第一章-1 随机信号分析基础

随机信号分析基础§1随机信号分析基础随机过程部分内容复习1.1随机信号1.2随机信号的统计描述1.3平稳随机信号1.4统计特征估计的质量平价1.5随机信号的功率谱1.6白噪声信号与谐波信号1.1随机信号随机信号的概念随机信号的定义随机信号举例随机信号的分类回顾随机变量的定义：设E是随机试验，Ω={ξ}是其样本空间，如果对于每一个ξ∈Ω，都有一个实数X(ξ)与之对应，这样就得到了一个定义在Ω上的单值函数X(ξ)，称“X(ξ)”为随机变量，简记为X。随机变量是定义在样本空间Ω上的样本ξ所对应的一个单值函数X(ξ)；对应于不同的样本ξ（一次具体的E），X有着不同的取值；X的随机性取值在试验完成后得以体现；X为连续值时称“连续型随机变量”；X为离散值时称“离散型随机变量”；X为连续值与离散值的混合值时称“混合型随机变量”。随机过程定义1：设E是随机试验，Ω={ξ}是其样本空间，如果对于每一个ξ∈Ω，总可依某种规则确定一参数为t的实值函数“X(ξ,t),t∈Ｔ”与之对应；当ξ取遍Ω时，便得到了定义在T上的一族时间t的函数，称它为随机过程。族中的每个函数即为该过程的一个样本函数，称为随机过程的一个“实现”，Ｔ是参数t的变化范围，称为“参数集”，一般表示时间集合，随机过程可简记为X(t)。随机过程也可看成是变量ξ、t的函数，其含义分别为：若ξ、t均为变量，X(t)是一个时间函数族；ξ固定、t为变量，指随机过程的一个样本“实现”，X(t)是一个确定的时间函数；t固定、ξ为变量，X(t)是一个随机变量；ξ、t均固定，X(t)是该过程某一样本所对应的t时刻的函数值。tξ.........随机过程定义2：若对于每个特定的时刻ti(i=1,2,……)，X(ξ,ti)都是随机变量，则称X(ξ,t)为随机过程。通常，将连续型随机过程X(ξ,t)简记为X(t)，将该过程的一个样本函数（或称该过程的一个“实现”）简记为x(t)。将离散型随机过程X(ξ,n)简记为X(n)，将该过程的一个样本函数（或称该过程的一个“实现”）简记为x(n)。tξ.........icix(t)Acos(t)cx(t)Acos(t),t(,)1：对于每一个固定的时刻ti:2：在(0,2π)内随机抽取一数φi:icix(t)Acos(t)А、ω是常数，φ是在(0,2π)均匀分布的随机变量例：这时X(ti)是一个随机变量；这时Xi(t)是一个样本函数，是该随机过程的一个“实现”。∴随机相位正弦波是一个随机过程随机信号举例：tiy1(t)X(φ,t)Y(i,t)y2(t)y3(t)X1(t)X2(t)X3(t)随机相位正弦波随机噪声随机信号举例均匀分布高斯分布柯西分布n随机信号的分类按照时间和状态的连续性分类时间及状态取值都连续时间及状态取值都离散时间连续状态离散时间离散状态连续按照样本函数的形式分类不可预测型随机信号部分可预测型随机信号按照统计特性分类高斯型过程马尔可夫过程独立增量过程……1.2随机信号的统计描述1.2.1随机信号的概率分布1.2.2随机信号的数字特征1.2.3随机信号的特征函数1.2.4随机信号的导数与积分1一维概率分布tΩ设{X(t),tЄT}是随机过程，x为实数，随机过程的一维概率分布描述为：定义：FX(x,t)=P{X(t)≤x}为X(t)的一维分布。如果FX(x,t)的一阶导数存在，定义：px(x,t)=∂FX(x,t)/∂x为X(t)的一维概率密度。xXX0F(x,t)1,F(x,t)p(x,t)dx,p(x,t)dx1...............t12二维及多维概率分布tΩ对于任意两个不同时刻t1ЄT、t2ЄT，x1、x2为实数，随机过程的二维联合概率分布描述为：定义：FX(x1,x2,t1,t2)=P{X(t1)≤x1,X(t2)≤x2}为X(t)的二维分布。如果FX(x1,x2,t1,t2)的偏导数存在，定义：pX(x1,x2,t1,t2)=∂2FX(x1,x2,t1,t2)/∂x1∂x2为X(t)的二维概率密度。可仿此类推多维分布的情形…..............................t1t21.2.2随机信号的数字特征随机信号的矩均值函数（数学期望）均方函数与方差函数自相关函数与自协方差函数互相关函数与互协方差函数随机信号间的“独立、不相关、正交”关系随机信号的矩KKKLKLX(t)Y(t)EEX,K1,2,...X(t)KKE[XE(X)],K1,2,...X(t)KE[XY,KL1,2,...X(t)Y(t)K+LE[XE(X)][YE(Y)]X(t)Y(t)K+L设、均为随机信号，表示求统计平均，则:若存在，称其为的阶原点矩，简称阶矩；若存在，称其为的阶中心矩；若、存在，称其为和的阶原点混合矩；若存在，称其为和的定义：阶混合中心矩；KKKKKK(t)E{X(t)}(t)(,)()E{X()}()(,)()(,)xxxpxtdxxnnxnpxndxxnpxn例,阶原点矩:对于连续型随机信号，对于离散型随机信号，（或:）均值函数（数学期望）kkxiixiii1i1E{X}()()E{X()}()()mxpxmnnxnpx或：k1122kkiii12k...()...Mxmxmxmmxmmm在M次测量中，测得结果为x1的次数m1、测得结果为x2的次数m2、…测得结果为xk的次数mk：其测量的算术平均：当M充分大时，m/M接近于x的概率，定义均值：均值与概率密度有关，均值仅对长期（或大量）观察才有意义。均值函数（数学期望）x(t)E{X(t)}(,)xpxtxmd-1[()]()2TtTAxtxtdtT称“一阶原点矩”，为全部样本值在某时刻取值的“集合平均”、或“统计平均”均值函数表示了随机过程在各个时刻的摆动中心。注意：区别于“时间平均”：对于连续时间函数：均方函数与方差函数222Xm(t)E{X(t)}(,)xpxtdxtX1(t)tX2(t)22X22xXXD(t)E{XD(t)E{[X(t)m(t)]}[()](,)X(t)X(t)(t)m}([()](,t))xXxmtxmtpxtdxpxtdx或表示为：其中称“中心化随机变量”均方函数（二阶原点矩）：方差函数（二阶中心矩）：两者均表示随机信号在时刻t对于均值的平均偏离程度均方函数与方差函数22XXD(t)E{[X(t)m(t)]}(()var{()})XtxttX1(t)tX2(t)方差函数：称为“标准差”，同样表示随机信号的分散程度2XX()()var{()}D(t)XttxtX222XXX[,]X{0,1,2,...}X1()mE{X}()2()DE{[Xm]}()()212babaabnbapxxpxdxbababaxpxdx设是在上服从均匀分布的连续实随机变量，求其概率密度函数、均值与方差；若取离散值的概率均相同，求其概率密度函数、均值与方差。对于连续：、2XnXkkk0n222XXkkXk0()X1n()mE{X}()n12nn(n2)DE{[Xm]}()()()212pxxpxxpx对于离散：、例：自相关函数与自协方差函数tX1(t)tX2(t)x121212121212R(t,t)E[X(t)X(t)](,;,)xxpxxttdxdx自相关函数（二阶联合原点矩）：自协方差函数（二阶联合中心矩）：x121x12x212x1x2C(t,t)E{[X(t)m(t)][X(t)m(t)]}(t,t)m(t)m(t)xR表示随机过程在两个不同时刻的状态间的统计关联关系tX3(t)二维随机过程：设X(t),Y(t)是定义在同一样本空间Ω和同一参数集Ｔ上的随机过程，对于不同的t∈Ｔ，X(t)、Y(t)分别是不同的两个随机变量，称{X(t),Y(t),t∈Ｔ}为二维随机过程。12n12mX(t),X(t),...X(t);Y(),Y(),...Y()12n12n12m12mFx,x,...,x;t,t,...,t;y,y,...,y;,,...,对于给定的二维随机过程，或将其称为二维随机过程X(t)、Y(t)的“n+m维联合分布”。是n+m维随机变量，其n+m维分布为：将上述概念推广，即可得出多维随机过程及其分布函数、以及概率密度函数的定义（能完整描述n维随机过程的分布函数、概率密度函数的维数分别应为m1+m2+…+mn维）。互相关函数与互协方差函数ty(t)xy1212R(t,t)E[X(t)Y(t)]互相关函数：互协方差函数：xy121x12y2y12x1y2C(t,t)E{[X(t)m(t)][Y(t)m(t)]}(t,t)m(t)m(t)xR表示两个随机信号在两个不同时刻的状态间的统计关联关系tX(t)互相关应用举例：1212xy1()()()()()()()()()()()[()()]()()(snxnsnnnynKsnNnnnnnnsnRmExnynmEsnnnKs设信号数据为均值为零的实信号，在本地对其进行测量获得数据为:对其反射回波测量获得的数据为:其中、是互不相关的白噪声，均与不相关。求两组测量数据的互相关：21122)()()()()()()ssnsnnnsnNnnKRmNRmKRmNRmKRmN举例：求两个随机数据序列的协方差随机信号间的“独立、不相关及正交关系”xy12x1y2pxyttpxtpyt（,;,）（;)(;）XY121212x1y2R(tt)EX(t)Y(t)EX(t)EY(t)m(t)m(t),xy1212R(t,t)E{X(t)Y(t)}0如果X(t)、Y(t)统计独立，则有:随机过程间若相互独立，则必互不相关（反之不一定）随机过程间的正交性与相关性一般没有直接关系，但若其中任一随机过程的均值为零，则正交性与相关性是一致的。如果X(t)、Y(t)互不相关，则有：XY121x12y21x12y2C(tt)E[X(t)m(t)][Y(t)m(t)EX(t)m(t)EY(t)m(t)0,如果X(t)、Y(t)相互正交，则有：例题：22XY111(,)(2)(1)(3)(1)()()333XYKXY()()()15()(,)(23)3315()()(23)(33XYXYXpxyxyxyxKyKEXYEXEYKEXYXYpxyKKEXXpxKEY如果给定离散随机变量、的联合概率密度函数：　试求使与不相关且相互独立的值。若与不相关：其中：，212)()(11)33()()()275015/2XYKXY(,)()()()()()1XYYXYXYKYpyKEXYEXEYKKKpxypxpyEXYEXEYKMNMN由得到：，可解出、　　时与不相关。检验上述值是否使与相互独立：　　　可以从相互独立时应满足：　　　　　亦可以从相互独立时应满足：　　进行判断　因仅当　　时以上关系成立，因而同时使与相互独立且不相关K的值为１。例：试说明：相关函数是一、二阶数字特征中最主要的统计特征2x(n)mx(n)x(nm)mx(n)x(nm)()lim()lim()()lim()()y(n)()lim()()()XXXmmmXYXYXYmXXRRmEXnXnmEXnEXnmmRRmmmCmRm对于实际问题中的许多不含周期分量的随机过程,当越大，与间的相关性越弱，因而有理由认为：当时与两者不相关，所