三角函数的图像与性质习题及答案

学习必备欢迎下载§4.3三角函数的图象与性质(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(每小题7分，共35分)1．设函数f(x)＝sin2x－π2，x∈R，则f(x)是()A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为π2的奇函数D．最小正周期为π2的偶函数2．y＝sinx－π4的图象的一个对称中心是()A．(－π，0)B.－3π4，0C.3π2，0D.π2，0.3．(2010·江西)函数y＝sin2x＋sinx－1的值域为()A.[]－1，1B.－54，－1C.－54，1D.－1，544．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为()A.π6B.π4C.π3D.π25．“x＝π4”是“函数y＝sin2x取得最大值”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件二、填空题(每小题6分，共24分)6．若函数f(x)＝2sinωx(ω0)在－2π3，2π3上单调递增，则ω的最大值为________．7．函数y＝lg(sinx)＋cosx－12的定义域为________________．8．(2010·江苏)设定义在区间(0，π2)上的函数y＝6cosx的图象与y＝5tanx的图象交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为P1，直线PP1与函数y＝sinx的图象交于点P2，则线段学习必备欢迎下载P1P2的长为________．9．给出下列命题：①函数y＝cos23x＋π2是奇函数；②存在实数α，使得sinα＋cosα＝32；③若α、β是第一象限角且αβ，则tanαtanβ；④x＝π8是函数y＝sin2x＋5π4的一条对称轴；⑤函数y＝sin2x＋π3的图象关于点π12，0成中心对称图形．其中正确的序号为________．(填所有正确的序号)三、解答题(共41分)10．(13分)已知f(x)＝sinx＋sinπ2－x.(1)若α∈[0，π]，且sin2α＝13，求f(α)的值；(2)若x∈[0，π]，求f(x)的单调递增区间．11．(14分)设函数f(x)＝sin()2x＋φ(－πφ0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝π8.(1)求φ；(2)求函数y＝f(x)的单调增区间．12．(14分)已知a0，函数f(x)＝－2asin2x＋π6＋2a＋b，当x∈0，π2时，－5≤f(x)≤1.(1)求常数a，b的值；(2)设g(x)＝fx＋π2且lgg(x)0，求g(x)的单调区间．答案1.B2.B3.C4.A5.A6.347.2kπ，π3＋2kπ(k∈Z)8.239.①④10.解(1)由题设知f(α)＝sinα＋cosα.∵sin2α＝13＝2sinα·cosα0，α∈[0，π]，∴α∈0，π2，sinα＋cosα0.由(sinα＋cosα)2＝1＋2sinα·cosα＝43，得sinα＋cosα＝233，∴f(α)＝233.学习必备欢迎下载(2)由(1)知f(x)＝2sinx＋π4，又0≤x≤π，∴f(x)的单调递增区间为0，π4.点评求解三角函数的单调区间时一定要注意定义域与周期对其单调性的影响．11.解(1)令2×π8＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，∴φ＝kπ＋π4，又－πφ0，则－54k－14，∴k＝－1，则φ＝－3π4.(2)由(1)得：f(x)＝sin2x－3π4，令－π2＋2kπ≤2x－3π4≤π2＋2kπ，可解得π8＋kπ≤x≤5π8＋kπ，k∈Z，因此y＝f(x)的单调增区间为π8＋kπ，5π8＋kπ，k∈Z.点评在根据对称轴x＝π8求出φ时，易忽略条件－πφ0，所以本题在求φ时，是一个易错点．12.解(1)∵x∈0，π2，∴2x＋π6∈π6，7π6.∴sin2x＋π6∈－12，1，∴－2asin2x＋π6∈[－2a，a]．∴f(x)∈[b,3a＋b]，又∵－5≤f(x)≤1，∴b＝－5,3a＋b＝1，因此a＝2，b＝－5.(2)由(1)得a＝2，b＝－5，∴f(x)＝－4sin2x＋π6－1，g(x)＝fx＋π2＝－4sin2x＋7π6－1＝4sin2x＋π6－1，又由lgg(x)0得g(x)1，∴4sin2x＋π6－11，∴sin2x＋π612，学习必备欢迎下载∴2kπ＋π62x＋π62kπ＋5π6，k∈Z，其中当2kπ＋π62x＋π6≤2kπ＋π2，k∈Z时，g(x)单调递增，即kπx≤kπ＋π6，k∈Z，∴g(x)的单调增区间为kπ，kπ＋π6，k∈Z.又∵当2kπ＋π22x＋π62kπ＋5π6，k∈Z时，g(x)单调递减，即kπ＋π6xkπ＋π3，k∈Z.∴g(x)的单调减区间为kπ＋π6，kπ＋π3，k∈Z.点评注意到a0使本题避免了讨论．本题的计算量较大是易错点，解题时要多加注意．