考研数学线性代数55

线性代数昆明理工大学数学系2009.122第五节二次型及其标准型二次型的定义和矩阵表示化二次型为标准型一.二次型的定义和矩阵表示在解析几何中，为了研究二次曲线221axbxycy所属的类型，选择适当的坐标旋转变换cossinsincosxxyyxy（*）含平方项的标准方程将在旧坐标（x，y）下的方程，化为新坐标(,)xy下只2212()()1xy从代数上讲，这一问题就是对二次齐次多项式22axbxycy选择适当的线性变换（*），将其化为标准形cossinsincosxxyyxy（*）2212()()xy的问题。体中都有其重要应用。本节将这一问题一般化，讨论将n个变量的二次齐次多项式化为标准形问题，它在其它许多理论和实际问定义1.n个变量12,,...,nxxx的二次齐次多项式1(,...,)nfxx222111222...nnnaxaxax1212112...2nnaxxaxx2323222...2nnaxxaxx称为n元二次型，简称二次型。当ji时，记jiijaa...1,12nnnnaxx，则2ijijjiaaa型f可写成，于是二次2111121211...nnfaxaxxaxx2212122222...nnaxxaxaxx21122...nnnnnnnaxxaxxax...,1nijijijaxx11111221(...)nnxaxaxax22112222(...)nnxaxaxax1122(...)nnnnnnxaxaxax...11111221(...)nnxaxaxax22112222(...)nnxaxaxax1122(...)nnnnnnxaxaxax...12(,,...,)nfxxx11112212112222121122......(,,...,)......nnnnnnnnnnaxaxaxaxaxaxxxxaxaxax1112112122221212......(,,...,)..................nnnnnnnnaaaxaaaxxxxaaaxTxAxxTxA其中111212122212......,...............nnnnnnaaaaaaAaaa型f的秩。ijjiaaA称为二次型f的矩阵，它是对称矩阵。A的秩称为二次阵是实对称矩阵，全体n元实二次型与全体n阶实对称矩本书只讨论系数为实数的实二次型，因此，它的矩阵是一一对应的。例如，将二次型22123121223(,,)24fxxxxxxxxx写成矩阵形式为123(,,)fxxx112xx122xx130xx212xx22xx2312xx310xx3212xx330xx1123()220xxxx21231(2)2xxxx31231(00)2xxxx123(,,)fxxx1123()220xxxx21231(2)2xxxx31231(00)2xxxx12312312312322012(,,)21002xxxxxxxxxxxx112323220121(,,)21002xxxxxxTxAx定义2.只含平方项的形如22211122(,...,)...nnnfyykykyky的二次型称为标准形。项排在前面，形如若系数都是1或-1，且系数为+1的222211......pprfzzzz的标准形称为规范形。标准形的矩阵形式为1122120...00...0(,,...,)...............00...nnnkykyfyyykyTyy标准形的矩阵为对角矩阵定义3.从变量1,...,nxx到变量1,...,nyy的变换11111221221122221122............nnnnnnnnnnxpypypyxpypypyxpypypy称为线性变换，它可以写成矩阵形式12...nxxx111212122212nnnnnnppppppppp12...nyyyP为系数矩阵二.化二次型为标准型12...nxxx111212122212nnnnnnppppppppp12...nyyy若系数矩阵P为可逆矩阵，则称xPy为可逆线性变换。若系数矩阵P为正交矩阵，则称xPy为正交变换。简记为xPy本节的主要问题是：对给定的二次型()TfxxAx求一个可逆线性变换xPy使f化为标准形()()fxfPy2221122...Tnnyykykyky是怎样变化的。先考察一下，二次型经过可逆线性变换后，其矩阵设()TfxxAx，令xPy，则()fx()fPy()()TPyAPy()TTyPAPyTyBy显然，当TPAPB为对角阵时，TyBy就是标准形。因此，求可逆线性变换x=Py将二次型()TfxxAx化为标准形2221122()...TnnfPyyykykyky等价于求可逆矩阵P，使TPAP为对角矩阵。定义4.设A，B为n阶矩阵，若有n阶可逆矩阵P，使TPAPB则称A与B合同，同变换矩阵。上式称为由A到B的合同变换，P称为合因此，可逆线性变换xPy将二次型()TfxxAx同变换矩阵就是可逆线性变换的系数矩阵P。化为标准形，等价于二次型的矩阵A合同于对角阵，而合因为合同变换矩阵P为可逆矩阵，所以若A与B合同，则A与B的秩相等，特别地，若A合同于对角阵，则对角阵中主对角线上非零元素的个数就等于的秩，因此二次型()TfxxAx的标准形2221122()...TrrfPyyykykyky中不等于零的项数r等于A的秩。2210...0rnyy实二次型()TfxxAx的矩阵A为实对称矩阵，因而由§4定理4，存在正交矩阵P（满足1TPP），使1210...00...0,............00...nPAP120...00...0............00...TnPAP即因而有以下定理：定理.对于实二次型()TfxxAx，总存在正交换xPy将二次型f化为标准形2221122()...nnfPyyyy征值，其中标准形的系数12,,...,n是二次型的矩阵A的全部特而正交变换矩阵12(,,...,)npppP的列向量12,,...,nppp是A的相应于特征值12,,...,n的规范正交特征向量。由定理可知，求正交变换xPy，将()TfxxAx化为标准形的步骤如下：（1）求出二次型f的矩阵A;（2）求A的全部特征值12,,...,n及相应的规范正交特征向量12,,...,nppp（3）作正交变换矩阵12(,,...,)npppP则正交变换xPy将二次型f化为标准形2221122()...nnfPyyyy例1.已知二次型222123123121323(,,)22448fxxxxxxxxxxxx求正交变换x=Py，将二次型f化为标准形。解：例2.已知二次型222123123121323(,,)55266fxxxxxcxxxxxxx的秩为2。求（1）参数c及此二次型对应矩阵的特征值。（2）指出方程123(,,)1fxxx表示何种二次曲面。解：解：二次型f的矩阵为222123123121323(,,)22448fxxxxxxxxxxxx122224242A先求A的特征值：AE32rr122224022122224242122(2)224011142(2)264001142(2)26400114(2)262(2)(514)2(2)(7)A的特征值为12327，122，解方程组(2)0:AEx122224242A1222244244AE122000000212rr312rr1(1)r122000000同解方程组为123220xxx，基础解系为12(2,1,0),(2,1,0)TT正交化，得11(2,1,0)T2122111[,][,]2141(2,4,5)55T单位化，得111p21(,,0)55T222p245(,,)33535T122224242A37，解方程组0(7):xAE8227254245AE13rr24525482221rr314rr24509901818322rr29r201011000同解方程组为1323200xxxx基础解系取3(1,2,2)T，单位化成3122(,,)333Tp，作正交矩阵123,,()pppP2213535142353552033则经正交变换x=Py后，二次型f化为标准形222123227fyyy解：（1）二次型f对应的矩阵为222123123121323(,,)55266fxxxxxcxxxxxxx51315333Ac因为f的秩为2，即A的秩为2，所以24720Ac3cAE513153333(4)(9)0A的特征值为1234,9,0标准形（2）由（1），二次型f经过正交变换x=Py可化为221249fyy正交变换x=Py是坐标的旋转变换，经此旋转变换后，方程123(,,)1fxxx化为新坐标方程2212491yy这是三维空间中的椭圆柱面。