第4章-控制系统的稳定性-2

——Lyapunov稳定性分析在本章中，对于实际非线性系统的稳定性分析仅限于几种简单的情况。4.3Lyapunov稳定性分析4.2Lyapunov稳定性理论4.1概述本章结构如下4.4非线性系统的稳定性分析当脑血管中的血流发生短时间的停滞时？就可导致脑某一部分活动的突然故障，从而发生昏迷和知觉丧失。夫物芸芸，各復归其根。归根曰静，静曰復命。復命曰常，知常曰明。不知常，妄作，凶稳定中心状态稳定老子意义下的稳定性涵盖的现象极多，从单摆运动到心赃跳动，从核外电子运动到天体运行，从天气变化到人世变迁，从生物现象到心理现象，都可以用老子意义下的稳定性来加以描述。线性定常系统的稳定性分析方法很多。然而，对于非线性系统和线性时变系统，这些稳定性分析方法实现起来可能非常困难，甚至不可能。Lyapunov稳定性分析是解决非线性系统稳定性问题的一般方法。4.1概述Lyapunov提出了两类解决稳定性问题的方法，即Lyapunov第一法和Lyapunov第二法。☆第二法则是一种定性方法它无需求解困难的非线性微分方程，转而构造一个Lyapunov函数，研究其正定性及其对时间沿系统方程解的全导数的负定或半负定，得到稳定性结论。第一法通过求解微分方程的解来分析运动稳定性，即通过分析非线性系统线性化方程特征值分布来判别原非线性系统的稳定性；4.2Lyapunov意义下的稳定性问题ex则称为系统的平衡状态或平衡点。假设在给定初始条件下，上式有唯一解且当时，。于是),;(00txt0tt0xx0000),;(xtxt式中为维状态向量，是变量,,…,和t的n维向量函数。xn),(txf1x2xnx),(txfx考虑如下非线性系统4.2.1平衡状态0),(txfe在上式的系统中，总存在,对所有t当A为奇异矩阵时，系统将存在无穷多个平衡状态。如果系统是线性定常的，也就是说则当A为非奇异矩阵时，系统存在一个唯一的平衡状态0exexx对于非线性系统，则有一个或多个平衡状态，这些状态对应于系统的常值解（对所有t，总存在）。123000,,011eeeXXX其平衡状态有：1132122xxxxxx非线性系统注意：由于非零平衡点可以通过坐标变换将其移到状态空间的坐标原点，本章讨论关于原点处之平衡状态的稳定性问题。稳定性是相对于平衡点而言的4.2.2预备知识1.范数的概念定义：n维状态空间中，向量X的长度称为向量X的范数，用符号‖X‖表示，则有2232221nxxxxX21)(XXT向量的距离：n维状态空间中，‖X-Xe‖称为向量X与Xe的距离，表示为2222211)()()(enneeexxxxxxXX21)]()[(eTeXXXX域：n维状态空间中，当‖X-Xe‖限定在某一范围之内时，即，记为‖X-Xe‖的一个域。0,eXX域的几何意义：表示为n维状态空间中以Xe为为半径的一个球域，记为S()。例4.0：设有如下两个向量，分别求相应的范数及向量的距离。TYX)5,0,2,3,0()5,3,1,2(TWZ)5,1,2,6,0()5,2,1,4(3953122222X解：385023022222Y5)55()23()11()42(2222ZX10)55()10()22()63()00(22222WY建立在Lyapunov第二法基础上的稳定性分析中，有一类函数起着很重要的作用，即二次型函数,每项的次数都是二次。xP注意，这里的为实向量，为实对称矩阵。例如2、二次型函数3、标量函数的正定性如果对所有在域中的非零状态，有，且在处有，则在域（域包含状态空间的原点）内的标量函数称为正定函数。0x0)(xV0x0)0(V4、标量函数的负定性则称是半正定（非负定）的。()0,VX()VX()0,VX()VX是负定的5、标量函数的正半定性6、标量函数的负半定性()0,VX()VX是半负定（非正定）的()0()0VXVX或,()VX是不定的7、标量函数的不定性例4.1本例假设x为二维向量。22222112)(xxxxV正定的52221)xxxxV（4不定的22121)23()(xxxxV负定的32正半定的正定的1二次型可用赛尔维斯特准则判断。(1)二次型或为正定的充要条件是矩阵P的所有主子行列式均为正值，(3)若，则P正半定；0(ii=1,2,,n-1)(1)P的所有主子行列式均为正值，0(0(iii为偶数)为奇数)(2)若，则P负定；0((iii为偶数)0为奇数)(4)若，则P半负定；313221232221422410)(xxxxxxxxxxV例4.2试证明下列二次型是正定的。313221232221422410)(xxxxxxxxxxV例4.2试证明下列二次型是正定的。[解]二次型可写为)(xV01121412110,041110,010利用赛尔维斯特准则，可得)(xV因为矩阵P的所有主子行列式均为正值，所以是正定的。如果系统对任意选定的实数，都对应存在实数，使当时，从任意初态出发的解都满足(,)XfXt00(,)0t0(,)eXXt0X000(;,)etXtXtt则称平衡状态是Lyapunov意义下稳定的。eX其中，实数与有关，一般也与有关。0t如果与无关，则称这种平衡状态是一致稳定的。0t4.1.2Lyapunov意义下的稳定性定义1、Lyapunov意义下的稳定()S()S2x1xexx0ε如果系统对任意选定的实数，都对应存在实数，使当时，从任意初态出发的解都满足(,)XfXt00(,)0t0(,)eXXt0X000(;,)etXtXtt)(S)(S1x1x2x2x),;(00txtt00lim(;,)ettXtX2、渐近稳定，而且最终收敛于，如果平衡状态是稳定的，eXeXeX()S而且当t无限增长时，则称这种平衡状态是渐近稳定的。即有：轨线不仅不超出ex0x)(S)(S界面)(H),;(00txt1x2x)(S)(S)(ST1x1x2x2x),;(00txtt其必要条件是整个状态空间只有一个平衡点。线性系统：渐近稳定大范围渐近稳定非线性系统：一般较小，小范围渐近稳定。()S3、大范围渐近稳定eX如果平衡状态是渐近稳定的，则为大范围渐近稳定的，eX且渐近稳定的最大范围是整个状态空间，00lim(;,)0ettXtX稳定范围：不管如何给定，相应的总不能超过某一个正数，则称为稳定范围，如果选得任意大，使得，则称该运动是大范围稳定的。则称为不稳定。eX，不管多么小，如果对于某个实数和任一实数00由出发的状态轨线，至少有一条轨线越过()S()S4、不稳定ex*0x)(S)(S界面)(H1x)(S)(S)(ST1x1x2x2x),;(00txtt基本思路是：1）将非线性系统线性化2）计算线性化方程的特征值3）根据线性化方程特征值判定原非线性系统的稳定性。4.2.1Lyapunov第一法4.2Lyapunov稳定性基本定理线性系统的稳定判据xAxBuyCx渐近稳定的平衡状态0ex充要条件是矩阵A的所有特征值均具有负实部。系统的状态稳定性，或称内部稳定性。在实际工程问题中，系统的输出稳定性更有实际意义线性系统的输出稳定判据：1()()WssCIAB,,ABC判据：使得线性定常系统输出稳定的充要条件是：其传递函数所有极点全都位于复平面[S]平面的左半平面101011xxu例：某线性定常系统的状态空间表达式为试分析系统的状态稳定性与输出稳定性。10yx故此系统的状态不是渐近稳定的det[](1)(1)0sssIA1).101011xxu例：某线性定常系统的状态空间表达式为试分析系统的状态稳定性与输出稳定性。10yx1()()WssCIAB11)1)(1(1111001011ssssss系统传递函数故此系统输出稳定)(if0ex将非线性函数在平衡状态处附近展成Taylor级数，120121212(,,,,)(,,,,)iiiniininnfffxxxtfxxxxfxfxxxtx则有nitxxxfxnii,,2,1),,,,,(21或写成),(txfx0),(txfe设非线性系统的状态方程为2.非线性系统的稳定性判据式中为常数，(i,j=1,2,…)为一次项系数，且为余数，即所有高次项之和。0ifjixf),,,,(21txxxfni由于，故线性化方程为0),0,,0,0(0iiftfnnnnnnnnTxfxfxfxfxfxfxfxfxfxtxfA212221212111),(为Jacobian矩阵。其中Axx线性化方程(忽略高阶小量)是一种重要且广泛使用的近似分析方法。0ex现在我们把问题的范围缩小，只考虑的稳定性问题，并提出在什么条件下，可用线性化系统代替原非线性系统？然而这样做是否正确？我们知道，线性(化)系统与非线性系统具有根本的区别，关于线性化系统的解和有关结论是不能随意推广到原来的非线性的。线性化方程(忽略高阶小量)是一种重要且广泛使用的近似分析方法。注意：在工程技术中，很多系统实质上都是非线性的，而非线性系统求解十分困难，所以经常使用线性化系统近似它。定理4.1(Lyapunov)如果线性化系统的系统矩阵A的所有特征值都具有负实部，则原非线性系统的平衡状态总是渐近稳定的，而且系统的稳定性与高阶导数项无关。0ex定理4.2(Lyapunov)如果线性化系统的系统矩阵A的特征值中，至少有一个具有正实部，则不论高阶导数项的情况如何，原非线性系统的平衡状态是不稳定的。0ex定理4.3(Lyapunov)如果线性化系统的系统矩阵A有实部为零的特征值，而其余特征值实部均为负，则在此临界情况下，原非线性系统平衡状态的稳定性决定于高阶导数项，即可能不稳定，也可能稳定。此时不能再用线性化方程来表征原非线性系统的稳定性了。0ex某非线性系统的状态方程为11122212xxxxxxxx试分析此系统在平衡状态处的稳定性。课堂练习：解：由题意可知，此非线性系统有两个平衡状态12[00][11]TTeexx，首先在处将其线性化1ex111221222112()()1()()1fxfxxxxxfxfxxxxx1001A1001A特征值1211，02非线性系统在处是不稳定的1ex2ex处将其线性化0110A0121j此系统处于临界稳定不能由A的特征值符号来确定系统在2ex处的稳定性。这种情况需要应用李亚普诺夫第二法进行判定。4.2.2李雅普诺夫第二法1李雅普诺夫函数如果系统被激励，其能量不仅随着时间推移逐渐衰减，且到达平衡状态时，能量衰减到最小，这个平衡状态是渐近稳定的。反之，如果系统被激励，还不断从外界吸收能量，储能越来越大，那么这个平衡状态就是不稳定的。如果系统被激励后，储能既不增加，也不消耗，这个平衡状态是李亚普诺夫意义下的稳定。李雅普诺夫第二法又称直接法，其基本思路是通过一个标量函数（称为李氏函数）对系统的平衡状态的稳定性作出判断。李氏函数一般是状态分量和时间t的标量函数，用表示，若与t无关，可用表示。12,,nxxx(,)VXt()VXCAB(a)