自主梳理1．子集、真子集、集合相等的概念概念定义符号表示图形表示子集如果集合A中的________元素都是集合B中的元素(若a∈A则a∈B)，那么集合A称为集合B的子集A____B(或B____A)概念定义符号表示图形表示真子集如果________，并且________，那么集合A称为集合B的真子集A______B或(B________A)概念定义符号表示图形表示集合相等如果集合A中的________都是集合B中的元素，同时集合B中的________都是集合A中的元素，称集合A与集合B相等A______B2.性质(1)任何一个集合A是它本身的______，即________．(2)空集是任何集合的________，是任何非空集合的真子集．(3)对于集合A、B、C，如果A⊆B，B⊆C，则________．(4)对于集合A、B、C，如果AB，BC，则________．3．Venn图我们常用平面内一条____________表示一个集合，用这种图形可以形象地表示出集合之间的关系，这种图形通常叫作Venn图．[答案]1.任何一个⊆⊇A⊆BA≠B任何一个元素任何一个元素＝2．(1)子集A⊆A(2)子集(3)A⊆C(4)AC3．封闭曲线的内部思路方法技巧子集、真子集的概念[例1]已知集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4,5}，且AM⊆B，写出满足上述条件的集合M.[分析]由题意知，M中至少含有1,2两个元素，且3,4,5中至少含有一个元素才能满足A是M的真子集，M是B的子集．[解析]∵AM⊆B，∴A为M的真子集，M为B的子集，∴M至少含有3个元素．∴当M含有3个元素时{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；当M含有4个元素时{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；当M含有5个元素时{1,2,3,4,5}，共7个．[方法总结]1.求集合的子集问题时，一般可以按照集合的元素个数进行分类，再依次找出每类中符合要求的集合．2．解决这类问题时，还要注意两个比较特殊的集合，即∅和集合自身．3．集合子集、真子集个数的规律为：含有n个元素的集合有2n个子集，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．写出集合{a，b，c}的所有子集．[分析]按元素的个数的多少分别写出该集合的子集．[解析]此集合一个元素也没有的子集为∅.含有一个元素的子集为：{a}，{b}，{c}含有两个元素的子集为：{a，b}，{a，c}，{b，c}含有三个元素的子集为：{a，b，c}因此，此集合的子集为∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}．一共有8个子集．[方法总结]一个集合的子集的确定方法是按照元素个数的多少来分类的．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.集合的相等[例2]设集合A＝{1，a，b}，B＝{a，a2，ab}，且A＝B，求实数a，b.[分析]由题目可获得以下主要信息：①A、B两个集合各有三个元素，且A中有一个已知元素1.②两集合有一个公共元素a，且a≠1.③A＝B.解答本题只需建立有关实数a，b的方程组即可，可先根据A＝B，得a2＝1或ab＝1，然后列出方程组解出a，b的值，但要特别注意集合中元素的互异性．[解析]因为A＝B，∴a2＝1或ab＝1，且a≠1.①若a2＝1，则ab＝b.由a2＝1ab＝ba≠1，得a＝－1b＝0.②若ab＝1，且a2＝b.由ab＝1a2＝ba≠1得方程组无解．综上a＝－1，b＝0.[方法总结]解答时，仔细研究集合A、B的特征，会发现集合A、B中都有一个公共元素a，因此去掉a后，结合就简单了，自然地有a2＝1ab＝b和a2＝bab＝1.由此可以看到，对于两个相等的集合寻找等量关系的途径并非唯一，关键是善于发现集合中元素的隐含条件，解答时还要注意集合中元素的互异性．设集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A＝B，求实数x，y的值．[解析]由于A＝B，所以x＝0y＝x2或y＝0x＝x2即x＝0y＝0或x＝1y＝0，又当x＝y＝0时，不满足集合的元素互异性，∴x＝1，y＝0.集合关系的判定[例3]已知集合A＝xx＝a＋16，a∈Z，B＝xx＝b2－13，b∈Z，C＝xx＝c2＋16，c∈Z，则A、B、C满足的关系是()A．A＝BCB．AB＝CC．ABCD．BCA[分析]判定两个集合是包含还是相等关系，由定义，可研究其元素间关系，从元素间关系即可确定，注意元素用列举法或描述法给出时的不同判定方法．[解析]解法1：简单列举各集合中的元素．A＝…，16，76，136，196，…，B＝…，－13，16，23，76，…，C＝…，16，23，76，106，….由各集合中的元素可以知道AB＝C.解法2：判断集合中元素的共性和差异．A＝xx＝6a＋16，a∈Z，B＝xx＝3b－26，b∈Z，C＝xx＝3c＋16，c∈Z.∵3b－26＝3b－1＋16，而b－1∈Z，即3(b－1)＋1与3c＋1都表示被3除余1的数，而6a＋1表示被6除余1的数，∴AB＝C.[答案]B[方法总结]记住以下结论有助于我们今后解决此类问题：(1)一个整数被2整除，可记为2k或2k＋2或2k－2；一个整数被2除余1，可记为2k＋1或2k－1(k∈Z)．(2)一个整数被3整除，可记为3k；被3除余1，可记为3k＋1或3k－2；被3除余2，可记为3k＋2或3k－1(k∈Z)．(3)一个整数被4整除，可记为4k；被4除余1可记为4k＋1或4k－3；被4除余2，可记为4k＋2或4k－2；被4除余3，可记为4k＋3或4k－1(k∈Z)．已知集合M＝{x|x＝1＋a2，a∈N＋}，P＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈N＋}，试判断M与P的关系是()A．MPB．PMC．M＝PD．M⃘P，且P⃘M[答案]A[解析]由题设可知M、P都是整数的集合，为确定它们之间的关系，可从元素与集合的关系入手，对于任意x∈M，则x＝1＋a2＝(a＋2)2－4(a＋2)＋5.∵a∈N＋，∴a＋2∈N＋，∴x∈P.这说明集合M中的任何一个元素1＋a2(a∈N＋)都是集合P的元素，∴M⊆P.又1∈P，此时a2－4a＋5＝(a－2)2＋1＝1，即a＝2.而1∉M，因为此时1＋a2＝1在a∈N＋时无解．∴综合知MP.由集合关系求参数范围[例4]若集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且BA，求m的值．[分析]要注意以下几点：①A、B都是以方程的解为元素构成的集合；②BA，即B为A的真子集；③mx＋1＝0是含字母的方程．解答本题可由条件BA入手，分别按B＝∅，B≠∅讨论．[解析]A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}，∵BA，当B＝∅时，m＝0符合题意，当B≠∅时，方程mx＋1＝0的解为x＝－1m.则－1m＝－3或－1m＝2，∴m＝13或m＝－12.综上可知，所求的m的值为0，13或－12.[方法总结](1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合．(2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．(3)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然认为非空集合而丢解，因此分类讨论思想是必须的．已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1xm＋1}，且B⊆A，求实数m的取值范围．[分析]讨论集合B→列不等式(组)→求m的取值范围．[解析]∵B⊆A，(1)当B＝∅时，m＋1≤2m－1，解得m≥2.(2)当B≠∅时，－3≤2m－1m＋1≤42m－1m＋1解得－1≤m2，综上得m≥－1.探索延拓创新集合中的探索性问题[例5]已知集合A＝{x|1ax2}，B＝{x||x|1}，是否存在实数a，使得A⊆B，若存在，求出a的取值范围．[分析]对参数a进行讨论，写出A、B，让其满足A⊆B，求a的值．[解析]B＝{x|－1x1}．(1)当a＝0时，A＝∅，显然A⊆B.(2)当a0时，A＝x1ax2a.∵A⊆B，如图(1)所示，图(1)∴1a≥－1，2a≤1，∴a≥2.图(2)(3)当a0时，A＝x2ax1a.∵A⊆B，如图(2)所示，∴1a≤1，2a≥－1，∴a≤－2.综上可知，a≥2或a≤－2或a＝0时，A⊆B.[方法总结]分类讨论是一种重要的数学思想，也是一种重要的数学方法，它适用于从整体上难于解决的数学问题．运用分类讨论来解决问题时，把所给的已知条件的集合进行科学地划分十分必要，必须遵循不重不漏和最简的原则，其一般步骤是：(1)考察分类讨论的原因和必要性；(2)明确讨论对象，确定对象的范围；(3)确定分类标准，进行合理分类，做到不重不漏；(4)逐类讨论，获得阶段性结果；(5)归纳总结，得出结论．已