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第四讲构建数学理论的基本方法——公理化方法本讲内容数学公理化方法的历史演进过程——关于几何公理体系实质公理化与形式公理化数学公理化方法的逻辑特征所谓公理化方法，就是指从尽可能少的原始概念和不加证明的原始命题（即公理、公设）出发，按照逻辑规则推导出其它命题，建立起一个演绎系统的方法。数学上的所谓公理，是数学需要用作自己出发点的少数思想上的规定——恩格斯公理化方法能系统地总结数学知识、清楚地揭示数学的理论基础，有利于比较各个数学分支的本质异同，促进新数学理论的建立和发展。现代科学发展的基本特点之一，就是科学理论的数学化，而公理化是科学理论成熟和数学化的一个主要特征。公理化方法的发展，大致经历了这样三个阶段：实质（或实体）公理化阶段、形式公理化阶段和纯形式公理化阶段，用它们建构起来的理论体系典范分别是《几何原本》、《几何基础》和ZFC公理系统。数学公理化方法的历史演进——关于几何公理体系欧几里德几何历史上第一个用公理化方法去建构数学理论体系的是欧几里德，他的工作集中体现在他的《几何原本》中。Quotations:ThelawsofnaturearebutthemathematicalthoughtsofGod.Thereisnoroyalroadtogeometry.欧几里得《几何原本》受到了毕达哥拉斯学派和亚里士多德的影响毕达哥拉斯学派开创了把几何学作为证明的演绎学科来进行研究的方向。亚里士多德首创造公理化思想，提出了逻辑学的“三段论公理体系”。欧几里德首先指明了几何学的研究对象，即点、线、面，在对这些对象进行“定义”（其实只是说明）以后，引进了关于这些对象的一些明显的事实作为不加证明而采用的5个公设，进而又引进了更为一般的5个断言作为公理，他通过这些公理、公设，逐步推演出465个命题。《几何原本》的问世，在数学的发展史上树立了一座不朽的丰碑，对数学乃至科学的发展起了巨大的推动作用。它也成为公认的、历史上第一部巨大的科学典籍。它奠定了数学这门科学必须依照逻辑要求论述其规律的基础。它基本上完善了初等几何的体系，这正如黑格尔所说：“初等几何就欧几里得所遗留给我们的内容而言，已经可以看作相当完备了，不可能有更多的进展”。它所体现的演绎美对数学美学思想的发展也起到了不可低估的作用，它让“世界第一次目睹了一个逻辑体系的奇迹，这个逻辑体系如此精密地一步一步推进……，推理的这种可赞叹的胜利，使人类理智获得了为取得以后的成就所必须的信心。（爱因斯坦语）。几何的辉煌之处就在于只用很少的公理而得到如此之多的结果。它倡导的公理化方法，为数学家和物理学家树立了如何建立科学理论体系的光辉典范。牛顿采用欧几里德的公理化方法，把他之前的众多的物理学家（如哥白尼、伽俐略、开普勒等）研究的力学知识排列成逻辑的体系，组成一个有机的整体。他的名著《自然哲学的数学原理》从力学三大运动定律出发，按照数学的逻辑推理把力学定理逐个必然地引申出来。AboutElementsTheElementshavebeenstudiedforover20centuriesinmanylanguagesstarting,initsoriginalGreekform,theninArabic,Latin,andthentomodernlanguagesofthepresenttime.Itisalsotheworld'ssecondmostpopularbook,comingonlybehindtheHolyBiblewhichisextraordinaryconsideringhowmanybooksthereareintheworld.Greekversion(888)LatinVersion(1482)EnglishVersion“此书有四不必：不必疑、不必揣、不必试、不必改．有四不可得：欲脱之不可得，欲驳之不可得，欲减之不可得，欲前后更置之不可得。有三至三能：似至晦，实至明，故能以其明明他物之至晦；似至繁，实至简，故能以其简简他物之至繁；似至难，实至易，故能以其易易他物之难。易生于简，简生于明，综其妙在明而已”。——徐光启《几何原本杂议》中文版1606年，由意大利传教士利玛窦口译，明代进士、数学家徐光启执笔，合作译完欧几里得《几何原本》前6卷，1607年在北京雕版刊行．徐光启亲自写了《刻几何原本序》，手迹至今犹存。徐光启和利玛窦译的《几何原本》前6卷，乃是东方的最早译本(不计阿拉伯文本)。较俄译本(1739)、瑞典文本(1744)、丹麦文本(1745)、波兰文本(1817)都早。徐光启和利玛窦合译的《几何原本》语言通俗，错误很少。其中的许多数学译名都是从无到有，边译边创造的，而且都十分恰当。“几何”一词的选用，其他如点、直线、平行线、角、三角形、四边形、有理数，无理数等都是这个译本首先定下来的。这些名词在我国一直沿用至今，而且还影响到日本、朝鲜等邻国。只有少数名词后来有所改动。1857年，清代数学家李善兰与英国传教士伟烈亚力合作续译的《几何原本》后9卷正式刊行。非欧几何非欧几里得几何是一门大的数学分支，一般来讲，它有广义、狭义、通常意义这三个方面的不同含义。所谓广义式泛指一切和欧几里得几何不同的几何学，狭义的非欧几何只是指罗氏几何来说的，至于通常意义的非欧几何，就是指罗氏几何和黎曼几何这两种几何。非欧几何长期以来，不少数学家就对第五公设（即平行公设）持保留态度。若平面上一直线和两直线相交，当同旁两内角之和小于二直角时，则两直线在这一侧延长后一定相交。因为它在陈述和内容上显得复杂和累赘。人们怀疑这条公设是多余的，它可能能从其它公设、公理中逻辑地推导出来。而且进一步认为，欧几里得之所以把它当作公设，只是因为他未能给出这一命题的证明。因而数学家们纷纷致力于证明第五公设，据说在欧几里得以后的两千多年时间里，几乎难以发现一个没有试证过第五公设的大数学家。ProclusDiadochus普罗克洛斯（411—485）,GreeceJohnPlayfair（1748—1819）,ScotlandAdrien-MarieLegendre（1752—1833），France但是所有试证第五公设的努力均归于失败，在这些失败之中唯一引出的正面结果便是一串与第五公设等价的命题被发现。普雷菲尔（JohnPlayfair）公设：“在平面上过直线外一点只能作一条和这直线不相交的直线”。“三角形的内角和等于两直角”。“存在着相似三角形”等。由于普雷菲尔公设形式最为简明，因此受到普遍采用，现在的教科书中也常用这一叙述形式来替代第五公设。其实，普雷菲尔公设由于包含了平行线的存在性，其与其它欧几里得公理、公设并不独立，更确切的等价命题应为：“通过不在已知直线上一点，至多可引一条与该已知直线平行的直线”（它被希尔伯特公理系统所采用，称为“平行公理”）。在总结前人失败教训的基础上，1826年，俄国年轻的数学家罗巴切夫斯基（NicolaiLobachevsky）从问题的反面考虑，大胆地提出了与前人完全不同的信念：首先，他认为第五公设不能以其余的几何公理作为前提来进行证明，即第五公设相对于其它公理、公设是独立的。其次，更进一步，他认为除去第五公设成立的欧几里得几何之外，还可以有第五公设不成立的新几何系统存在。于是，他在剔除第五公设而保留欧氏几何其余公理、公设的前提下，引进了一个相反于第五公设的公理：“过平面上一已知直线外的一点至少可以引两条直线与该已知直线不相交”。这样，罗巴切夫斯基就构造出来了一个新的几何系统即罗巴切夫斯基几何系统，它与欧几里得几何系统相并列。后来，人们又证明了这两个部分地互相矛盾的几何系统竟然是相对相容的，亦即假定其中之一无矛盾，则另一个必定无矛盾。这样，罗氏几何的地位就得到了确立。几乎在罗巴切夫斯基创立非欧几何学的同时，匈牙利数学家鲍耶·雅诺什也发现了第五公设不可证明和非欧几何学的存在。鲍耶在研究非欧几何学的过程中也遭到了家庭、社会的冷漠对待。他的父亲——数学家鲍耶·法尔卡什认为研究第五公设是耗费精力劳而无功的蠢事，劝他放弃这种研究。但鲍耶·雅诺什坚持为发展新的几何学而辛勤工作。终于在1832年，在他的父亲的一本著作里，以附录的形式发表了研究结果。高斯也发现第五公设不能证明，并且研究了非欧几何。但是高斯害怕这种理论会遭到当时教会力量的打击和迫害，不敢公开发表自己的研究成果，只是在书信中向自己的朋友表示了自己的看法，也不敢站出来公开支持罗巴切夫斯基、鲍耶他们的新理论。FoundersofNon-EuclideanGeometryNikolaiIvanovichLobachevsky(1793-1856)RussiaJohannCarlFriedrichGauss(1777-1855)Germany罗巴切夫斯基俄罗斯数学家，非欧几何的早期发现人之一。罗巴切夫斯基在尝试证明平行公理时发现以前所有的证明都无法逃脱循环论证的错误。于是，他作出假定：过直线外一点，可以作无数条直线与已知直线平行。如果这假定被否定，则就证明了平行公理。然而，他不仅没有能否定这个命题，而且用它同其他欧氏几何中与平行公理无关的命题一起展开推论，得到了一个逻辑合理的新的几何体系—非欧几里得几何学，这就是后来人们所说的罗氏几何。罗氏几何的创立对几何学和整个数学的发展起了巨大的作用，但一开始并没有引起重视，直到罗巴切夫斯基去世后12年才逐渐被广泛认同。罗巴切夫斯基在数学分析和代数学方面也有一定成就。匈牙利数学家鲍耶以毕生时间试图证明欧几里德关于平行线不相交的第五公设。在格丁根大学学习时成了著名数学家高斯的密友，保持通信直到1855年高斯逝世。他几乎与科学界完全隔绝，但仍然不倦地研究平行线的公理。匈牙利数学家鲍耶1804年他把一种证明寄给高斯，高斯指出了其中的缺陷，但他还继续研究。在罗氏几何创立28年以后，1854年黎曼（GeorgRiemann，1826—1866）又建立了另外一种“过直线外一点不能引出与该直线不相交的直线”的几何新体系——黎曼几何。如所知，黎曼几何在爱因斯坦1915年创立“广义相对论”后，已得到了证实和应用。黎曼“我对于把一切与物理规律结合起来的数学研究非常入迷。”——黎曼黎曼德国数学家，对数学分析和微分几何做出了重要贡献，其中一些为广义相对论的发展铺平了道路。他的名字出现在黎曼ζ函数，黎曼积分，黎曼引理，黎曼流形，黎曼映照定理，黎曼-希尔伯特问题，黎曼思路回环矩阵和黎曼曲面中。他初次登台作了题为“论作为几何基础的假设”的演讲，开创了黎曼几何，并为爱因斯坦的广义相对论提供了数学基础。他在1857年升为格丁根大学的编外教授，并在1859年狄利克雷去世后成为正教授。1851年，黎曼发表博士论文，后来被称为整个19世纪最重要的数学论文。黎曼是狄利克雷（Dirichlet，1805-1859）的学生，他在论文中引用了狄利克雷原理。德国数学家狄利克雷对数论、数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一。曾受教于物理学家欧姆、数学家傅里叶的影响。1855年接任高斯在哥廷根大学的教授职位。在分析学方面，他是最早倡导严格化方法的数学家之一。1837年他提出函数是x与y之间的一种对应关系的现代观点。在数论方面，他是高斯思想的传播者和拓广者。1863年狄利克雷撰写了《数论讲义》，对高斯划时代的著作《算术研究》作了明晰的解释并有创见，使高斯的思想得以广泛传播。1837年，他构造了狄利克雷级数。1838～1839年，他得到确定二次型类数的公式。1846年，使用抽屉原理。阐明代数数域中单位数的阿贝尔群的结构。魏尔斯特拉斯(weierstrass，1815-1897)：“不加证明利用狄利克雷是不恰当的，但是有道理的，我相信我能够得到这个原理的一个证明。”魏尔斯特拉斯他是把严格的论证引进分析学的一位