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PARTI力学基础知识█Unit1力系的一般平衡条件在这一节，我们将研究为了使一个物体保持平衡，作用在其上的力和力偶所必须满足的条件。根据牛顿第一定律，施加在一个静止物体上的力系的合力一定为零。然而，请注意这个定律对力矩或力系的转动效应只字未提。显然，合力矩也一定为零，否则物体将会转动。这里的基本问题是，按照先前的规定，牛顿第一定律（和第二定律）只适用于非常小的物体，或者尺寸可以忽略的非零质量的质点。然而，它可以推广到下述有限尺寸的物体。考虑一个由两个质点组成的系统，并假设1f和2f是由于它们之间相互作用产生的力(图.1.1)。这些力称为内力，因为它们是由于系统内部的物体之间的相互作用而产生的。假定内力服从牛顿第三定律，我们有12ff。假如还有质点与系统外物体相互作用产生的力施加在质点上，如1,2FF和3F，这些力称为外力。显然，作用在某个特定质点上的力一定有相同的作用点，因为质点的尺寸可以忽略。如果系统内的每一个质点处于平衡，我们就可以说系统是平衡的。这种情况下，依据牛顿第一定律，作用在每个质点上的力的合力一定为零。对质点A我们有：∑=++=0121fFFFA而对质点B有：∑032=+=FfFB作用在系统上的力的总和为：123120ABFFFFFFff现在让我们来研究这些力对于某一点P的合力矩。参照图1.1，我们有：12()()PABMrFrF其中0BAFF；如前所述，那么合力矩也一定为零。由于力1f和2f有相同的作用线，力矩的平衡条件可以改写为：1121223()0PMrFFffrF其中12ff；因此力和力矩的平衡条件就简化为：0321FFFF和111223()()()0PMrFrFrF换句话说，如果系统处于平衡，那么作用在上面的外力和一定为零，并且这些外力对任一点的合力矩也一样为零。内力不需要考虑，因为它们的效应相互抵消了。然而，我们不应该仔细关注其中的细节，对于许多外力作用下的由许多质点组成的系统，我们应该并不太难就得到上述结论，条件是内力服从牛顿第三定律。特别的这些结论也适用于有限尺寸的物体，因为这样的物体可以被认为是由大量微体或质点组成的。因此我们得到了下列一般平衡条件：如果一个系统处于平衡，那么0Fand0PM(1.1)这里F是作用在系统上的所有外力的总和，而PM是这些外力对某个任意点的合力矩，也包括某些可能作用在系统上的力偶的矩。方程（1.1）是平衡的必要条件；即，如果系统处于平衡，这些方程必须被满足。通常，它们不是平衡的充分条件；满足这些方程并不必然的保证系统会处于平衡。然而，这并不会带来任何困难，因为我们要处理的只涉及已知的平衡系统。对于刚体的平衡，方程（1.1）既是必要条件也是充分条件。证明他们是充分的需要应用牛顿第二定律和其它超出本课文水平的知识。重要的是需要注意到方程（1.1）适用于任何平衡系统，而不管组成该系统的材料是什么。例如，方程适用于大量静止的流体，同样也适用于固体。它们也适用于特定条件下的运动系统，因为它们是建立在牛顿第一定律的基础上，而牛顿第一定律既适用于匀速运动的质点，也适用于静止的质点。例如，方程（1.1）适用于没有转动的匀速直线运动的物体，也适用于以通过质心的固定轴为轴线做匀速转动的物体。典型的例子有做水平匀速直线飞行的飞机和匀速转动的电动机皮带轮。然而，无论涉及哪种运动，这些问题一般都被归类为动力学教材。当以分力的形式表示时，方程（1.1）可变形为六个标量方程；0xF0yF0zF0pxM0pyM0pzM(1.2)这些方程可以被用来对一个系统进行受力分析，来解决关于外力和外力偶的的未知问题。由于有6个方程，我们通常可以解决含六个未知量的问题。如果通过平衡方程可以解出关于外力和外力偶的所有未知量，我们就说问题是静定的。如果不能，则称之为超静定的。当一个问题中出现的未知量个数比平衡方程的个数多时，试着通过考虑多于一个点的转矩来获得额外的方程是很有诱惑力的。遗憾的是，这个方法并没有效果。█阅读材料1粱的静力分析一个在通过其轴的横截面上承受作用力的杆被称作梁。在这一节，我们只考虑一些最简单种类的梁，如图1.2中表示的那些。在所有的例子中假设梁都有一个对称平面，该对称平面与其自身的轮廓平面平行。因此，梁的横截面有一个竖直方向的对称轴。接着，假设外加载荷作用在对称平面上，因而粱的弯曲也发生在该平面内。然后我们会考虑一种更常见的弯曲，即具有不对称横截面梁的弯曲。图1.2（a）所示一端为固定铰支座而另一端为滚动铰支座的梁，被称为简支梁，或简梁，简支梁主要的特征是粱的两端在其弯曲时都可以自由转动，但他们不能横向（横截面方向）移动。另外，简支梁的一端可以在轴向（水平方向）自由移动。简支梁的支座可以提供竖直方向的反作用力，无论他们是向上还是向下。图1.2（b）中一端固定而另一端自由的梁，被称为悬臂梁，在固定端梁不能转动也不能移动，然而在自由端梁两样都可以。图中第三个例子显示的是带有外伸端的梁，这个梁由A点和B点简支并带有一个自由端C。作用在梁上的载荷可以是集中力，如图1.2（a）和1.2（c）中的P1和P2，也可以是分布载荷，如图1.2（b）中的载荷q。分布载荷由其载荷集度来描述，载荷集度表示为：沿着梁的轴向，单位长度上单位力的大小。对于均匀分布载荷，如图1.2（b）中所示，其强度是恒定的。另一方面，对于一个变化的载荷，其强度则是随着横梁轴向距离变化而变化函数值。图1.2所示的梁都是静定的，因为他们所有的作用力都可以通过静力平衡方程求出。例如，就承受载荷P1的简支梁[图1.2（a）]来说，两个反作用力都是垂直的，他们的大小也可以通过端点的合力矩方程求出；因此，我们得到：LaLPRA)(1LaPRB1外伸梁[图1.2（c）]的反作用力可以通过相同的方式得到。对于悬臂梁[图1.2（b）]，如图所示，外加载荷q的作用被一个竖直方向的力RA和一个作用在固定端的力偶MA平衡。由竖直方向上力的总和，我们可以得出：qbRA由关于点A的力矩的总和，我们得到：)2/(baqbMA反作用力偶MA的作用如图所示为逆时针方向。上诉例子说明了可以如何通过静力学计算静定梁的反作用力和力矩。确定静不定梁的反作用力和力矩需要考虑到梁的弯曲，因此，这个问题会在以后讨论。图1.2所示的理想化支撑条件在实践中只会偶尔的遇到。例如，桥梁中的大跨度梁有时会在两端建造成固定和移动的铰支座。然而，在小跨度梁中，经常会有一些约束制约支座在水平方向的移动。在大部分条件下，这种约束对梁上的作用力影响很小，并且可以被忽略。然而，如果梁非常容易弯曲，并且两端的水平约束非常刚性，那就很有必要考虑他们的影响了。例求出受力如图1.3（a）的简支梁的支反力，忽略横梁自身的重量。解横梁受力已经在图中给出。支反力的性质已经在旁边给出分析，反作用力中的未知分力也已清楚地在图上标明。带有位置反作用分量和所有外加载荷的梁已经在图1.3（b）中被重新画出，以此来强调作出受力图这一步骤的重要性。在A端可能存在两个未知反作用力分量，因为这一端是固定铰支座。B端的反作用力只能作用在竖直方向，因为这一端是可动铰支座。所有力的作用点都被仔细的标记出来。当完成梁的受力图后，就要使用静力学方程来得出结果。∑Fx=0，RAx=0∑MA=0+，2000+100(10)+160(15)-Ra(20)=0，RB=+2700lb↑∑Mb=0+，Ray(20)+200-100(10)-160(5)=0，Ray=-101b↓验证：∑Fy=0↑+，-10-100-160+270=0注意∑Fx=0用到了3个独立的静力方程中的一个，因此从静力方程中仅可以确定两个另外的反作用力分量。如果在支撑处有更多的反作用力分量或力矩存在，那就变成了静不定问题。注意外加在C点的集中力矩，只有在合力矩的表达式中才会出现。RB的正号表示RB的方向就是在图1.3（b）中假定的方向。RAy的情况则相反，A点的竖直方向的反作用力是向下的。注意如果计算过程如上，那么运算工作中的验证是有效的。█Unit2应力和应变1.材料力学介绍材料力学是应用力学的一个分支，用于分析固体在受到各种不同类型载荷时的行为。这是一个凭借多种名称而被人知晓的研究领域，其中包括：“材料强度”和“变形体力学”。在本书中，所研究的固体包括受轴向载荷的杆、轴、梁、圆柱以及有这些构件装配而成的机构。通常，我们研究的目的是确定由载荷引起的应力、应变和变形；当逐步施加不同值的载荷直到破坏载荷时，如果能够测得这些物理量，我们就会得到物体的一份完整力学性能图。在材料力学的研究中，理论分析和实验结果具有同等重要的地位。很多情况下，我们会通过逻辑推导来获得预测力学性能的公式和方程，但同时我们必须认识到，这些公式不能用于实际情况中，除非材料的某些特性是已知的。只有在实验室中做过适当的实验之后，这些特性才适合我们使用。并且，许多工程中的重要的问题不能通过理论方法充分把握，这时，实验测量就成为一种实际需要。材料力学的发展历史是理论与实验极好的结合，在一些情况下，是实验指出了获得有用结果的方法，在另一些情况下，则是理论来做这些事。例如著名的达芬奇(1452-1519)和伽利略(1564-1642)就通过实验确定了金属丝、杆和梁的强度，尽管他们并没有提出任何充足的理论（以现代的标准）来解释其实验结果。相反，著名的数学家欧拉(1707-1783)，在1744年就提出了柱体的数学理论并计算了柱体的临界载荷，远早于，任何存在过的实验数据来表明其结论的重要意义。因此，欧拉的理论结果在很多年里都未被采用，尽管，在今天看来，是它们奠定了圆柱理论的基础。随着我们在该话题中研究的不断深入，联合理论推导与实验所确定材料性质的重要性将是显然的。在这一节，我们从讨论一些基本的概念开始，如应力和应变，然后我们将会研究受拉伸、压缩和剪切的简单构件的性能。2.应力应力与应变的概念可以通过研究等截面杆[见图1.4（a）]拉伸这一基本方法阐明。等截面杆是沿其长度与轴向上具有恒定横截面的杆。这里，假设杆的两端都承受轴向力P的作用，并且在杆上产生了均匀的拉伸或拉力。做出一个与杆轴向垂直的人工切面（截面m-m），通过这种方法我们就能把杆的一部分作为自由体分离出来[图1.4（b）]。在杆的右端作用着拉力P，而在杆的另一端则存在着另一些力，它们代表了杆被移去部分所施加在留下部分上力的作用。这些力连续的分布在横截面上，类似于作用在被淹没物体表面上连续分布的静水压力。力的密度，也就是单位面积上力的大小称为应力，一般用希腊字母σ表示。假设应力均匀分布在横截面上[见图1.4（b）]，我们立马就可以得出它的合力等于密度σ乘以杆的横截面积A。此外，通过图1.4（b）中所示物体的平衡，我们也可以得出：这个合力一定与力p在大小上相等，在方向上相反。因此，我们得到：AP（1.3）即等截面杆中的均匀应力方程。这个方程表明应力的单位是力除以面积——例如：牛每平方毫米(N/mm2)或磅每平方英寸(psi)。如图中所示，当杆在力P的作用下被拉伸时，所产生的应力称为拉应力；当施加反方向的力时，杆被压缩，这时所产生的应力称为压应力。方程（1.3）有效的必要条件是，应力σ必须均匀分布在杆的横截面上。如果轴向力P作用于横截面的形心，那就满足这个条件，（该结论）可以通过静力学验证。当载荷P不作用在行心时，将会导致轴的弯曲，这时更复杂的分析就是必要的了。然而，在本书中，除了特殊说明的相反的情况，假定所有的轴向力都作用在横截面的形心。而且，除非另有说明，通常假设物体自身的重量可以忽略，就像我们讨论图1.4中的杆那样。3.应变受轴向力时，杆总的伸长量用希腊字母δ[见图1.4（a）]表示。而单位长度的伸长，或者说应变，则可以用下面的方程确定：L（1.4）这里L是杆的总长度。注意应变ε是无量纲量。只要应变均匀分布在杆上，就可以通过方程1.4精确地获得结果。如果杆受拉，此时的应变称为拉应变，表示材料伸长或被拉伸；如果