机构学和机器人学-2运动学中的向量法

第二章运动学中的向量法向量法是描述刚体运动的一种基本方法，可用直角坐标，也可用极坐标表示。§2-1复数矢量法(复极向量法)一、复数用两个实数x、y表示一个复数iyxzOxyXYiZ1x、y分别称为复数的实部和虚部，实部单位为“1”，略去不写，虚部单位“i”有求法规则：1iiiyxz~z~2221)~(yxzzz对实轴的对称点也对应一个复数：21)~(zzz则称是z的共轭复数，定义为复数z的模记为：模等于1的复数称为单位复数：sincosˆizsincosieiiezzθ称为幅角，由Euler公式：ieiasincosˆyxiiaaiaaeaaa)sin(cosˆ二、复数矢量的表示a如图的自由矢量的表示为：aˆ，则该矢量可表示为：设在复平面上有一个单位矢量（2-1）Oxyayxaa、于是矢量的分量分别为：aiiiaeaeiaisimaiaei)()sin()cos()cos()(a相当于矢量转过900。1）向量与单位矢量相乘：aie)()(iiiaeaee（2-2）表示向量逆时针转过一个角。a与虚数单位i的乘积：2）向量a)2()2sin()2cos()sincos(iiaeiaiaiae（2-3）同理：转过1800。a相当于矢量（2-4）是单位矢量的共轭矢量ieie1sincos)sin)(cossin(cos22iieeii3）2cosiiee2siniieeisinsincoscos)cos(sincoscossin)sin(4）两个有用公式（2-5）（2-6）（2-7）（2-8）iiiiieireriererredtddtrd)()(5）复数矢量的微分iiierer、rr、等式右边可看作二个复数矢量其中iiiee、分别为它们的矢量大小（模），为单位方向矢。，表示某一点相对于固定参考系坐标irer设矢量原点的位置，则一阶导数：（2-9）二阶导数：iiiiiiiierrerriierierriererredtd)2()()()()()(222继续求导可求出高阶导数。（2-10）JIRO可写成：则矢量a)cossin(jeaai为式中θ为矢量在复平面（O—RI平面）上的投影与J轴的夹角。与实轴R间夹角，aa三、空间矢量的复数表示aR为实轴，I、J为虚轴，取坐标系O—RIJ，矢量如图，（2-11）可看成长度a与单位向量矢量由式2—11的乘积。aˆa则单位向量：cossinˆjeai（2-12）实虚虚aaaˆaaaaaaaaaaaaˆˆ2ˆˆˆ，其一阶导数，二阶导数为:sin)cossin(ˆjieai)cos(sin)sin(coscos2)(sinˆ222jeeiieaiii式中：（2-13）（2-14）（2-15）§2-2利用复数向量进行机构的运动分析机构的运动分析是在已知机构的结构和几何尺寸的条件下，在原动件的运动规律给定时，确定从动件任一运动变量的变化规律。运动分析包括：位置分析，速度和加速度分析。其中位置分析方程通常是非线性的，只有简单的二级机构才能列出输出变量和输入变量的显函数表达式，而其他情况下，方程的求解就需要利用各种数值解法。1、铰链四杆机构建立封闭矢量方程，可有两种形式：a、连续头尾相接的封闭链；b、到达同一研究点的两个不同途径的两个分支。雷文（Raven）称为“独立位置方程”法，这一方法对解决输入和输出构件都绕各自固定点中心转动的问题特别有效。一、平面机构的运动分析如图铰链四杆机构，假设各杆长度为r1、r2、r3、r4输入角θ2已知，可列出独立位置方程：4324132iiiBerrererr位置分析的目的是求出θ3和θ4的值。（2-16）（1）位置分析？？解题思路：1）利用已知r1、r2和θ2，求出对角线矢量d。2）利用矢量d和r4求出矢量r3，解出θ3和θ4。首先确定对角线d的长度：122rdeerdii)())(())((222221222122121iiiiiieerrrrderrerrdededd将式（2—17）移项后，分别求上它们各自的共轭复数：（2-17）或：2212221cos2rrrrd（2-18）ddrrcoscos122ddrsinsin22将式（2—17）分解为实部和虚部，得：22sinsindrddrrd221coscos由此解得：所以：22122cossintanrrrd（2-19）4343iiierdeerd44334433))((iiiiiiererdeerdeerdd)(32232432diderdrr324223333223242)cos()cos(2drrdrdrdrrdd由式（2—17）计算θd，很容易判别θd的象限，当矢量可确定后，由于：取（2—21）实部得：（2-20）（2-21）d移项，两边分别乘以各自的共轭复数：消去θ44433sinsinsinrdrd4334sinsinsinrdrd有两个可能解，根据连续条件确定一个。同样，θ4有可能有2个解，根据连续条件加以确定。)(3d取（2—20）的虚部得：（2-22）（2）速度分析4324132iieierrerer432443322iiiierierier由位置方程进行求导：由于铰链四杆机构中均为刚体，因此利用上式）矢量微分，将不包含径向分量项，由此得：（2-23）iiieirerredtd)(332iiiieieie、、43322arrr、、432rrr、、22该式由相对运动速度多边形图示说明为：分别表示的方向，它们是的方向转过所得，是已知的。432443322iiiierierier444333222444333222coscoscossinsinsinrrrrrr43、222444333222444333cos)cos()cos(sin)sin()sin(rrrrrr将上述矢量方程分解为实部分量和虚部分量：未知量左移：（2-24）最后，用Cramer（克莱姆）法则解（2—24）432443322iiiierierier4433443344222442223coscossinsincoscossinsinrrrrrrrr于是可得：)sin()sin(cossinsincoscossinsincos4332422434343434242424223rrrrrrrrrr)sin()sin(43423224rr类似可求得：（2-25）（2-26）（3）加速度分析同样方法对（2—16）进行二次微分得：)()()()()()(443322244442333322222iiiiiieriereriererier（2-27）将（2-27）分解为实数分量和虚数分量，便可得含有未知数和的两个方程：34BrrrrrrArrrrrr424432332222222444333424432332222222444333sinsinsincos)cos()cos(coscoscossin)sin()sin(由此得：)sin(sincos1coscossinsincossin434434433443344443BArrrrrrBrA)sin(sincos1433344BAr2、偏置曲柄滑块机构列出B点的独立位置方程，再由位置方程一次、二次微分得速度。加速度方程。通过分离实数分量和虚数分量的方法最终求出未知量：ibxererriiB3232xierierriiB)()(323322xiereriererriiiiB)()(33223323322222？？22、444444rrr、、、、及3、摆动导杆机构，求不同位置的已知：构件1和构件2长度为r1、r2，构件2（曲柄）的角速度和角加速度为（1）位置分析42412iierirer独立位置方程为：（2-27）？？4422coscosrr44122sinsinrrr221224cossinarctanrrr4224coscosrr分成实数分量和虚数分量：两式相除得：代入（2—28）：（2-28）（2-29）（2-30）44244422iiiierereir4ie（2）速度分析两边乘以则：对（2—27）求导杆的速度方程：（2-31）4442242irreri)()sin(42224rr将上式分成实数分量和虚数分量得：442224)cos(rr4422)2()(4444244422222iiiiierrerrerier4ieirrrrerierii)2()(44442444)(222)(22424244444222242222)sin()cos(rrrr（3）对位置方程二次微分得加速度方程：两边同乘得：取虚数分量：（2-32）（2-33）（2-34）444222242224421rrrr)sin()cos(2244422224222rrrr)cos()sin(2444222242224)cos()sin(rrrr因此：取（2—23）实数分量：因此得：（2-35）（2-36），mmrmmr20312742mmbmma406102，smmc1101022，433、及如图所示RSSR机构，杆2在I—J平面旋转，杆4在平衡R—J平面旋转，已知：时杆3的位置角二、空间机构的运动分析453042，求当：？？？由于杆2在I—J平面内运动，所以矢量2r与R轴夹角θ2=900，又由于杆4在平行于R—J平面内旋转，因此向量r4在I—R平面内的投影与R轴夹角θ4=0。在I—R平面内的投影对B点可列两个独立位置方程：)cossin()cossin()cossin(444333222432432jerjcibajerjerrjcibarrriiiB(1)位置分析（2-37）矢量A0B0可表达为：