2015中考数学全景透视复习课件-解直角三角形及应用

第25讲解直角三角形及应用考点一解直角三角形1．解直角三角形的定义由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形(直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即3条边和2个锐角)．2．直角三角形的边角关系在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；(2)两个锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；(3)边角之间的关系：sinA＝ac，cosA＝bc，tanA＝ab，sinB＝bc，cosB＝ac，tanB＝ba.3．解直角三角形的类型已知条件解法两直角边(如a，b)由tanA＝ab，求∠A；∠B＝90°－∠A；c＝a2＋b2斜边、一直角边(如c，a)由sinA＝ac，求∠A；∠B＝90°－∠A；b＝c2－a2一锐角与邻边(如∠A，b)∠B＝90°－∠A；a＝b·tanA；c＝bcosA一锐角与对边(如∠A，a)∠B＝90°－∠A；b＝atanA；c＝asinA斜边与一锐角(如c，∠A)∠B＝90°－∠A；a＝c·sinA；b＝c·cosA温馨提示：解直角三角形的思路可概括为“有斜斜边用弦正弦、余弦，无斜用切正切，宁乘勿除，取原避中”.考点二解直角三角形的应用1．仰角、俯角如图①，在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．2．坡度(坡比)、坡角如图②，坡面的高度h和水平距离l的比叫做坡度(或坡比)，即i＝tanα＝hl，坡面与水平面的夹角α叫做坡角．3．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标方向线所成的角(一般指锐角)，通常表达为北(南)偏东(西)多少度．如图③，A点位于O点的北偏东60°方向．注意：东北方向指北偏东45°方向，东南方向指南偏东45°方向，西北方向指北偏西45°方向，西南方向指南偏西45°方向．我们一般画图的方位为上北下南，左西右东．考点一解直角三角形例1(2014·杭州)在直角三角形ABC中，已知∠C＝90°，∠A＝40°，BC＝3，则AC＝()A．3sin40°B．3sin50°C．3tan40°D．3tan50°【点拨】∵∠B＝90°－∠A＝90°－40°＝50°，tanB＝ACBC，∴AC＝BC·tanB＝3tan50°.故选D.【答案】D方法总结：解直角三角形时，结合图形，根据题目的已知条件选择合适的表达式求解.一般地，尽可能选择乘法表达式，并尽可能使用题目给出的原始数据求解.考点二用直角三角形的边角关系解三角形例2(2014·济宁)如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝23，则AB的长为________．【点拨】如图，过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中，AC＝23，∠A＝30°，∴CD＝3，AD＝AC2－CD2＝3.在Rt△BCD中，CD＝3，∠B＝45°，∴BD＝3，∴AB＝AD＋BD＝3＋3.【答案】3＋3温馨提示：当三角形不是直角三角形时，可以通过作高构造直角三角形求解.考点三解直角三角形的应用例3(2014·莱芜)如图，一堤坝的坡角∠ABC＝62°，坡面长度AB＝25米(图为横截面)，为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角∠ADB＝50°，则此时应将坝底向外拓宽多少米？(结果保留到0.01米)(参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan50°≈1.20)【点拨】本题考查解直角三角形的应用，坡度、坡角问题是常见的类型．解：如图，过点A作BC的垂线交BC于点E.在Rt△ABE中，AB＝25米，∠ABC＝62°，∴AE＝25×sin62°≈25×0.88＝22(米)．BE＝25×cos62°≈25×0.47＝11.75(米)．在Rt△ADE中，AE＝22米，tan50°≈1.20，∴DE＝AEtan50°≈221.20≈18.33(米)．∴DB＝DE－BE≈18.33－11.75＝6.58(米)．答：应将坝底向外拓宽6.58米．方法总结：坡度、坡角和仰角、俯角问题是应用解直角三角形解决问题的两种常见类型.①坡度、坡角问题中，两个直角三角形有公共的直角边，先求出公共边是解决此类题目的基本出发点；②仰角、俯角问题中，若出现两个不同的仰角俯角或一个仰角、一个俯角，解决此类问题时，一般是设出未知数，用同一个未知数表示问题中的未知量，然后根据问题中的数量关系列出方程求解.1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cosB＝23，则BC的长为(A)A．4B．25C.181313D.1213132．如图，从热气球C处测得地面A，B两点的俯角分别为30°，45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A，D，B在同一直线上，则AB两点间的距离是()A．200米B．2003米C．2203米D．100(3＋1)米解析：∵∠ACD＝60°，CD＝100(米)，∴AD＝CD·tan∠ACD＝1003(米)．∵∠BCD＝45°，CD＝100(米)，∴BD＝CD＝100(米)．∴AB＝AD＋BD＝100(3＋1)米．故选D.答案：D3．某人想沿着梯子爬上高4m的房顶，梯子的倾斜角(梯子与地面的夹角)不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为(C)A．8mB．83mC.833mD.433m4．如图，两个建筑物AB和CD的水平距离为30m，张明同学住在建筑物AB内10楼P室，他观测建筑物CD楼的顶部D处的仰角为30°，测得底部C处的俯角为45°，求建筑物CD的高度．(3≈1.73，结果保留整数)解：如图，过点P作PE⊥CD于点E，则四边形BCEP是矩形，∴PE＝BC＝30m.在Rt△PDE中，∵∠DPE＝30°，PE＝30m，∴DE＝PE·tan30°＝30×33＝103≈17.3(m)．在Rt△PEC中，∵∠EPC＝45°，PE＝30m，∴CE＝PE＝30(m)．∴CD＝CE＋DE≈30＋17.3≈47(m).答：建筑物CD的高约为47m.5．我国为了维护对钓鱼岛P(如图)的主权，决定对钓鱼岛进行常态化的立体巡航．在一次巡航中，轮船和飞机的航向相同(AP∥BD)，当轮船航行到距钓鱼岛20km的A处时，飞机在B处测得轮船的俯角是45°；当轮船航行到C处时，飞机在轮船正上方的E处，此时EC＝5km.轮船到达钓鱼岛P时，测得D处飞机的仰角为30°.试求飞机的飞行距离BD(结果保留根号)．解：如图，过点A作AM⊥BD于点M，过点P作PN⊥BD于点N，∵AP∥BD，CE⊥AP，∴AM＝CE＝PN＝5km，MN＝AP＝20km.在Rt△ABM中，∵∠B＝45°，∴BM＝AM＝5(km)．在Rt△PND中，由题意可得∠D＝30°，∵tanD＝PNDN，即33＝5DN，∴DN＝53(km)．∴BD＝BM＋MN＋DN＝5＋20＋53＝25＋53(km)．考点训练一、选择题(每小题4分，共40分)1．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，AC＝3，那么AB的长为(D)A．3sinαB．3cosαC.3sinαD.3cosα解析：在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosα＝ACAB，∴AB＝ACcosα＝3cosα.故选D.2．(2014·丽水)如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比1∶3(坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比)，坝高BC＝3m，则坡面AB的长度是()A．9mB．6mC．63mD．33m解析：∵坡比为1∶3，即BC∶AC＝1∶3，即tanA＝33，∴∠A＝30°.∵BC＝3m，又∵sinA＝BCAB，即sin30°＝3AB，∴AB＝6(m)．故选B.答案：B3．(2014·滨州)在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝10，sinA＝35，cosA＝45，tanA＝34，则BC的长为()A．6B．7.5C．8D．12.5解析：如图，∵∠C＝90°，∴sinA＝BCAB.∴BC＝AB·sinA＝10×35＝6.故选A.答案：A4．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，如果a2＋b2＝c2，那么下列结论正确的是(A)A．csinA＝aB．bcosB＝cC．atanA＝bD．ctanB＝b解析：∵a2＋b2＝c2，∴∠C＝90°.∵sinA＝ac，∴csinA＝a，∴A正确．故选A.5．(2014·毕节)如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰在半圆上，过C作CD⊥AB交AB于D，已知cos∠ACD＝35，BC＝4，则AC的长为()A．1B.203C．3D.163解析：∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°.∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°.∴∠ACD＝∠B.在Rt△ABC中，∵cosB＝cos∠ACD＝35，BC＝4，即BCAB＝35，解得AB＝203.∴AC＝AB2－BC2＝2032－42＝163.故选D.答案：D6．(2014·随州)如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得∠BAD＝30°，在C点测得∠BCD＝60°，又测得AC＝100米，则B点到河岸AD的距离为()A．100米B．503米C.20033米D．50米解析：∵∠BCD＝60°，∠BAD＝30°，∠B＝∠BCD－∠BAD＝30°，∴AC＝BC＝100米．如图，过点B作BE⊥AD于点E，在Rt△BCE中，∠BCE＝60°，∴BE＝BC×sin60°＝503(米)．故选B.答案：B7．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB，垂足为D，CD＝1，则AB的长为()A．2B．23C.33＋1D.3＋1解析：在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠A＝45°，∴AD＝CD＝1.在Rt△BCD中，∵∠BDC＝90°，∠B＝30°，∴BD＝CDtanB＝1tan30°＝3.∴AB＝AD＋BD＝1＋3.故选D.答案：D8．(2014·临沂)如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B，C之间的距离为()A．20海里B．103海里C．202海里D．30海里解析：如图，∵∠ABE＝15°，∠DAB＝∠ABE，∴∠DAB＝15°，∴∠CAB＝∠CAD＋∠DAB＝90°.又∵∠CBE＝∠FCB，∠CBA＋∠ABE＝∠CBE，∴∠CBA＝∠FCB－∠ABE＝45°.又∵AC＝40×12＝20(海里)，∴在Rt△ABC中，sin∠ABC＝ACBC＝20BC＝22.∴BC＝202(海里)．故选C.答案：C9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，cosA＝45，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则DE的长为()A.32B.103C.256D．2解析：∵∠ACB＝90°，cosA＝45，∴ACAB＝45.又∵BC＝3，AC2＋BC2＝AB2，∴AB＝5，AC＝4.∵DE是AB的垂直平分线，∴BD＝2.5，∠EDB＝90°，∴∠ACB＝∠EDB.又∵∠ABC＝∠EBD，∴△ABC∽△EBD，∴BCBD＝ACED，即32.5＝4ED，解得ED＝103.故选B.答案：B10．小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米，已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米，垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为()A．(6＋3)米B．12米C．(4－23)米D．10米解析：如图，延长AC交BF的延长线于点D，则∠CFD＝30°.作CE⊥BD于点E，在Rt△CFE中，∠CFE＝30°，CF＝4米，∴CE＝2米，EF＝4cos30°＝23(米)．∵同一时刻，一根长为1米，垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，∴ED＝4米，∴BD＝BF＋FE＋ED＝(12＋23)米．在Rt△ABD中，AB＝12BD＝12×(12＋23)＝(6＋3)米．故选A.答案：A二、填空题(每小题5分，共25分)11．(2013·成都)如图，某山坡的坡面