第一章小结及习题集

第一章函数与极限习题课函数极限连续函数的定义函数的性质单值与多值奇偶性单调性有界性周期性反函数隐函数反函数与直接函数之间关系基本初等函数复合函数初等函数双曲函数与反双曲函数（一）函数下列各种关系式表示的y是否为x的函数?为什么?1sin1)1(xy],0[,cos,sinmax)2(2xxxy22,arcsin)3(xuuy不是40x,cosx24x,sinx是不是提示:(2)y0,10,1)()4(33xxxxxf0,10,1)()2(xxxf1,41,2)()3(xxxf,2xxxyo421⑶1,11,13xx1)1(32xx,16xoxy11⑵0x1xRx下列函数是否为初等函数?为什么?0,0,)()1(xxxxxf2xxy1⑷以上各函数都是初等函数.下列各组函数是否相同?为什么?)arccos2cos()()1(xxf]1,1[,12)(2xxx与axaaxxxf,,)()2(2)(21)(xaxax与0,0,0)()3(xxxxf)]([)(xffx与相同相同相同例1已知函数,求.1)2(xxf)1(xf解321)2(xxxf31)1(xxf例2已知函数,求.21111xxfxf2112112111111222xxxxxxf解3)(xxf222xxxf例3判断下列函数的奇偶性11xxaaxy1ln2xxy①②解①xxxxxxxxxxaaxaaaaxaaxaaxxf1111111111)(11xfaaxxx11xxaaxy∴函数为偶函数。②22()ln(()1)ln(1)fxxxxx2222(1)(1)1lnln().(1)1xxxxfxxxxx∴函数为奇函数。)1ln(2xxy例4求y=2sin3x的反函数.解由函数y=2sin3x,得23sinyx2arcsin3yx2arcsin31yx∴y=2sin3x的反函数为.2arcsin31xy例5).(.1,0,2)1()(xfxxxxxfxf求其中设解利用函数表示法的无关特性,1xxt令,11tx即代入原方程得,12)()11(ttftf,12)11()(xxfxf即,111uux令,11ux即代入上式得,)1(2)1()11(uuuufuf,)1(2)1()11(xxxxfxf即解联立方程组xxxxfxfxxfxfxxxfxf)1(2)1()11(12)11()(2)1()(.1111)(xxxxf例6设函数,1,1,13)(xxxxxf)]([xff1)(,1)(3xfxf1)(,)(xfxf0x0,49xx1)13(3x10x1,xx求.)]([xff解:,13x,0)(,1)]([,)(2xxxfexfx且求)(x及其定义域.8.已知8,)]5([8,3)(xxffxxxf,求.)5(f9.设,coscsc)sin1(sin22xxxxf求.)(xf由得,)1ln()(xx]0,(xxx)(x7.解:)(x7.][f8.已知8,)]5([8,3)(xxffxxxf,求.)5(f解:)5(f)(f)10(f)7(f][f)(f)9(f69.设,coscsc)sin1(sin22xxxxf求.)(xf解:1sin)(sin2sin1sin12xxfxx3)(sin2sin1xx3)(2xxf数列极限函数极限axnnlimAxfx)(limAxfxx)(lim0左右极限极限存在的充要条件无穷大)(limxf两者的关系无穷小的性质极限的性质求极限的常用方法无穷小0)(limxf判定极限存在的准则两个重要极限无穷小的比较等价无穷小及其性质唯一性（二）极限x1x2x2Nx1Nx3x几何解释:2aaa.)(,),(,落在其外个至多只有只有有限个内都落在所有的点时当NaaxNnn.,,0,0limaxNnNaxnnn恒有时使一、数列极限1．数列极限的定义2．数列极限的运算法则bBaAybxabyaxnnnnnnnlimlim)(lim)1(AByxyxnnnnnnnlimlim)(lim)2()0(limlimlim)3(时BBAyxyxnnnnnnn3．数列极限的主要性质MxMAxnnn||,0,lim)1(使得则有界性：若BABxAxnnnn，则唯一性：若lim,lim)2(4．数列极限的存在准则AzAyzxynnnnnnnlim,lim,)1(夹逼准则：若Axnnlim则单调有界收敛原理)2(AxMxxxnnnnnlim,1AxMxxxnnnnnlim,1数列极限解题方法流程图求limnna可找到数列和满足nbncnnnbaclimlimnnnnbaca应用夹逼准则1()nnaga验证单调有界na应用单调有界准则1limlim()()nnnnaagagalimnnaa恒等变形应用极限的四则运算法则求极限判别的形式na()nafn为分式nalimnnaalimnnaa例1定义验证221lim.292nnnnn证0取N？nN,214nnn22219||||2922(29)nnnnnnn(当n≥9时)取Nmax{9,[]},则0nN,有1221||.292nnnn即221lim.292nnnnn例2求1lim(123).nnnn11113(3)(123)(333)333()nnnnnnnnnnn解1lim(123)3.nnnn故由迫敛性得EX求222111lim(...).12nnnnn22222111...).112nnnnnnnnn提示证①1a先设1na则01nnnhah记得由nnha12!2)1(1)1(nnnnhnnnhhannh（整体和大于部分和）nahn0由夹逼定理知0limnnh1limnnabaa11，记若1b则1limnnn例3证明1limnnannnnba1limlim1②1nn首先nnhn1记22!2)1(1)1(nnnnhnnnhhn2!2)1(1nhnnnhn202由夹逼定理知0limnnh1limnnn[分析]要用夹逼定理，须进行放缩1)()1(22nnnnnnnn1)1(lim2nnnnn但21)(lim2nnnnn不能这样用夹逼定理解注意到分子成等差数列nnnnnn2)()2()1(1)()2()1(2nnnnn例4求极限nnnnnnnnn2222211lim)1(2)13()(2)13(22nnnnnnn即23)(2)13(lim2nnnnn23)1(2)13(lim2nnnn232211lim222nnnnnnnnn解：例5计算)2211(lim222nnnnnnnnn1)1(212211)1(2122222nnnnnnnnnnnnnnnnn而21)1(21lim2nnnnnn211)1(21lim2nnnnn由夹逼准则得21)2211(lim222nnnnnnnnn分析本题是求n项和的数列极限问题，从通项的形式上看，可通过适当放缩以后，利用夹逼准则来计算。例6.设证明1103(3)(1,2,3,)nnnxxxxn，，{xn}的极限存在,并求此极限.解由0x13知x1、3-x1均为正数,故211110(3)3xxxxx221113(()(3))22xx设则30(1)2kxk，30(1).2nxn221130(3)(()(3)),22kkkkkxxxxx1(3)nnnnnxxxxx当n1时，((3))((3))(3)nnnnnnnnnxxxxxxxxx(32)0,(3)nnnnnxxxxx∴{xn}单调递增且有上界,故极限存在.不妨令由1(3),nnnxxxlim,nnxa2(3),aaa有令n→∞,得21(3),nnnxxx3lim.2nnx解得a=a=0(舍去).(∵n1时,xn0且单调增加)32，例7设),2,1)((21,0,011naaaaaannnnnalim（1）证明存在（2）计算nnalim解：(1)由于0)(211aaaaaaaannnnn所以)2(naan又)2(02)(2121naaaaaaaaannnnnnn有下界na即na在时单调下降2n进而证明了数列的有界性。由单调有界数列必有极限知存在nnalim解：(2)设nnalim则有1()2aa（因，故舍去负值）0na注：应用单调有界数列必有极限准则证明数列极限存在，需分别证明数列的单调性和有界性。至于先证单调性还是有界性要根据具体问题具体分析。limnnaa＝所以)11()311)(211(lim222nnnnnnn1134322321lim原式nnn1lim2121]21[limnnnnn121lim2)1(limnnnnnnn原式202212例8例9.Axfxx)(lim0二、函数的极限1．函数极限的定义Axfx)(lim2．函数的左右极限左极限:.)(,,0,000Axfxxx恒有时使当右极限:.)(,,0,000Axfxxx恒有时使当.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx或记作.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx或记作AxfxfAxfxxxxxx)(lim)(lim)(lim)1(000003．函数极限收敛的充要条件AxfxfAxfxxx)(lim)(lim)(lim)2(4．函数极限的运算法则bBaAxgbxfaxbgxaf)(lim)(lim)]()(lim[)1(ABxgxfxgxf)(lim)(lim)]()(lim[)2()0()(lim)(lim)()(lim)3(时BBAxgxfxgxfBABxfAxf则唯一性：若,)(lim,)(lim)1(5．函数极限的主要性质0,0)(lim)2(0MAx