同济大学弹塑性力学试卷及习题解答

弹塑性力学试卷及习题解答弹塑性力学试卷配套教材《弹性与塑性力学》陈惠发1．是非题（认为该题正确，在括号中打√；该题错误，在括号中打×。）（每小题2分）（1）物体内某点应变为0值，则该点的位移也必为0值。（）（2）可用矩阵描述的物理量，均可采用张量形式表述。（）（3）因张量的分量是随坐标系的变化而变化，故张量本身也应随坐标系变化。（）（4）弹性的应力和应变张量两者的主方向是一致性，与材料无关的。（）（5）对于常体力平面问题，若应力函数yx,满足双调和方程022，那么，由yx,确定的应力分量必然满足平衡微分方程。（）（6）若某材料在弹性阶段呈各向同性，故其弹塑性状态势必也呈各向同性。（）（7）Drucker假设适合于任何性质的材料。（）（8）应变协调方程的几何意义是：物体在变形前是连续的，变形后也是连续的。（）（9）对于任何材料，塑性应变增量均沿着当前加载面的法线方向。（）（10）塑性应变增量的主方向与应力增量的主方向不重合。P107；226（）2．填空题（在每题的横线上填写必要的词语，以使该题句意完整。）（每小题2分）（1）设4322241,yayxaxayx，当321,,aaa满足_______________________关系时yx,能作为应力函数。（2）弹塑性力学是研究固体受外界因素作用而产生的______________________的一门学科。（3）导致后继屈曲面出现平移及扩大的主要原因是材料______________________。（4）π平面上的一点对应于应力的失量的______________________。P65（5）随动强化后继屈服面的主要特征为：___________________________________________。（6）主应力轴和主应变轴总是重合的材料为______________________。P107（7）相对位移张量ij通常_____对称的，对于小变形问题由此引起的位移含______________________________________________。P75、76（8）若0kfijij，请分别简述,,kij的真正含义及对应的强化描述：_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________。P236～2383．选择题（分别为3，3，4分）（1）对不可压缩的弹性体，有性质（）。P104A．0zyx且0.5B．0zyx且0.5＝C．0zyx且0zyxD．0zyx（2）在与三个应力主轴成相同角度的斜面上，正应力N（）。P41；50；53A．291IB．131IC．321D．2I（3）倘若将塑性功增量表述为pepddW，则其有效应力e和有效应变pd应分别为（）。P227、228；239～241；A．pijpijddJ,322B．pijpijijijddSS32,3C．pijpijddJ32,32D．pijpijijijddSS,324．计算分析题1．现已知一点的应力张量为411452214541122122122123ij。（14分）P70－习题2.2求：（1）主应力及其主方向；P43、44（2）应力不变量的1I、2I和3I；P41（3）八面体正应力与剪应力。P50、51（应力单位）2．证明在弹性应力状态下，式8821G成立。（10分）P50；83；103；3．习题5.1所示结构由4根横截面均为A/4的竖直杆和一根水平刚性梁组成，竖杆为理想弹塑性材料，杆1的屈服应力为01，杆2的屈服应力为02，设各杆材料常数E相同，并设0102，试求P192－习题5.1（a）在单调加载下的弹性极限荷载dP，各杆均进入塑性时的最大荷载pP，相应于dP的铅垂变形eu和相应于pP的铅垂变形pu。（b）若各竖杆的应变u/L达到E/202后卸载，确定当P完全卸去后和竖杆的残余应力和残余应变。P177－例5.24．在简单拉伸试验中材料的应力—应变关系为300Epe其中，MPa2000为初始屈服应力，材料常数MPaE200000，就下面两种情况，求先施应变至002.0p时逆向加载的应力—应变关系。（a）随动强化；（b）各向同性强化。P186－例5.3本教材习题和参考答案及部分习题解答第二章2.1计算：(1)piiqqjjk，(2)pqiijkjkeeA，(3)ijpklpkiljeeBB。答案(1)piiqqjjkpk;答案(2)pqiijkjkpqqpeeAAA;解：(3)()ijpklpkiljikjliljkkiljiijjjiijeeBBBBBBBB。2.2证明：若ijjiaa，则0ijkjkea。（需证明）2.3设a、b和c是三个矢量，试证明：2[,,]aaabacbabbbcabccacbcc证：因为123111123222123333iiiiiiiiiiiiiiiiiiaaabacbabbbccacbccaaaabcbbbabccccabc，所以123111123222123333123111123222123333detdet()iiiiiiiiiiiiiiiiiiaaabacaaaabcbabbbcbbbabccacbcccccabcaaaabcbbbabccccabc即得1231112123222123333[,,]iiiiiiiiiiiiiiiiiiaaabacaaaabcbabbbcbbbabccacbcccccabcaaabacbabbbcabccacbcc。2.4设a、b、c和d是四个矢量，证明：()()()()()()abcdacbdadbc证明：()()abcd2.5设有矢量iiuue。原坐标系绕z轴转动角度，得到新坐标系，如图2.4所示。试求矢量u在新坐标系中的分量。答案：112cossinuuu，212sincosuuu，33uu。2.6设有二阶张量ijijTTee。当作和上题相同的坐标变换时，试求张量T在新坐标系中的分量11T、12T、13T和33T。提示：坐标变换系数与上题相同。答案：图2.4o'zzy'y'xxu11221122122111cos2sin2222TTTTTTT，12211221221112cos2sin2222TTTTTTT，131323cossinTTT，3333TT。2.7设有3n个数12niiiA，对任意m阶张量12mjjjB，定义12121212nmnmiiijjjiiijjjCAB若1212nmiiijjjC为nm阶张量，试证明12niiiA是n阶张量。证：为书写简单起见，取2n，2m，则2.8设A为二阶张量，试证明trIAA。证：2.9设a为矢量，A为二阶张量，试证明：(1)()TTaAAa，(2)()TTAaaA证：(1)()()()TTTTjiijkkjiikjknnAaAaeAaeeeee()TjikjkninjnkjkiinAaeAaeeeeekkjnjnaAaAeee。证：(2)()TTaA2.10已知张量T具有矩阵123[]456789T求T的对称和反对称部分及反对称部分的轴向矢量。解：2.11已知二阶张量T的矩阵为310[]130001T求T的特征值和特征矢量。解：2.12求下列两个二阶张量的特征值和特征矢量：AImm，Bmnnm其中，和是实数，m和n是两个相互垂直的单位矢量。解：因为()()AmImmmm，所以m是A的特征矢量，是和其对应的特征值。设a是和m垂直的任意单位矢量，则有()AaImmaa所以和m垂直的任意单位矢量都是A的特征矢量，相应的特征值为，显然是特征方程的重根。令21()2mne，31()2mne，123e=ee则有232()2me+e，232()2ne+e上面定义的ie是相互垂直的单位矢量。张量B可以表示成1122330Beeee+ee所以，三个特征值是1、0和－1，对应的特征矢量是3e、1e和2e。2.13设a和b是矢量，证明：(1)2()()aaa(2)()()()()()abbaababba证：(1)(2)2.14设2321232xyzxzxzaeee，求1()2waa及其轴向矢量。解：12()waa23223211213212[(2)()(2)xzzxyzzxzeeeeee22222331326()6]xzzxyxzeeeeee由上式很容易得到轴向矢量，也可以按下面的方法计算轴向矢量222321112322[6()(2)]xzxyzzxzωaeee。2.15设S是一闭曲面，r是从原点O到任意一点的矢径，试证明：(1)若原点O在S的外面，积分30SdSrnr；(2)若原点O在S的内部，积分34SdSrnr。证：(1)当0r时，有33()()0iixrxrr(b)因为原点在S的外面，上式在S所围的区域V中处处成立，所以由高斯公式得33()0SVdSdvrrnrr。(2)因为原点在S的内部，所以必定存在一个以原点为球心、半径为a的球面S完全在S的内部。用V表示由S和S所围的区域，在V中式(b)成立，所以3333()0SSSSVdSdSdSdVrrrrnrnrnrr即33SSdSdSrrnrnr在S上，ra，/anr，于是3322114SSSSdSdSdSdSrraanrnr。2.16设123(2)yxxzxyfeee，试计算积分()SdSfn。式中S是球面2222xyza在xy平面的上面部分.解：用c表示圆222xya，即球面2222xyza和xy平面的交线。由Stokes公式得()0SccdSdydxxdyfnfr。第三章3.1设r是矢径、u是位移，rru。求ddrr，并证明：当,1iju时，ddrr是一个可逆的二阶张量。解：ddddddrruIurrrddrIur的行列式就是书中的式(3.2)，当,1iju时，这一行列式大于零，所以ddrr可逆。3.2设位移场为uAr，这里的A是二阶常张量，即A和r无关。求应变张量ε、反对称张量()/2Ωuu及其轴向矢量ω。解：uA，1()2TεAA，1()2TΩAA，1122ijkjklliAxxωueeee111222jkijmmkilljkijmmkijiijmmAeAeAeeeeee3.3设位移场为uAr，这里的A是二阶常张量，且,1iju。请证明：(1)变形前的直线在变形后仍为直线；(2)变形前的平面在变形后仍然是一个平面；