湖南省长沙市雅礼中学理实班自主招生考试数学试卷(二)

第1页（共28页）2013年湖南省长沙市雅礼中学理实班自主招生考试数学试卷（二）一、选择题（每小题4分，共32分）1．（4分）（2013•雨花区校级自主招生）当x＝时，代数式+的值是（）A．3B．1﹣2C．3﹣2D．2﹣12．（4分）（2001•河南）如果一直角三角形的三边为a，b，c，∠B＝90°，那么关于x的方程a（x2﹣1）﹣2cx+b（x2+1）＝0的根的情况为（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定根的情况3．（4分）（2013•雨花区校级自主招生）两年期定期储蓄的年利率为2.25%，按照国家规定，所得利息要缴纳20%的利息税，王大爷于2002年6月存入银行一笔钱，两年到期时，共得税后利息540元，则王大爷2002年6月的存款额为（）A．20000元B．18000元C．15000元D．12800元4．（4分）（2013•雨花区校级自主招生）如图，MN是⊙O的直径，∠A＝20°，∠PMQ＝50°，以PM为边作圆的内接正多边形，则这个正多边形是（）A．正七边形B．正八边形C．正六边形D．正十边形5．（4分）（2013•雨花区校级自主招生）如图，AB＝AC，EA＝ED，∠BAD＝20°，∠EDC＝10°，则∠B的度数为（）A．45°B．50°C．55°D．不能确定第2页（共28页）6．（4分）（2013•雨花区校级自主招生）已知非零实数a，b满足a2+ab+b2+a﹣b+1＝0，则+的值等于（）A．﹣1B．0C．1D．27．（4分）（2013•雨花区校级自主招生）若函数y＝（x2﹣100x+196+|x2﹣100x+196|），则自变量x取1，2，3，4，…99，100这100个自然数时，函数和的值是（）A．540B．390C．194D．978．（4分）（2013•雨花区校级自主招生）设x1，x2是方程x2﹣2003x+2005＝0的两个实根，实数a，b满足：ax12003+bx22003＝2003，ax12004+bx22004＝2004，则ax12005+bx22005的值为（）A．2005B．2003C．﹣2005D．﹣2003二、填空题（每小题4分，共32分）9．（4分）（2013•雨花区校级自主招生）已知实数a满足|2002﹣a|+＝a，则a﹣20022的值为．10．（4分）（2013•雨花区校级自主招生）如图，直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝1cm，EB＝5cm，∠DEB＝60°，则CD的长为．11．（4分）（2013•雨花区校级自主招生）AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿直线AD翻折，点C落在点C′的位置，BC＝4，则BC′的长为．12．（4分）（2013•雨花区校级自主招生）如图，平行四边形ABCD中，AB＝24，P、Q三等分AC，DP交AB于M，MQ交CD于N，则CN＝．13．（4分）（2014•雨花区校级自主招生）抛物线y＝ax2与直线x＝1，x＝2，y＝1，y＝2组成的正方形有公共点，则a的取值范围是．14．（4分）（2013•雨花区校级自主招生）如图，ABCD和EBFG都是正方形，AB＝30cm，第3页（共28页）则阴影部分的面积为．15．（4分）（2013•雨花区校级自主招生）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠A＝90°，AB＝4，CD＝3，BC＝7，O为AD边的中点，则点O到BC的距离为．16．（4分）（2013•雨花区校级自主招生）如图，在△ABC中，∠ABC＝100°，∠ACB＝20°，CE是∠ACB的平分线，D是AC上的一点且BD＝ED，若∠CBD＝20°，则∠CED的度数为．三、解答题（每小题12分，共36分）17．（12分）（2013•雨花区校级自主招生）某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，也不高于800元/件，经试销调查，发现销售量y（件）与销售单价x（元/件）可近似于一次函数y＝kx+b的关系，如图所示．（1）根据图象，求一次函数y＝kx+b的表达式；（2）设公司获得的毛利润为S元，试问销售单价定为多少时，该公司获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时销售量是多少？第4页（共28页）18．（12分）（2004•重庆）如图，在⊙O的内接△ABC中，AB＝AC，D是⊙O上一点，AD的延长线交BC的延长线于点P．（1）求证：AB2＝AD•AP；（2）若⊙O的直径为25，AB＝20，AD＝15，求PC和DC的长．19．（12分）（2013•雨花区校级自主招生）已知抛物线y＝x2+（2﹣m）x﹣2m（m≠﹣2）与y轴交于点A，与x轴交于点B、C（B点在C点的左边）．（1）写出A、B、C三点的坐标；（2）设m＝a2﹣2a+4，试问是否存在实数a，使△ABC为直角三角形；（3）设m＝a2﹣2a+4，当∠BAC最大时，求实数a的值．第5页（共28页）2013年湖南省长沙市雅礼中学理实班自主招生考试数学试卷（二）参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共32分）1．（4分）（2013•雨花区校级自主招生）当x＝时，代数式+的值是（）A．3B．1﹣2C．3﹣2D．2﹣1【考点】2C：实数的运算．菁优网版权所有【专题】11：计算题；511：实数．【分析】原式利用算术平方根、立方根的性质化简，将x的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵x＝，∴x﹣2＜0，则原式＝|x﹣2|+1﹣x＝2﹣x+1﹣x＝3﹣2x＝3﹣2，故选：C．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．（4分）（2001•河南）如果一直角三角形的三边为a，b，c，∠B＝90°，那么关于x的方程a（x2﹣1）﹣2cx+b（x2+1）＝0的根的情况为（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定根的情况【考点】AA：根的判别式；KQ：勾股定理．菁优网版权所有【专题】16：压轴题．【分析】根据勾股定理，确立a2+c2＝b2，化简根的判别式，判断根的情况就是判断△与0的大小关系．【解答】解：∵∠B＝90°∴a2+c2＝b2化简原方程为：（a+b）x2﹣2cx+b﹣a＝0∴△＝4c2﹣4（b2﹣a2）＝4c2﹣4c2＝0∴方程有两个相等实数根故选：A．第6页（共28页）【点评】总结：1、勾股定理：在直角三角形中，∠C＝90°，有a2+b2＝c22、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根3．（4分）（2013•雨花区校级自主招生）两年期定期储蓄的年利率为2.25%，按照国家规定，所得利息要缴纳20%的利息税，王大爷于2002年6月存入银行一笔钱，两年到期时，共得税后利息540元，则王大爷2002年6月的存款额为（）A．20000元B．18000元C．15000元D．12800元【考点】8A：一元一次方程的应用．菁优网版权所有【专题】12：应用题．【分析】如果设王大爷2002年6月的存款额为x元，根据本金×利率×时间×（1﹣税率）＝税后利息，列出方程求解即可．【解答】解：设王大爷2002年6月的存款额为x元，由题意，得x×2.25%×2×（1﹣20%）＝540，解得x＝15000．故选：C．【点评】本题考查一元一次方程的应用，关键是根据利息的求法得到相应的等量关系．4．（4分）（2013•雨花区校级自主招生）如图，MN是⊙O的直径，∠A＝20°，∠PMQ＝50°，以PM为边作圆的内接正多边形，则这个正多边形是（）A．正七边形B．正八边形C．正六边形D．正十边形【考点】MM：正多边形和圆．菁优网版权所有【分析】首先根据圆周角定理得出∠POQ＝100°，进而利用等腰三角形的性质得出∠OPQ＝∠OQP，再由外角的性质得出∠A+∠APO＝∠POM＝20°+40°＝60°，即可得出△POM是等边三角形，再由正六边形的性质得出答案．【解答】解：连接QO，PO，如图所示；∵QO＝PO，第7页（共28页）∴∠OPQ＝∠OQP，∵∠PMQ＝50°，∴∠POQ＝100°，∴∠OPQ+∠OQP＝180°﹣100°＝80°，∴∠OPQ＝∠OQP＝40°，∴∠A+∠APO＝∠POM＝20°+40°＝60°，∵PO＝OM，∴△POM是等边三角形，∴PM＝OP＝OM，∴以PM为边作圆的内接正多边形，则这个正多边形是正六边形．故选：C．【点评】此题主要考查了正六边形的性质以及圆周角定理和外角的性质等知识，根据已知得出△POM是等边三角形是解题关键．5．（4分）（2013•雨花区校级自主招生）如图，AB＝AC，EA＝ED，∠BAD＝20°，∠EDC＝10°，则∠B的度数为（）A．45°B．50°C．55°D．不能确定【考点】KH：等腰三角形的性质．菁优网版权所有【分析】设∠C＝x，根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝x，得到∠AED＝x+10°，根据三角形的内角和列方程即可得到结论．【解答】解：设∠C＝x，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝x，第8页（共28页）∴∠AED＝x+10°，∵EA＝ED，∴∠DAE＝∠EDA＝85°﹣x，∴x+x+（20°+85°﹣x）＝180°，∴x＝50°，∴∠B＝50°，故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，题目比较好，难度适中．6．（4分）（2013•雨花区校级自主招生）已知非零实数a，b满足a2+ab+b2+a﹣b+1＝0，则+的值等于（）A．﹣1B．0C．1D．2【考点】1F：非负数的性质：偶次方；AE：配方法的应用．菁优网版权所有【分析】由a2+ab+b2+a﹣b+1＝0，两边乘2，进一步利用完全平方公式分组分解，进一步利用非负数的性质得出a、b的数值，代入求得答案即可．【解答】解：∵a2+ab+b2+a﹣b+1＝0，∴2a2+2ab+2b2+2a﹣2b+2＝0，∴（a2+2ab+b2）+（a2+2a+1）+（b2﹣2b+1）＝0，∴（a+b）2+（a+1）2+（b﹣1）2＝0，∴a+b＝0，a+1＝0，b﹣1＝0，解得a＝﹣1，b＝1，∴+＝0．故选：B．【点评】此题考查配方法的运用，以及非负数的性质，掌握完全平方公式是解决问题的关键．7．（4分）（2013•雨花区校级自主招生）若函数y＝（x2﹣100x+196+|x2﹣100x+196|），则自变量x取1，2，3，4，…99，100这100个自然数时，函数和的值是（）A．540B．390C．194D．97第9页（共28页）【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有【分析】将x2﹣100x+196分解为：（x﹣2）（x﹣98），然后可得当2≤x≤98时函数值为0，再分别求出x＝1，99，100时的函数值即可．【解答】解：∵x2﹣100x+196＝（x﹣2）（x﹣98）∴当2≤x≤98时，|x2﹣100x+196|＝﹣（x2﹣100x+196），当自变量x取2到98时函数值为0，而当x取1，99，100时，|x2﹣100x+196|＝x2﹣100x+196，所以，所求和为（1﹣2）（1﹣98）+（99﹣2）（99﹣98）+（100﹣2）（100﹣98）＝97+97+196＝390．故选：B．【点评】本题考查函数值的知识，有一定难度，关键是将x2﹣100x+196分解为：（x﹣2）（x﹣98）进行解答．8．（4分）（2013•雨花区校级自主招生）设x1，x2是方程x2﹣2003x+2005＝0的两个实根，实数a，b满足：ax12003+bx22003＝2003，ax12004+bx22004＝2004，则ax12005+bx22005的值为（）A．2005B．2003C．﹣2005D．﹣2003【考点】AB：根与系数的关系．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【分析】由根与系数关系，x1，x2是方程x2﹣2003x+2005＝0的两个实根可得：x1+x2＝2003，x1×x2＝2005；化简式子ax12005+bx22005的值为：（x1+x2）（ax12004+bx2200