第七章 土壤特性的空间变异性2

第七章土壤特性的空间变异性土壤特性在空间分布是非均一的，例如在平面上土壤的质地、剖面上土层的厚度，以及土壤含水率、土壤水分运动参数、土壤水基质势（负压）、含盐量等在同一时刻，即使是相距很近的点，其数值也是不同的。这种土壤特性在空间上分布的差异性称为土壤特性的空间变异性。为了探讨土壤各种因素的变化规律，必须进行田间试验，布设观测点和取样点，由于土壤特性空间变异性的存在，观测和取样点数目不宜过少，但因受人力、物力的限制，也不宜过多，这样，就存在确定合理取样数目、对未观测点进行估值、利用土壤特性的变异规律对田间土壤水分运动进行分析等问题。以下将分别对这些问题作简要介绍。第一节土壤特性的变异性和合理取样数目一、土壤特性的变异性分析[55，63，68，69]土壤特性受随机因素的影响，在一定的空间内进行多次试验所取得的数值可能是不同的，因而存在一定的偶然性。如将土壤特性看作是一个随机变量Z，在空间上变化看作是独立的变化，则其变化特征可由其概率密度函数产P（x）表示。X为土壤特性x的可能取值，发生这一事件的概率为p（x）。发生随机变量X的取值小于或等于X的事件的概率为xdxxpxXp)()(（2-7-1）概率P（X≤x）称为累积概率，概率密度函数P（x）为一非负函数，P（x）≥0，且P（－∞〈x〈∞〉=dxxp)(。累积概率函数P（X≤x）。有时写成：)()(xPPxFF（x）称为随机变量X的分布函数。随机变量有多种分布形式，对于土壤特性最常见的有以下两种。1．正态分布在这种情况下概率密度表达式为222)(exp[21)(mxxp](2-7-2)式中δ、m——常数随机变量X服从正态分布，记为X～N（m，δ2）。在m=0，δ=1时的正态分布，称之为“标准正态分布”，记为N（0，l）。xxmxdxxpxF222)(exp[21)()(](2-7-3)2．对数正态分布在数据取对数后服从正态分布的，其概率密度的表达式为222)(lnexp[21)(mxxxp]x0式中δ*、m*—一对数正态分布的特征常数。判断随机变量X是否属于正态分布或对数正态分布，可以根据试验或观测值或对观测数据取对数计算累积概率，并点绘于正态概率纸上，如观测参数值与相应累积概率呈直线则为正态分布。如对数值与累积概率呈直线关系，则为对数正态分布。若随机变量X为正态分布，式（2－7－2）中m和δ。分别为随机变量X的均值和方差；若随机变量为对数正态分布，则m*和δ*为Inx的均值和方差。如随机变量X有一个容量为N的样本：x1，x2，…，x。，其分布属正态分布，该随机变量总体的均值和方差可用样本的均值x和方差S2进行估计：NiixNx11(2-7-5)112NS21)(xxNii(5-7-6)同理，随机变量为对数正态分布时，m*和δ*也可用x*和S*2进行估计。标准差（方差δ2的平方根）与均值之比称为变差系数Cv，：mCv(2-7-7)土壤特性的变差系数Cv；可以反映土壤特性变异性的大小。二、合理的取样数目在根据一定容量N的样本分析土壤特性时，样本的均值xn和方差与总体的均值m和方差是有一定差别的。如将xn也作为随机变量，则取样数N越大，xn越接近于m，xn的方差越小。土壤特性分析的要求一定，即样本的均值xn和总体的均值m之差必须小于或等于一定精度μ时，则达到这一精度要求的取样数目N必须使发生小平或等于这一精度μ的事件的概率达到所要求的置信水平，即Lnpmxp}|{|(2-7-8)在取样数目足够多时，根据概率统计原理可知，随机变量NmxuN/2为标准正态分布（即均值为0，方差为1）。根据正态分布特点在PL已知时，可自正态分布双值分位数表查得满足置信水平PL（显著水平a=1一PL）时的NmxN/2值μα即PuLaNNmxp/2(2-7-9)自式（2－7－9）可求得满足置信水平PL和一定精度μ要求的取样数目：22uN(2-7-10)例如，置信水平PL=95％时，μα查得为1.96，则284.3N(2-7-11)若取μ=km（k可取5％、10%等），由于Cr=δ/m．所以取样数：284.3mCNV(2-7-12)当k取10%．Cv=0.l时，合理取样数N=4；Cv=l.0时，合理取样数N=40在实际工作中，总体方差是未知的，须用样本方差S2代替。由概率统计原理可知，随机变量t=（xn一m）／√S2/N服从t分布。满足置信水平PL，（显著水平a=1—PL）的tαv，可自t分布函数累积概率表2－7－1查得。PtLaNNSmxp,2/（2-7-13）式中tαv一—当显著水平a=l一pL，自由度v=N—1时的t值。自式（2－7－13）可得达到精度μ要求的取样数目：22,StN（2-7-14）由于t为取样数N=v＋l的函数[70]须通过试算求得。例如，根据试验资料，土壤特性标准差为S=0.05，要求试验精度为μ=0.01，显著水平α=0.1。达到以上要求的取样数N值为2,222501.005.0ttN70,678.11,1.0NtN第二节土壤特性的空间结构和Kriging内插法在土壤特性空间变异性分析中，常将土壤特性参数在空间上的变化看作是随机的、互相独立的。但是，实际上在一定的范围内各点的参数值存在着一定的相关关系，只有在取样点间的距离超过一定数值时，各点取样才能认为是独立的。以下将分析土壤特性空间分布的相关性，亦即土壤特性的空间结构。一、土壤特性空间分布的自相关分析在进行土壤特性参数测定时，如沿某一方向以等间距Δx布置测点，总测点数为N。测点位置分别以x1，x2，x3…，xn表示。如图2－7－l，测得各点参数值为Z（X1），Z（X2），…，Z（xN）。两组共N－1对相对应的参数系列，对这两组参数值进行相关分析，所得的相关系数称为间距为h=ΔX的自相关系数。如取间距h=2ΔX，将形成两组共N—2对相互对应的参数系列，可求得间距为h=2ΔX的自相关系数，其余类推，可得间距为任一间距h时的自相关系数r（h），其表达式为hxZDxZDhxZxZChrov,（2-7-15）hxZxZNhCiNiiov11（2-7-16）式中D[Z（X）]、D[Z（X+h）]——分别为随机变量Z（X）和Z（X十h）的方差；C0v[Z（X），Z（X十h）]——这两个随机变量的协方差，可简写为C0v（h）；μ——参数Z（X）的均值。在两组系列足够长时2hxZDxZD(2-7-17)可简化为2hChrov(2-7-18)自相关系数r（h）随间距h而变化，故又称自相关函数。h→0，r（h）=1。r（h）随h的增大而减小，在不存在相关关系时，r（h）=0，参数值是互相独立的。若土壤特性参数Z（x）的测定不是沿一个方向，此时间距h为矢量，仍可沿不同方向采用式（2－7一15）进行自相关分析，只是式中为矢量。二、土壤特性空间分布的半方差分析反映土壤特性空间结构的另一指标为半变异函数或半方差，进行空间变异分析时有以下两项基本假设。1．均值稳定认为土壤特性参数Z（x）的均值E[Z（x）]存在，且为常数Δ，即hxZExZE(2-7-19)根据这一假定可推论Z（x）与Z（X十h）的协方差存在，且为有限值，即hxZxZEhxZxZCov,2hxZxZE=hCov(2-7-20)2．D[Z（x）—Z（X十h）]存在，且为有限值两系列Z（x）与Z（X十h）对应值之差的方差风D[Z（x）—Z（X十h）]仅与h有关，记为2γ（h），即22hxZxZEhxZxZDh(2-7-21)由于γ（h）=D[Z（x）—Z（X十h）]/2，故称半方差；γ（h）随h而变化，有时亦称为半变异函数。将式（2－7－21）右端展开，并利用式（2－7－19）和式（2－7－20），可导出：hCChrovov0其中20xZECov（2-7-22）将式（2－7－18）代入式（2－7－22），并利用γ（0）=l，则可导出半方差与自相关系数理论上关系：hrh12（2-7-23）h＝0，r（0）＝1，γ（0）=0随着h的加大，半方差γ（h）也随之增大。当h≥a时，r（h）=0，则，r（h）=δ2（或S2）。因此，由半方差图可以判断出该参数空间分布的相关距离a。在根据实测资料进行土壤特性变异性分析时，半方差值可自下式计算：2hxZxZEh2121NIiihxZxZN(2-7-24)在求得不同间距h时的半方差γ（h）后，常将γ（h）与h的关系用经验公式表示。例如，雷志栋等根据商丘县大吴庄5．2km2范围内46眼观测井1979年10月1日地下水位观测资料，求得γ（h）与h关系点据如图2－7－2所示，并将γ（h）与h关系概化为以下经验公式[67]：haCh1ah1Chah(2-7-25)式中α—一为相关距离（如图2－7一2中所示）；C1——取观测值的方差（图2－7－2）。三、Kriging最优内插法研究变量Z（x）有N个测点。x1，x2，x3，…，xN。为已知，需求在x。点Z（x。）的估计值。假定Z（x。）*的估计值是N个有效数据的加权平均值：NiiixZxZ10(2-7-26)为了找出一组能达到最优估计的权因子λ，必须满足无偏估计和方差最小两项基本要求（1）无偏估计，即无系统误差，可表示为000xZxZE(2-7-27)将式（2-7-26）代人式（2－7－27），有：Nii11(2-7-28)（2）估计方差最小，即min20000xZxZExZxZD(2-7-29)式中方差引入了线性组合NiiixZxZ0为了区别一般方差，故称之为Krige方差。根据空间变异分析理论．式（2－7－29）经推导可得：0110,xxxZxZDijNiNjio(2-7-30)式中：λ（xi，xj），λ（xi，x0）分别代表向量的一端扫过x0和xi，另一端独立地扫过点xi时半变异函数（半方差）值，二者均可由试验资料采用式（2－7－24）求得的λ（h）半方差图或与公式（2－7－25）相类似的经验公式求得。为使估值最优，所选取的系数λi应满足式（2－7－30）和式（2－7－28）。为此，选用拉格朗日乘数法，令niiixZxZDL10012,(2-7-31)式中μ一待定的拉格朗日乘子。取L对λi，μ的偏导数，并使其为零。由δL/δλi=0得：jijiNjjxxxx,,1（2-7-32）由0iL，得：11Nii（2-7-28）于是可得一个N+1个未知数（N个λ，一个μ），有N十1个方程的方程组，写成矩阵形式为：求解矩阵（2-7-33），即可求得各项系数λi及μ。利用式（2－7－20）和式（2－7－32）可得估计方差：NiiixxxZxZD1000,第三节田间土壤水分特征曲线与导水率的标定土壤水分特征曲线——土壤水基质势和含水率之间的关系ψ～θ和非饱和土壤导水率与含水率之间的关系k～θ，都是分析土壤水分运动问题的基本参数，这些参数都具有明显的空间变异性。所谓“标定”即是通过对每一点选取适当的比例系数（或标定系数），将空间变异的ψ（θ）和k（θ）关系，标定为对各点土壤均适用的ψ～θ和k～θ关系。这样就可用统