一阶线性微分方程及其解法

二、可分离变量的微分方程)2.1()()(dxxfdyyg则称方程（1）为可分离变量的微分方程.解法设函数)(yg和)(xf是连续的,一阶微分方程的一般形式：)1(),(yxfy若方程（1）可以写成如下形式：时，当0)(1ygxxhygyd)()(d)3.1(d)()(d)2.1(xxhygy变量分离两端积分设函数)(yG和)(xH是依次为)(1yg和)(xh的原函数,则CxHyG)()(可以验证:(1.4)式为微分方程(1)的(隐式)通解.).(为任意常数C)4.1(时，当0)(20yg.)1(0的解也是方程yy注:若题目只需求通解，则不必讨论.0)(情形yg例1求微分方程.2dd的通解xyxy解分离变量,d2dxxyy两端积分,d2dxxyy,ln12Cxy.2为所求通解xCey,21xCeey,21xCeeyC例2求微分方程.edd的通解yxyx解分离变量,ddxeyyx两端积分xyyxded,ln1Ceyx.为所求通解xeCey,1xeCeey,1xeCeeyC).(为任意常数C注意到:当C=0时即y=0也是方程的解应用:衰变问题:放射性元素铀不断地放射出微粒子而变成其它元素,铀的含量不断减少,由物理学知识,铀的衰变速度与未衰变的原子的含量M成正比,已知t=0时,铀的含量为M0,求衰变过程中铀含量M(t)随t的变化规律解)0(,dkkMdtMvdtMd(这里显然有)0变量分离kdtMdM两端积分tktMlnln即ktCeM00|MMt又故CM0ktMMe0故,衰变规律为练习12.1第3题,增加一个条件:曲线过(2,3)点,求曲线方程xyy变量分离,d1dxxyy两端积分||ln||ln||lnCxy||ln||lnCxyCxy即又6632xyC，，yx即所求曲线方程为：故时练习:12.2第3题xduufxxf0)()()()(xf，uf求为可微函数两边求导得:)(1)(xfxfyy1ydxdy1dxydy1变量分离0)0(f注意:这里隐藏一个初始条件利用变量代换求微分方程的解.)(的通解求2yxdxdy解,uyx令1dxdudxdy代入原方程21udxdu,arctanCxu解得得代回,yxu,)arctan(Cxyx原方程的通解为.)tan(xCxy例6变量代换是解方程的一种常用的手段.1的通解求yxdxdy.ln的通解求xyyyyxxyu令yxu令二、齐次方程形如dyyfdxx的一阶微分方程称为齐次方程或dxxfdyy解法：针对齐次方程dyydxx，作变量代换yux即yxu，则dyduuxdxdx将其代入原式，得：duuudx，即uududxx这是一个关于变量u与x的可分离变量的方程；然后，利用分离变量法求得11()dudxuux例1求方程22dydyyxxydxdx的通解解原方程化为22dyydxxyx21ydyxydxx,即这是齐次方程，令yuxyxu,即dyduuxdxdx故代入得：21duuuxdxu进行分离变量整理，并两边积分，ln||ln||ln|uuxc故所求通解为：ln||yycx这是关于变量u与x的可分离变量方程，111dudxux得：书上还有一个例子，自己可以练习练习22()2xydxxydy10xy2221()22()ydyxyxydxxyxyux212duudxxu2112ududxux2111()ln(1)()ln()ln222uxc2(1)1cxu222()cxyx10xy1c22yxx求微分方程，满足初始条件的特解解：方程可化为：它是齐次方程。令代入整理后，有分离变量，则有两边积分，得即代入上式，于是所求方程的通解为把初始条件代入上式，求出，故所求方程的特解为例3求方程10xyeydxyxdy的通解解：这是一个齐次方程。先将方程变形为110xydxxedyy令xuyxyudxduuydydy,即，故代入得：110udueuyudy这是关于变量u与x的可分离变量方程，分离变量，并两边积分，得：11uuedudyyue故ln()lnlnuueyc所以，原方程通解为：xyyexc五、小结本节主要内容是：1．齐次方程dyyfdxx2．齐次方程的解法：关键是令yux，从而原方程转化为可分离变量方程去求解；yxu，则dyduuxdxdx，代入原方程后，dxxfdyy或判下列微分方程是否为一阶线性微分方程：一、一阶线性微分方程及其解法例1在微分方程中，若未知函数和未知函数的导数都是一次的，则称其为一阶线性微分方程。1.一阶线性微分方程的定义223)1(xyy2sin1)4(xyxdxdy22)3(xyy)12sin()()2(3xxyyxyyy)5(1sin)6(2xyxy（是）（是）(1))()(xQyxPdxdy2.一阶线性微分方程的一般式3.一阶线性微分方程的分类当时，方程（1）称为一阶线性齐次微分方程。0)(xQ当时，方程（1）称为一阶线性非齐次微分方程。0)(xQ(2))()(yQxyPdydx或)2.2(0)(ddyxPxy,d)(dxxPyy,d)(dxxPyy,lnd)(lnCxxPy齐次线性方程的通解为：.d)(xxPCey1º齐次线性方程：求解法:分离变量：1.常数变易法2º非齐次线性方程：).()(ddxQyxPxy)()(待定将变易xCC作变换xxPexCyd)()(,)]([)()(d)(d)(xxPxxPexPxCexCy得代入原方程和将,yy),()(d)(xQexCxxP可分离变量方程,~d)()(d)(CxexQxCxxP积分得一阶非齐次线性微分方程(2.1)的通解为:xxPxxPeCxexQyd)(d)(]~d)([.~为任意常数其中C2.常数变易公式的通解为：]d)([d)(d)(CxexQeyxxPxxP)()(xQyxPdxdy)()(xQyxPdxdy（2）一阶线性非齐次微分方程常数变易法1）一般式2）解法3）通解公式])([)()(CdxexQeydxxPdxxPdxxPCe)(dxexQedxxPdxxP)()()(齐次的通解非齐次的特解dxxPey)())(()(CdxexQdxxP关于通解公式要注意：只表示某一个函数若时，绝对值符号可不写即特别注意：而是|)(|ln)(xdxxPln|()|ln()()()xxPxdxeeexln()()xexln()1()xex例1、求微分方程2xyye的通解.1122xyye102yy解法1（常数变易法）原方程变形为:对应的齐次方程为：得通解为11()22dxxPxdxyCeCeCe设原方程的解为12()xyCxe从而11122()()2xxyCxeCxe代入原方程得111111222()()()222xxxxCxeCxeCxee1()2xCxe2()xCxeC化简得两边积分，得122()xxxyCxeCee11(),()22xPxQxe所以，原方程的通解解法2（用公式法）把它们代入公式得11()1222dxdxxyeeedxC22()xxeeC.12的通解求xyxy,1)(xxP,xxQ2)(Cdxexeydxxdxx121Cdxexexxln2ln解例2则通解为Cdxxx31xCx341.00)12(12的特解满足求xydxxxydyx,2)(xxP21)(xxxQCdxexxeydxxdxx2221Cdxxex)1(ln2解练习则通解为Cxxx2122原方程变形为,122xxyxdxdy其中2121xCx.1的通解求方程xeyxyx,1)(xxP,)(xexQxCxexeeyxxxxxdd1d1CxexeexxxdlnlnCxexxd1.1Cexx解(不)例4通解：Cxxxexxd1得由01xy,21C因此方程满足初始条件的特解为221121xxy(ln)ln0xydyyydx(讲)求以下方程在下的特解eyx1|yxyydydx1ln1原方程可化为：原方程通解为：()()[()]PydyPydyxeQyedyCyCyxlnln21Cyyxln)ln2(或0)(3dyyxydx求方程通解：若化为：xyydxdy3则不是一阶线性的而化为：xyyyxydydx123则是一阶线性的再见书上习题),(tv设降落伞下落速度为.)0(系落速度与时间的函数关速度为零，求降落伞下伞离开跳伞塔时速度成正比，并设降落后，所受空气阻力与设降落伞从跳伞塔下落t,ddkvmgtvm解例9kvmgF:其所受力为maF:由牛顿第二定律得(方法1)gvmktvdd即一阶非齐次线性方程]d[ddCtegevtmktmk]d[Ctegetmktmk][Cekmgetmktmk.tmkCekmgkmgcv|t:00代入通解得将).e1(tmkkmgv所求特解为选择题考点（间断点，求旋转体体积，求平面图形面积，全微分，偏导数的几意义，二重积分几何意义，交换积分次序）大题考点1、求极限2、隐函数求导（一个方程和方程组情形）3、抽象函数求导4、求极值5、直角坐标系下计算二重积分6、极坐标系下计算二重积分（或是化为极坐标）7、解齐次方程（令U=。。，转化为U和X的方程）8、解一阶线性方程（用公式或常数变易法）9、讨论函数在分界点处的连续性，可导性，可微性计算由两条抛物线xy2和2xy所围成的图形的面积.解两曲线的交点)1,1()0,0(面积元素dxxxdA)(2选为积分变量x]1,0[xdxxxA)(21010333223xx.312xy2yx例画草图如右dxxfVba2)]([由连续曲线)(xfy、直线ax、bx及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体，体积为dyy2)]([dcV由连续曲线)(yx、直线cy、dy及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体，体积为d)(yxxy0cxyo)(xfy注：，即动点P以任意方式即沿任意曲线趋向定点P0时，都有f(P)AAPfPP)(lim0)11(21)(222)0,0(),(222222)0,0(),(limlimyxyxyxyxyxyx2）（求二重极限方法类似一元函数的一些方法：等价无穷小替换；重要极限公式；无穷小的性质；（恒等变形；利用连续性；夹逼准则；换元；利用公式和运算法则）xcos12~2x等价无穷小替换；对于多元函数的极限要求不高，只要求会求些较简单的二重极限注意：在多元函数中，洛必达法则不再适用，但如果通过换元后的一元函数照样可用