6.5最简三角方程

问题1：设A为三角形的内角,根据下列条件分别求角A的值。(1)cosA=1/2(2)cosA=1/3(3)sinA=2/5(4)sinA=23解：A=A=arccos(1/3)A=arcsin(2/5)或-arcsin(2/5)A=或以上问题中的四个等式，实质上是关于A的方程。象这样含有未知数的三角函数方程叫做三角方程，把满足三角方程的所有x的集合叫做三角方程的解集。在三角方程中，形如sinx=a,cosx=a,tanx=a的方程是最简单的，这三种形式的方程叫做最简三角方程。对于最简三角方程，只要先求出它在一个周期的区间上的解，就很容易写出它的所有解。例1.设x,解方程:(1)sinx=1/2;(2)sinx=2/3.解：（1）由于sinx=1/2，x（，2），所以sinx=1/2的解是x=7和x=(2)由于sinx=2/3.x,所以sinx=2/3的解为:x=arcsin(2/3)和x=arcsin(2/3)例2；求方程sinx=1/2的解集。解：由于sinx=1/2，所以x在第一或第二象限。在（0，）上只有和5是原方程的解，所以方程sinx=1/2的一切解是:xk和x=k6kz用集合为：{xxk,kz}{x|x=k,kz}将上面的解集用列举法表示出来，也可以写成以下形式{x|x=kk·,kz}.{x|x=k(k·arcsina,kz}一般地，方程sinx=a,|a|1的解集是：1-12π01，求方程cosx=－1/2，x（－，）的解。2，求方程求方程cosx=－1/2的解。1-102ππY=cosxx∈R同理：cosx=a,|a|1的解集是：{x|x=2k±arccosa,kz}正切函数的图象:xyy=tanx(x≠kπ+π/2,k∈Z)o-11223223同理：tanx=a的解集是：{x|x=k+arctana,kz}练习根据下列条件，求下列方程的解集.33tanx[2,4]x小结：最简三角方程的解集:cosx=a,|a|1的解集是：{x|x=2k±arccosa,kz}方程sinx=a,|a|1的解集是：{x|x=k(k·arcsina,kz}tanx=a的解集是：{x|x=k+arctana,kz}例1、求下列方程解集。解：(1).cos(2)06x2,()62xkkZ,3kZk方程解集为xx=20(2).tan(50)1x解：00050.18045,()xkkZ05,kZ0方程解集为xx=k.1803(3).2sin(3)42x方程解集为.解：3sin(3)1422x2(4).sin(2)62x解：21()64kxkkZ0,2x13193743方程解集为xx=,,,242424242,0x例1、求下列方程的解集.zk6kx|x，22,3tan10x若求方程的解0,2x(1),2cos()1023x},24324|{Zkkxkxx或6116765,6，，例2解方程02sin(515)30()xx为锐角00015,27,8700036(1)123,()kxkkZ例3解方程22sin3cos0xx22,3xxkkZsincos2xx例4解方程sin()0,242,2xxkkzsincos022xx例5解方程sin2cos()xx2sincoscosxxx(1),26kxxkxkkZ或例，关于x的方程有实数解,求k的取值范围．2cos1(2cos1)xkx1,3,31122kk解：2cos2x+5cosx-3=0cosx=-3,cosx=1/2,3kZ方程解集为xx=2k解方程：2sin2x-5cosx+1=0（舍）例4、例5、讨论方程在上的解的个数.sin0xm0,2解：sinxm0111,mm或原方程无解.0210,mm或原方程一解.031,00,1,m原方程二解.例5变式、讨论方程在上的解的个数.sin3cos0xxm0,2解：2sin()3xmsin()32mx0122,mm或原方程无解.0223,mm或原方程一解.032,33,2,m原方程二解.