反三角函数

第六章三角函数6.4反三角函数引入课题:（一）1、追溯历史提出问题引入课题:6x1,sin;662xy2,sin2xy一类是已知角值求比值测量实际计算中的两类相反问题：例如:在正弦函数y=sinx中一类是已知比值求角值1sin,2x例如522()66xkxkk或Z1sin3x倘若，又怎样用正弦值表示相应的角值呢？?x1sin,?3xx怎样用正弦值表示相应的角值？正弦函数sinyx（角值正弦值）确定为什么要学习反正弦函数？⑴要用正弦值表示相应的角值.⑵上升到函数,研究正弦值变化时相应角值如何变化.需要考虑正弦函数y=sinx的反函数？一般地，对于函数y=f(x)．设它的定义域为Ｄ，值域为Ａ．如果对Ａ中的任意一个值y，在Ｄ中总有唯一确定的x值与它对应，满足y=f(x)，这样得到的x关于y的函数叫做y=f(x)的反函数．复习反函数的概念：提问:怎样的函数存在反函数？答:自变量与因变量是一一对应的函数存在反函数.易知单调函数必存在反函数.正弦函数y=sinx是否存在反函数？[说明]因为对于任一正弦值y都有无数个角值x与之对应，正弦函数的自变量与因变量是多对一的．因此定义在R上的正弦函数y=sinx不存在反函数．xy2O243xysin为什么?思考：216能否在正弦函数的一个周期里用正弦值表示相应角值呢？52266xkxkk或Z1sin,2x例如：1sin,626x再由sinsin-sinx51566626?x结合旧知讨论概念产生的可能性正弦函数不存在反函数，要用正弦值表示相应的角值正弦函数是周期函数·研究正弦函数的反函数目的是什么？·正弦函数为什么不存在反函数？首先，在0,2,怎么办？结合旧知讨论概念产生的可能性在该区间上存在反函数。因变量可以确定自变量，正弦值可以表示相应的角值，并且将该区间上的角值用相应的正弦值表示出目的就达到了。所以正弦函数不存在反函数并不要紧。只要选取某一区间使得sinyx在用正弦值表示相应角值时，只要表示出其中一个相应的角值，就可以了!因为根据三角比的周期性及诱导公式可以将剩余的其他角值都表示出。oyx-2-32-22322-11（一）1（2）具体分析师生共同探讨概念产生⑵能取得y=sinx的一切函数值[-1,1].y=sinx⑴y=sinx在该区间上是一一对应的.ysinxx,22应该选取怎样的区间，使得y=sinx存在反函数？的角．内正弦值为，－表示例如：322232arcsin二、反正弦函数1、反正弦函数的定义：(1)“arcsin”是反正弦函数的函数名，是一个整体符号．的那个弧度制角．内正弦值为x2,2arcsin11)2(表示一个角，这个角是时，，当xx]11[)sin(arcsin1，，：重要等式xxxarcsin[11],[]22yxx记作，，其值域为，．sin[]22yxx函数，，的反函数叫做反正弦函数,（一）1（4）多项训练强化理解概念的本质例：12arcsin13arcsin2arcsin对于符号arcsinx而言●当|x|≤1时有意义●满足sin(arcsinx)=x●表示在上的角值,22考虑下列各式的意义：1,1,221.定义域:2.值域：3.反正弦函数的对应法则与原来函数sin,,22yxx对应法则互逆反正弦函数三要素(一)2、研究反正弦函数y-11ox-221-1-22(一)2(1)画出反正弦函数的图像y=x∈∈定义域值域单调性奇偶性分段11，－22，上单调递增，在]11[奇函数2010，时，，yx(一)2(2)形数结合，解读反正弦函数的性质]11[arcsin，，xxy2－2xyo110201，时，，yx时，0x]11[arcsin)arcsin(2，，：重要等式xxx是一个锐角；xarcsin时，0x是一个负角．xarcsin例1：判断下列各式是否正确？并简述理由。3(1)arcsin233(2)arcsin32(3)arcsin12()2kkZ(4)arcsin()arcsin33(5)sin(arcsin2)222(6)sin(arcsin)1010对13错错13错21对错例、求下列反正弦函数的值．23arcsin)1(323arcsin]22[3233sin，，且解：0arcsin)2()22arcsin()3(21arcsin)4(1arcsin)5()1arcsin()6(3arcsin)7(04622不存在例2、求下列反正弦函数的函数值．)32sin(arcsin)1()]31(sin[arcsin)2()]21(sin[arcsin)3()]21(cos[arcsin)4()23cos(arcsin)5(6)21arcsin()4(解：23)6cos()]21(cos[arcsin323121233cos21例3、用反正弦函数值的形式表示下列各式中的x．；，　]22[53sin)1(xx53sin22)1(xx且，解：53arcsinx．，　]22[41sin)2(xx41sin22)2(xx且，41arcsinx41arcsin；，　]2[53sin)1(xx．，　)23(41sin)2(xx]20[2)1(，，解：xx53arcsinx53sin)sin(xx53arcsinx)02()23()2(，，xx41sin)sin(xx)41arcsin(x41arcsinx找到定义域内的角找到定义域内的角．，　]0[33sin)3(xx33arcsin]02[)3(xx时，，当说明：用反正弦函数值表示角x时，若角x不在反正弦函数的定义域内，则应先将角化到定义域内再用反正弦函数值表示角x．33arcsin]2[xx时，，当33arcsin33arcsinxx或]11[)sin(arcsin，，xxx]11[arcsin)arcsin(，，xxx课堂小结1、反正弦函数的定义、图像和性质．；是一个弧度制角xarcsin)1(2、反正弦函数值arcsinx的含义．；，即这个角的正弦等于xxx)sin(arcsin)2(．，这个角的范围是]22[)3(3、两个重要等式：