同济大学概率论与数理统计第五章

第五章二维随机变量及其分布第一节两维离散型随机变量第二节两维连续型随机变量•联合概率函数•边缘概率函数•随机变量的相互独立性•条件概率函数第一节例如，新生入学体检，有两个指标：身高与体重那么对每个学生进行一次测量，其结果就对应一组有序数,XY；战士打靶的弹着点可由平面上的点的坐标,XY来表示。定义给定一个随机试验，是它的样本空间。如果对中的每一个样本点，有一对有序实数,XY与它对应，那么称向量,XY为二维随机向量。（一）联合概率函数如果一个二维随机向量只可能取有限个或可列个值，则称其为二维离散型随机向量。设,XY的值域为,,:1,2,,1,2,ijXYabij，称,ijijijPXaYbPXaYbp，,1,2,,ij为二维随机向量,XY的概率函数或概率分布（律），或者称其为随机变量X与Y的联合概率函数（联合分布、联合分布律）。•可用表格表示：YXb1b2b3…bn…a1a2am…P11p12p13…p1n…P21p22p23…p2n……………Pm1pm2pm3…pmn………………显然ijp满足下列条件：（1）0ijp；（2）1ijijp。例1．一口袋中有4个球，依次标有数字1，2，2，3。从袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取一球。以X、Y分别记第一、第二次取到的球上标有的数字，求,XY的联合分布及概率值PXY。利用联合概率函数，可求任意随机事件的概率：,,,ijijabDPXYDPXaYb,,,ijijijabDp（二）边缘概率函数对于二维随机向量,XY，分量X或Y本身是一个（一维）随机变量，它的概率分布称为,XY的关于X或Y的边缘概率函数。设随机向量,XY的联合分布为,ijijPXaYbp，,1,2,ij，X的值域为12,,Xaa，则X的边缘概率函数为iPXaijijpp，1,2,i；Y的值域为12,,Ybb，定义Y的边缘概率函数或边缘分布（律）为jPYbijipjp，1,2,j例2．一口袋中有5个球，4个白的、1个红的。无放回抽样接连摸两次，记10X第一次取到红球第一次取到白球，10Y第二次取到红球第二次取到白球，试求：（1）X与Y的边缘概率函数；（2）PXY。例3．上例中，若作有放回抽样，求问题（1）。以上例子说明，由联合分布可以决定边缘分布，但反之不然。例4．设,XY的概率函数如下表示：已知2223PXaYb，试求常数x、y的值；并求条件概率11PXaYb。XY1b2b1a0.1x2ay0.4定义设随机变量X与Y的联合概率函数为,ijijPXaYbp，,1,2,ij如果ijijppp对一切,1,2,ij成立，那么就称随机变量X与Y相互独立。（三）随机变量的相互独立性例2、3中，在有放回抽样时，随机变量X与Y是相互独立的，而在无放回抽样时随机变量X与Y不独立。由定义可知如果随机变量X与Y相互独立，那么由边缘分布可以决定联合分布。（64页习题10）定理随机变量X与Y相互独立的充分必要条件是：对实数轴上任意两个集合1S，2S，总有1212,PXSYSPXSPYS。定义如果随机变量12,,,nXXX的联合概率函数恰为n个边缘概率函数的乘积，即有1122,,,nnPXxXxXx1niiiPXx。那么就称这n个随机变量12,,,nXXX相互独立。（四）条件概率函数定义设随机向量,XY的联合分布为,ijijPXaYbp，,1,2,ij，对任意一个固定的j，1,2,j，称ijPXaYbijjpp，1,2,i为已知jYb发生的条件下X的条件概率函数或条件分布（律）。记作jXYb。类似地，对任意一个固定的i，1,2,i，称jiPYbXaijipp，1,2,j为已知iXa发生的条件下Y的条件概率函数或条件分布（律）。记作iYXa。条件分布也是分布，易知ijjpp或ijipp满足（1）0ijipp；0ijjpp；（2）1ijijpp；1ijjipp。例5．设X与Y的联合概率函数如下表所示，求条件分布2YX，1XY。XY-112011203123221211211223121120例6．一整数X随机地在1、2、3、4四个整数中取一个值，另一个整数Y随机地在1X中取一个值。求条件分布1XY，3YX。例7．以X记某医院一天诞生的婴儿的个数，以Y记其中男婴的个数，设X和Y的联合分布为147.146.86,!!mnmePXnYmmnm，0,1,2,,mn；0,1,2,n。试求边缘分布、条件分布PXnYm、PYmXn。例8．某地公安部门经过调查后发现，交通事故由自行车造成的（记为1X）占1/2，由汽车造成的（记为2X）占1/3，由其它原因造成的（记为3X）占1/6。由自行车造成的交通事故引起轻伤的（记为1Y）占1/2，引起重伤的（记为2Y）与死亡的（记为3Y）各占1/4。由汽车造成的交通事故引起轻伤的与重伤的各占1/4，引起死亡的占1/2。由其它原因造成的交通事故引起轻伤、重伤、死亡的比例相同。试求X与Y的联合概率函数。第二节二维连续型随机变量及其分布•联合概率密度函数•两个常见分布•边缘概率密度函数•随机变量的独立性•条件概率密度函数•先介绍一下二维随机变量分布函数的概念给定随机变量,XY，称定义域为整个平面的二元实值函数,,FxyPXxYy,xy为随机变量,XY的分布函数，或称为X与Y的联合分布函数。由定义可知对平面上任一点（x,y），F(x,y)=p((x,y)∈Dxy)(xy)Dxy0联合分布函数的性质：（1）0≤F（x,y）≤1；（2）F（x,y）关于x或y单调不减；（3）F（x,y）关于X或y右连续；（4）,1y,xFlim,oy,xFlim,oy,xFlim,oy,xFlimy,xy,xyx（5）0,,:,xx1,12,112222121yxFyxFyxFyxFyy对任意的x1x2y1y20一联合概率密度函数定义1.给定一个连续型随机变量,XY，如果存在一个定义域为整个平面的二元非负实值函数,fxy，使得,XY的分布函数,Fxy可以表达成,,xyFxyfuvdudv，,xy那么称,fxy为连续型随机变量,XY的联合概率密度函数。,fxy必须满足下列两个条件：（1）,fxy0，,xy；（2）,1fxydxdy。定理1.连续型随机变量的性质：（1）,Fxy连续，且在,fxy的连续点处2,,Fxyfxyxy；（2）对任意一条平面曲线L，,0PXYL；（3）对任意一个平面上的集合D，,,DPXYDfxydxdy。例1．设随机变量,XY的联合概率密度函数为20,1,0cxyxyfxy其余，求（1）参数c；（2）,PXYD，其中D为由yx所决定的区域。二两个常见二维分布1．均匀分布设,XY的密度函数为1,,0xyGGfxy其余，其中G是平面上某个区域，G表示区域G的面积。则称,XY服从区域G上的均匀分布。例2．设,XY服从区域G上的均匀分布，其中,:1,1Gxyxy。试求关于t的一元二次方程20tXtY无实数根的概率。2．二维正态分布若,XY的密度函数为2121,21fxy22112222211221exp221xxyy,xy则称,XY服从参数为1、2、21、22、的二维正态分布。其中12,，12,0，1。记作221212,,,,,XYN。三边缘概率密度函数称,Xfxfxydy，x为X的边缘概率密度函数（边缘分布）。称,Yfyfxydx，y为Y的边缘概率密度函数（边缘分布）。称,XFxFx,PXxYPXx为随机变量X的边缘分布函数；称,YFyFy,PXYyPYy为Y的边缘分布函数。例3.试求例1中X与Y的边缘密度函数。例4.设X与Y的联合密度函数为2,,0xyxyGfxy其余，区域G由直线2xy、2x及x轴所围。试求X与Y的边缘密度函数。定理2.设221212,,,,,XYN，则211,XN，222,YN。四随机变量的相互独立性定义2.如果,XYFxyFxFy，对一切,xy成立，那么称随机变量X与Y相互独立。在离散型的情形，上述定义等价于ijijppp；在连续型的情形，定义等价于,XYfxyfxfy在,fxy、Xfx、Yfy的一切公共连续点上成立。例4中随机变量X与Y不独立；而例3中的X与Y是相互独立的。定理3.设221212,,,,,XYN，那么X与Y相互独立的充分必要条件是0。独立性概念可以推广到n个随机变量上去。五条件概率密度函数定义3.设随机变量,XY的密度函数为,fxy，对任意一个固定的y，y，当Yfy0时，称,XYYfxyfxyfy，x，为已知Yy发生时X的条件概率密度函数（条件分布）。类似地，对任意一个固定的x，x，当Xfx0时，称,YXXfxyfyxfx，y，为已知Xx发生时Y的条件概率密度函数（条件分布）。易知XYf与YXf满足作为密度函数的两个条件：（1）0XYfxy；0YXfyx；（2）1XYfxydx；1YXfyxdy。例5．在例4中试求（1）已知事件12Y发生时X的条件密度函数12XYfx；12XYFx（2）YXfyx；YXFyx；（3）31022PXY。相应的条件分布函数定义为,xxXYXYYfuyFxyfuydudufy，x；,yyYXYXXfxuFyxfuxdudufx，y例6．设,XY服从B上的均匀分布，B为x轴、y轴及直线21yx所围区域，求当Xx，102x时Y的条件密度函数。例7．设0,1XR，已知Xx时，0,YRx，其中01x。试求,XY的联合密度函数。