同济大学数字信号处理第2章DSP第二章2

二、z反变换实质：求X(z)幂级数展开式z反变换的求解方法：围线积分法（留数法）部分分式法长除法()[()]xnIZTXzz反变换:从X(z)中还原出原序列x(n)()[()]()nnXzZTxnxnz1、围线积分法（留数法）根据复变函数理论，若函数X(z)在环状区域内是解析的，则在此区域内X(z)可展开成罗朗级数，即而其中围线c是在X(z)的环状收敛域内环绕原点的一条反时针方向的闭合单围线。,0,xxxxRzRRR（）()nnxxnXzCzRzR11()2nncCXzzdzjRe[]zIm[]jz0xRxRC0,1,2,n若F(z)在c外M个极点zm，且分母多项式z的阶次比分子多项式高二阶或二阶以上，则：11()()(,)2nxxcxnXzzdzcRRj1()()nFzXzz()Re[()]kzzkxnsFz()Re[()]mzzmxnsFz利用留数定理求围线积分，令若F(z)在围线c上连续，在c内有K个极点zk，则：留数的计算公式单阶极点的留数：Re[()][()()]rrzzrzzsFzzzFz2()1/44(4)(1/4)zXzzzz例1：，，求其z反变换Re[]zIm[]jz0C41/4211()(,)2(4)(1/4)nxxczxnzdzcRRjzz解：211()(4)(1/4)(4)(1/4)nnzzFzzzzzz其中：11()4nFzcz当时在围线内只有一阶极点14()Re[()]zxnsFz1141()4(4)(1/4)nzzzzz415n11()(1)04nFzcznz当时在围线内有一阶极点和-阶极点4()Re[()]zxnsFz14441/4nzzzzz2415ncz=4F(z)而围线外只有一阶极点，且的分母多项式阶次高于分子多项式阶次两次以上244()(1)(2)1515nnxnununRe[]zIm[]jz0C41/42()4(4)(1/4)zXzzzz例2：，，求其z反变换Re[]zIm[]jz0C41/4解：收敛域是圆的外部lim()1X(z)z=zXz又，即在处收敛()()00xnxnn是一个因果序列，即，()xn是右边序列10()c(4)(1/4)0()0nznFzzzxn同样当时，由在外无极点，且分母阶次比分子阶次高两阶以上，由围线外极点留数为可得0n当时1()(4)(1/4)nzFzzz144cz在围线内有一阶极点，Re[]zIm[]jz0C41/441/4()Re[()]Re[()]zzxnsFzsFz111441(4)()114(4)()(4)()44nnzzzzzzzzzz21(44)15nn21()(44)()15nnxnun思考：n=0,1时，F(z)在围线c外也无极点，为何()0xn211()1(1)(1)aXzaazaz例3：，，求z反变换21111()2(1)(1)ncaxnzdzjazaz解：221111(1)()(1)(1)()()cX(z)nnaazFzzazazazaza其中：为收敛域内闭合围线1(),Xzzaa而题中未给出收敛域，根据的极点有三种可能的收敛域：111)2)3)zazaazaRe[]zIm[]jz0C1aa11)za收敛域是圆的外部lim()0zXz又，()()00xnxnn是因果序列，即，0n当时1()Fzczaa在围线内有一阶极点，1()Re[()]Re[()]zazaxnsFzsFz122111(1)(1)()()()()()()nnzazaazazzazaazazaazazannaa()()()nnxnaaunRe[]zIm[]jz0C1aa2)za0n当时()Fzc在围线内无极点()0xn故0n当时()0Fzcnz在内有-阶极点1,,czaa在外有一阶极点且分母阶次比分子高两阶以上1()Re[()]Re[()]zazaxnsFzsFz()nnnnaaaa()()(1)nnxnaaunRe[]zIm[]jz0C1aa0n当时()Fzcza在内有一阶极点()Re[()]nzaxnsFza0n当时()0Fzczanz在内有一阶极点和-阶极点1,cza在外有一阶极点且分母阶次比分子高两阶以上1()Re[()]nzaxnsFza()()(1)nnnxnaunauna13)aza2、部分分式展开法X(z)是z的有理分式，可分解成部分分式：12()()()()()()KBzXzXzXzXzAz()[()]xnIZTXz12[()][()][()]KIZTXzIZTXzIZTXz对各部分分式求z反变换：01()()()1MiiiNiiibzBzXzAzaz11011()1[1]MNMrrnkknknkkkiACXzBzzzzz()Re1,2,,kkzzXzAskMrz用留数定理求系数：1125()2316zXzzzz例：，，求z反变换Re[]zIm[]jz03223353123zzXzAReszzzz112255516623zzzXzzzzzzz解：1252323XzAAzzzzz12252123zzXzAReszzzz1123Xzzzz1111231213zzXzzzzz23z11[()]1nZTaunzaaz11[(1)]1nZTaunzaaz1112z2()nun2z1113z3(1)nun3z231nnxnunun3、幂级数展开法（长除法）把X(z)展开成幂级数()()nnXzxnz1012(1)(0)(1)(2)xzxzxzxz级数的系数就是序列x(n)根据收敛域判断x(n)的性质，在展开成相应的z的幂级数将X(z)X(z)的x(n)展成z的分子分母按z的因果序列负幂级数降幂排列左边序列正幂级数升幂排列xzRxzR解：由Roc判定x(n)是因果序列，用长除法展成z的负幂级数11()(1)Xzzaaz例：，，求z反变换122330()1nnnXzazazazaz…()()nxnaun11112222223333111azazazazazazazazaz122331azazaz11()(1)Xzzaaz例：，，求z反变换122331()[]nnnXzazazazaz…-()(1)nxnaun解：由Roc判定x(n)是左边序列，用长除法展成z的正幂级数11112222111azazazazazaz12233azazaz2()1/44(4)(1/4)zXzzzz例：，，求z反变换解：X(z)的Roc为环状，故x(n)是双边序列极点z=1/4对应右边序列，极点z=4对应左边序列先把X(z)展成部分分式161()1515(4)()41/41/4Xzzzzzzz116()151/44zzXzzz[phone]zzzzzzzz23144zzz1114114161141146zzzzz12111416zz2123111()141544Xzzzzzz1+16244()()(1)1515nnxnunun201114154nnnnnnzz