第八章弯曲刚度

第八章弯曲刚度2020/2/162上一章的分析结果表明，在平面弯曲的情形下，梁的轴线将弯曲成平面曲线。如果变形太大，也会影响构件正常工作。因此，对机器中的零件或部件以及土木工程中的结构构件进行设计时，除了满足强度要求外，还必须满足一定的刚度要求，即将其变形限制在一定的范围内。为此，必须分析和计算梁的变形。另一方面，某些机械零件或部件，则要求有较大的变形，以减少机械运转时所产生的振动。汽车中的钣簧即为一例。这种情形下也需要研究变形。此外，求解静不定梁，也必须考虑梁的变形以建立补充方程。第8章弯曲刚度3梁的变形与梁的位移叠加法确定梁的挠度与转角简单的静不定梁结论与讨论弯曲刚度计算梁的小挠度微分方程及其积分第8章弯曲刚度返回总目录4在平面弯曲的情形下，梁上的任意微段的两横截面绕中性轴相互转过一角度，从而使梁的轴线弯曲成平面曲线，这一曲线称为梁的挠度曲线（deflectioncurve）。梁的曲率与位移梁的变形与梁的位移第8章弯曲刚度5根据上一章所得到的结果，弹性范围内的挠度曲线在一点的曲率与这一点处横截面上的弯矩、弯曲刚度之间存在下列关系：EIM＝1梁的曲率与位移梁的变形与梁的位移第8章弯曲刚度6梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种位置的改变称为位移(displacement)。梁的位移包括三部分：横截面形心处的铅垂位移，称为挠度（deflection），用w表示；变形后的横截面相对于变形前位置绕中性轴转过的角度，称为转角（slope），用表示；挠度与转角的相互关系梁的变形与梁的位移第8章弯曲刚度7在Oxw坐标系中，挠度与转角存在下列关系：在小变形条件下，挠度曲线较为平坦，即很小，因而上式中tan。于是有tanddxwxwddw＝w（x），称为挠度方程（deflectionequation）。梁的变形与梁的位移第8章弯曲刚度8机械传动机构中的齿轮轴，当变形过大时(图中虚线所示)，两齿轮的啮合处将产生较大的挠度和转角，这就会影响两个齿轮之间的啮合，以致不能正常工作。同时，还会加大齿轮磨损，同时将在转动的过程中产生很大的噪声。此外，当轴的变形很大时，轴在支承处也将产生较大的转角，从而使轴和轴承的磨损大大增加，降低轴和轴承的使用寿命。梁的变形与梁的位移第8章弯曲刚度9在工程设计中还有另外一类问题，所考虑的不是限制构件的弹性位移，而是希望在构件不发生强度失效的前提下，尽量产生较大的弹性位移。例如，各种车辆中用于减振的钣簧，都是采用厚度不大的板条叠合而成，采用这种结构，钣簧既可以承受很大的力而不发生破坏，同时又能承受较大的弹性变形，吸收车辆受到振动和冲击时产生的动能，收到抗振和抗冲击的效果。梁的变形与梁的位移第8章弯曲刚度10梁的小挠度微分方程及其积分第8章弯曲刚度返回11力学中的曲率公式数学中的曲率公式EIM123222dd1dd1xwxw小挠度微分方程梁的小挠度微分方程及其积分第8章弯曲刚度12小挠度情形下对于弹性曲线的小挠度微分方程，式中的正负号与w坐标的取向有关。2d1dwx22322dd1d1dwxwxEIMxw22dd小挠度微分方程梁的小挠度微分方程及其积分第8章弯曲刚度13EIMxw22ddEIMxw22dd00dd22Mxw,00dd22Mxw,小挠度微分方程梁的小挠度微分方程及其积分第8章弯曲刚度14采用向下的w坐标系，有EIMxw22dd小挠度微分方程梁的小挠度微分方程及其积分第8章弯曲刚度15EIMxw22dd对于等截面梁，应用确定弯矩方程的方法，写出弯矩方程M(x)，代入上式后，分别对x作不定积分,得到包含积分常数的挠度方程与转角方程：dddlMxwxCxEIDCxxxEIxMwlldd其中C、D为积分常数。小挠度微分方程梁的小挠度微分方程及其积分第8章弯曲刚度16积分法中常数由梁的约束条件与连续条件确定。约束条件是指约束对于挠度和转角的限制：在固定铰支座和辊轴支座处，约束条件为挠度等于零：w=0;连续条件是指，梁在弹性范围内加载，其轴线将弯曲成一条连续光滑曲线，因此，在集中力、集中力偶以及分布载荷间断处，两侧的挠度、转角对应相等：w1=w2，θ1＝θ2等等。在固定端处，约束条件为挠度和转角都等于零：w=0，θ＝0。小挠度微分方程的积分与积分常数的确定梁的小挠度微分方程及其积分第8章弯曲刚度17例题1求：梁的弯曲挠度与转角方程，以及最大挠度和最大转角。已知：左端固定、右端自由的悬臂梁承受均布载荷。均布载荷集度为q，梁的弯曲刚度为EI、长度为l。q、EI、l均已知。梁的小挠度微分方程及其积分第8章弯曲刚度18解：1．建立Oxw坐标系建立Oxw坐标系（如图所示）。因为梁上作用有连续分布载荷，所以在梁的全长上，弯矩可以用一个函数描述，即无需分段。2．建立梁的弯矩方程Oxw梁的小挠度微分方程及其积分第8章弯曲刚度19从坐标为x的任意截面处截开，因为固定端有两个约束力，考虑截面左侧平衡时，建立的弯矩方程比较复杂，所以考虑右侧部分的平衡，得到弯矩方程：解：2．建立梁的弯矩方程21()02MxqlxxlxM(x)FQ(x)梁的小挠度微分方程及其积分第8章弯曲刚度203．建立微分方程并积分Oxw解：2．建立梁的弯矩方程21()02Mxqlxxl将上述弯矩方程代入小挠度微分方程，得212EIwMqlx梁的小挠度微分方程及其积分第8章弯曲刚度213．建立微分方程并积分Oxw积分后，得到212EIwMqlx31'6EIwEIqlxC4124EIwqlxCxD梁的小挠度微分方程及其积分第8章弯曲刚度22解：4．利用约束条件确定积分常数固定端处的约束条件为：31'6EIwEIqlxC4124EIwqlxCxD00xw，d00dwxx，=33,624qlCqlD梁的小挠度微分方程及其积分第8章弯曲刚度23解：5．确定挠度与转角方程31'6EIwEIqlxC4124EIwqlxCxD33,624qlCqlD336qlxlEI434424qwlxlxlEI梁的小挠度微分方程及其积分第8章弯曲刚度24解：6．确定最大挠度与最大转角336qlxlEI434424qwlxlxlEI从挠度曲线可以看出，在悬臂梁自由端处，挠度和转角均为最大值。于是，将x=l，分别代入挠度方程与转角方程，得到：3max6BqlEI4max8BqlwwEI梁的小挠度微分方程及其积分第8章弯曲刚度25例：讨论均布载荷梁的变形26挠度曲线的微分方程2''22xqxqlMEIvCxqxqlEIv32'64积分得：DCxxqxqlEIv432412例解27DCxxqxqlEIv432412积分常数C，D由约束条件确定X=0v=oX=Lv=0D=0243qlcCxqxqlEIv32'64例解续28例解续2464332'qlxqxqlEIvxqlxqxqlEIv242412343EIqlvfc38454maxEIqlBA243max29例题2求：加力点B的挠度和支承A、C处的转角。已知：简支梁受力如图所示。FP、EI、l均为已知。梁的小挠度微分方程及其积分第8章弯曲刚度30解：1．确定梁约束力因为B处作用有集中力FP，所以需要分为AB和BC两段建立弯矩方程。首先，应用静力学方法求得梁在支承A、C二处的约束力分别如图中所示。2．分段建立梁的弯矩方程在图示坐标系中，为确定梁在0～l/4范围内各截面上的弯矩，只需要考虑左端A处的约束力3FP/4；而确定梁在l/4～l范围内各截面上的弯矩，则需要考虑左端A处的约束力3FP/4和荷载FP。梁的小挠度微分方程及其积分第8章弯曲刚度31AB段解：2．分段建立梁的弯矩方程BC段于是，AB和BC两段的弯矩方程分别为1P3044lMxFxx2PP3444llMxFxFxxl－－梁的小挠度微分方程及其积分第8章弯曲刚度32解：3．将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分211P2d30d44wlEIMxFxxx1P3044lMxFxx2PP3444llMxFxFxxl－－222PP2d3d444wllEIMxFxFxxlx＝－－＋－梁的小挠度微分方程及其积分第8章弯曲刚度33解：3．将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分积分后，得211P2d30d44wlEIMxFxxx222PP2d3d444wllEIMxFxFxxlx＝－－＋－12P183CxFEI22P2P242183ClxFxFEI－＋＝－113P181DxCxFEIw223P3P246181DxClxFxFEIw－＋＝－其中，C1、D1、C2、D2为积分常数，由支承处的约束条件和AB段与BC段梁交界处的连续条件确定。梁的小挠度微分方程及其积分第8章弯曲刚度34解：4．利用约束条件和连续条件确定积分常数12P183CxFEI22P2P242183ClxFxFEI－＋＝－113P181DxCxFEIw223P3P246181DxClxFxFEIw－＋＝－在支座A、C两处挠度应为零，即x＝0，w1＝0;x＝l，w2＝0因为，梁弯曲后的轴线应为连续光滑曲线，所以AB段与BC段梁交界处的挠度和转角必须分别相等，即x＝l/4，w1＝w2;x＝l/4，1=2梁的小挠度微分方程及其积分第8章弯曲刚度35解：4．利用约束条件和连续条件确定积分常数12P183CxFEI22P2P242183ClxFxFEI－＋＝－113P181DxCxFEIw223P3P246181DxClxFxFEIw－＋＝－x＝0，w1＝0;x＝l，w2＝0x＝l/4，w1＝w2;x＝l/4，1=2D1＝D2=02P211287lFCC＝梁的小挠度微分方程及其积分第8章弯曲刚度36解：5．确定转角方程和挠度方程以及指定横截面的挠度与转角将所得的积分常数代入后,得到梁的转角和挠度方程为：22P378128FxxlEIAB段BC段xlxEIFxw23P128781222P317824128FlxxxlEIxllxxEIFxw233P128746181据此，可以算得加力点B处的挠度和支承处A和C的转角分别为EIlFwB3P25632P7128AFlEI2P5128BFlEI－梁的小挠度微分方程及其积分第8章弯曲刚度37确定约束力,判断是否需要分段以及分几段分段建立挠度微分方程微分方程的积分利用约束条件和连续条件确定积分常数确定挠度与转角方程以及指定截面的挠度与转角积分法小结分段写出弯矩方程梁的小挠度微分方程及其积分第8章弯曲刚度38叠加法确定梁的挠度与转角第8章弯曲刚度返回39在很多工程计算手册中，已将各种支承条件下的静定梁，在各种典型载荷作用下的挠度和转角表达式一一列出，简称为挠度表。基于杆件变形后其轴线为一光滑连续曲线和位移是杆件变形累加的结果这两个重要概念，以及在小变形条件下的力的独立作用