差分方程方法

22020年2月16日第四章差分方程方法22020年2月16日常系数线性差分方程；差分方程的平衡点及其稳定性；连续模型的差分方法；案例分析32020年2月16日32020年2月16日一.常系数线性差分方程常系数线性齐次差分方程的一般形式为02211knknnnxaxaxax(1)其中k为差分方程的阶数，),,2,1(kiai为差分方程的系数，且)(0nkak。对应代数方程:02211kkkkaaa称为差分方程(1)的特征方程，其特征方程的根称为特征根。1.常系数线性齐次差分方程72020年2月16日72020年2月16日常系数线性非齐次差分方程的一般形式:)(2211nfxaxaxaxknknnn(2)其中k为差分方程的阶数，),,2,1(kiai为差分方程的系数，)(0nkak，)(nf为已知函数。2.常系数线性非齐次差分方程一.常系数线性差分方程92020年2月16日92020年2月16日二差分方程的平衡点及其稳定性如果*limxxkk，则称平衡点*x是稳定的，否则是不稳定的。研究平衡点*x的稳定性问题，只需要研究01kkaxx的平衡点*x＝０的稳定性问题。则0*x是稳定的平衡点的充要条件是：1a。一阶线性常系数差分方程的一般形式:,2,1,0,1kbaxxkk它的平衡点为baxx的解，不妨记为*x。1.一阶线性常系数差分方程的平衡点132020年2月16日132020年2月16日问题：已知)(xf在点kx处的函数值)1,,1,0)((nkxfk，且bxxxan110，试求函数的导数值),,2,1)((nkxfk。用差商代替微商，则有向前差：),,2,1()()()(11nkxxxfxfxfkkkkk三连续模型的差分方法向后差：),,2,1()()()(11nkxxxfxfxfkkkkk中心差：1111()()()(1,2,,)kkkkkfxfxfxknxx1.微分的差分方法142020年2月16日142020年2月16日三连续模型的差分方法2.定积分的差分方法问题：已知)(xf在点kx处的函数值),,1,0)((nkxfk，且在],[ba上可积，试求)(xf在],[ba上的积分值badxxf)(。根据定义，则有一般的求积公式:nkkkbaxfAdxxf0)()(其中kA为求积系数，它与kx的选取方法有关。152020年2月16日152020年2月16日三连续模型的差分方法2.定积分的差分方法一般取等距节点),,1,0(nkkhaxk，其中nabh为很小的数，则有常用的求积公式：10)21()(nkbahkafhdxxf(1)复化的梯形公式：162020年2月16日162020年2月16日三连续模型的差分方法2.定积分的差分方法)()(2)(2)()(2)(11101bfxfafhxfxfhdxxfnkknkkkba类似地：复化辛甫生（Simpson）公式;复化柯特斯（Cotes）公式等。（详见教材）（2）复化梯形公式：172020年2月16日四、案例:市场经济中的蛛网模型问题供大于求现象•商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定?•当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定?价格下降减少产量增加产量价格上涨供不应求•描述商品数量与价格的变化规律.数量与价格在振荡182020年2月16日gx0y0P0fxy0xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格.消费者的需求关系)(kkxfy生产者的供应关系减函数增函数需求函数f与g的交点P0(x0,y0)~平衡点一旦xk=x0，则yk=y0,xk+1,xk+2,…=x0,yk+1,yk+2,…=y0)(1kkyhx)(1kkxgy供应函数四、案例:市场经济中的蛛网模型192020年2月16日xy0fgy0x0P0设x1偏离x0x1x2P2y1P1y2P3P4x3y332211xyxyx0321PPPP00,yyxxkkP0是稳定平衡点P1P2P3P4P0是不稳定平衡点gfKKxy0y0x0P0fg)(kkxfy)(1kkyhx)(1kkxgy00,yyxxkkgfKK曲线斜率0321PPPP蛛网模型四、案例:市场经济中的蛛网模型202020年2月16日)(kkxfy)(1kkyhx在P0点附近用直线近似曲线)0()(00xxyykk)0()(001yyxxkk)(001xxxxkk)()(0101xxxxkk1P0稳定P0不稳定0xxkkxfKgK/1)/1()/1(1方程模型gfKKgfKK方程模型与蛛网模型的一致四、案例:市场经济中的蛛网模型212020年2月16日)(00xxyykk~商品数量减少1单位,价格上涨幅度)(001yyxxkk~价格上涨1单位，(下时段)供应的增量考察,的含义~消费者对需求的敏感程度~生产者对价格的敏感程度小,有利于经济稳定小,有利于经济稳定结果解释xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格.1经济稳定结果解释四、案例:市场经济中的蛛网模型222020年2月16日经济不稳定时政府的干预办法1.使尽量小，如=0以行政手段控制价格不变2.使尽量小，如=0靠经济实力控制数量不变xy0y0gfxy0x0gf结果解释需求曲线变为水平供应曲线变为竖直四、案例:市场经济中的蛛网模型232020年2月16日]2/)[(0101yyyxxkkk模型的推广•生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量.)(00xxyykk生产者管理水平提高设供应函数为需求函数不变,2,1,)1(22012kxxxxkkk二阶线性常系数差分方程x0为平衡点研究平衡点稳定，即k,xkx0的条件)(1kkyhx211kkkyyhx四、案例:市场经济中的蛛网模型242020年2月16日48)(22,1012)1(22xxxxkkk方程通解kkkccx2211(c1,c2由初始条件确定)1,2~特征根，即方程的根022平衡点稳定，即k,xkx0的条件:12,12平衡点稳定条件比原来的条件放宽了122,1模型的推广四、案例:市场经济中的蛛网模型252020年2月16日背景•多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持.•通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标.分析•体重变化由体内能量守恒破坏引起.•饮食（吸收热量）引起体重增加.•代谢和运动（消耗热量）引起体重减少.•体重指数BMI=w(kg)/l2(m2).18.5BMI25~正常；BMI25~超重;BMI30~肥胖.四、案例:减肥计划——节食与运动262020年2月16日模型假设1）体重增加正比于吸收的热量——每8000千卡增加体重1公斤；2）代谢引起的体重减少正比于体重——每周每公斤体重消耗200千卡~320千卡(因人而异),相当于70公斤的人每天消耗2000千卡~3200千卡；3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关；4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5公斤，每周吸收热量不要小于10000千卡.四、案例:减肥计划——节食与运动272020年2月16日某甲体重100公斤，目前每周吸收20000千卡热量，体重维持不变。现欲减肥至75公斤.第一阶段：每周减肥1公斤，每周吸收热量逐渐减少，直至达到下限（10000千卡）；第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标2）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划.1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划.减肥计划3）给出达到目标后维持体重的方案.四、案例:减肥计划——节食与运动282020年2月16日)()1()()1(kwkckwkw千卡）公斤/(80001•确定某甲的代谢消耗系数即每周每公斤体重消耗20000/100=200千卡基本模型w(k)~第k周(末)体重c(k)~第k周吸收热量~代谢消耗系数(因人而异)1）不运动情况的两阶段减肥计划每周吸收20000千卡w=100公斤不变wcww025.0100800020000wc四、案例:减肥计划——节食与运动292020年2月16日•第一阶段:w(k)每周减1公斤,c(k)减至下限10000千卡1)1()(kwkwk20012000)()1()()1(kwkckwkw第一阶段10周,每周减1公斤，第10周末体重90公斤10kkwkw)0()()1(1)0()1(kwkc80001025.09,1,0,20012000)1(kkkc吸收热量为1）不运动情况的两阶段减肥计划]1)([1)1(kwkc10000mC四、案例:减肥计划——节食与运动302020年2月16日])1()1(1[)()1()(1nmnCkwnkw•第二阶段：每周c(k)保持Cm,w(k)减至75公斤代入得以10000,80001,025.0mC50]50)([975.0)(kwnkwnmmnCCkw])([)1(1）不运动情况的两阶段减肥计划)()1()()1(kwkckwkw基本模型mCkwkw)()1()1(四、案例:减肥计划——节食与运动312020年2月16日nnkwkw求，要求已知75)(,90)(50)5090(975.075n•第二阶段：每周c(k)保持Cm,w(k)减至75公斤50]50)([975.0)(kwnkwn第二阶段19周,每周吸收热量保持10000千卡,体重按减少至75公斤.)19,2,1(50975.040)(nnwn19975.0lg)40/25lg(n四、案例:减肥计划——节食与运动322020年2月16日2）第二阶段增加运动的减肥计划根据资料每小时每公斤体重消耗的热量(千卡):跑步跳舞乒乓自行车(中速)游泳(50米/分)7.03.04.42.57.9t~每周运动时间(小时))()()1()()1(kwtkckwkw基本模型四、案例:减肥计划——节食与运动332020年2月16日)028.0()025.0(t24,003.0tt即取运动t=24(每周跳舞8小时或自行车10小时),14周即可.6.44)6.4490(972.075n14nmmnCCkwnkw])([)1()()()()1()()1(kwtkckwkw2）第二阶段增加运动的减肥计划四、案例:减肥计划——节食与运动342020年2月16日增加运动相当于提高代谢消耗系数2）第二阶段增加运动的减肥计划)028.0()025.0(t提高12%减肥所需时间从19周降至14周减少25%•这个模型的结果对代谢消耗系数很敏感.•应用该模型时要仔细确定代谢消耗系数(对不同的人;对同一人在不同的环境).四、案例:减肥计划——节食与运动352020年2月16日3）达到目标体重75公斤后维持不变的方案)()()1()()1(kwtkckwkw每周吸收热量c(k)保持某常数C，使体重w不变wtCww)(wtC)()(15000