第一讲 相似三角形的判定及有关性质 章末复习方案 课件(人教A选修4-1)

返回返回返回返回相似三角形的判定定理与性质定理是计算式证明几何问题的基础，要会灵活应用，同时，解题时要注意作辅助线构造三角形相似的条件．返回1．利用相似三角形，求线段的长或线段的比[例1]如图，已知▱ABCD的对角线相交于O，延长AB到F，连接OF交BC于E，若AB＝a，BC＝b，BF＝c，求BE的长．[解]过O作OG∥AB，交BC于G点．∵∠COG＝∠CAB，∠CGO＝∠CBA，∴△COG∽△CAB.∴OGAB＝CGCB＝COCA.又∵O是▱ABCD的对角线的交点，∴CO＝12CA.返回∴OG＝12AB＝12a，CG＝12BC＝12b.∴BG＝12b.又∵OG∥AF，∴∠OGB＝∠GBF，∠GOF＝∠F.∴△OGE∽△FBE.∴OGFB＝EGEB.∴OGFB＝BG－BEBE，即12ac＝12b－BEBE.∴BE＝bca＋2c.返回2．证明等积线段或成比例线段[例2]如图，已知：在△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线交AD于E，交BC的延长线于F.求证：FD2＝FB·FC.[证明]连接AF，返回∵FE是AD的垂直平分线，∴FA＝FD，∠FAD＝∠3，又∵∠FAD＝∠2＋∠4，∠3＝∠1＋∠B，且∠1＝∠2，∴∠B＝∠4.又∵∠AFB＝∠CFA，∴△ABF∽△CAF.∴FAFB＝FCFA.∴FA2＝FB·FC.又∵FD＝FA(已证)，∴FD2＝FB·FC.返回3．利用相似三角形证明线段相等[例3]如图，AD、CF是△ABC的两条高线，在AB上取一点P，使AP＝AD，再从P点引BC的平行线与AC交于点Q，试说明PQ＝CF.返回[解]∵AD、CF是△ABC的两条高，∴∠ADB＝∠BFC.又∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBF.∴ADCF＝ABCB.又∵PQ∥BC，∴∠APQ＝∠B，∠AQP＝∠C，∴△APQ∽△ABC，∴PQBC＝APAB，∴APPQ＝ABBC，∴ADCF＝APPQ.又∵AP＝AD，∴CF＝PQ.返回构造出平行关系或作一定的辅助线是解此类问题的关键，利用成比例或一些特殊的图形形状是常用的构造平行关系的方法．返回[例4]如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，BD、AC交于O点，过O的直线分别交AB、CD于E、F，EF∥BC，AD＝12cm，BC＝20cm，ODOB＝ADBC.求EF的长．返回[解]∵AD∥BC，EF∥BC，∴EF∥AD.∵ODOB＝ADBC，AD＝12cm，BC＝20cm，∴ODOB＝1220＝35，∴OBBD＝58，∴OEAD＝OBBD＝58，∴OE＝58×AD＝58×12＝152(cm)，同理：OF＝38×BC＝38×20＝152(cm)．∴EF＝OE＋OF＝15(cm)．返回[例5]已知：在△ABC中，点D在BC边上，过点C任作一直线与边AB及AD分别交于点F、E.(1)如图(1)，当BDDC＝12时，求证：AEED＝3AF2FB；(2)如图(2)，当BDDC＝mn时，猜想：AEED与AFFB之间是否存在着一定的数量关系？若存在，请写出它们之间的关系式，并给出证明过程；若不存在，请说明理由．返回[解](1)证明：过点D作DG∥CF交AB于G点，∴AEED＝AFFG.又BDDC＝12，∴DC＝2BD＝23BC.∵DG∥FC，∴FGBF＝DCBC＝23，∴FG＝23BF，∴AEED＝AF23BF＝3AF2BF.返回(2)当BDDC＝mn时，有关等式：AEED＝m＋nn·AFFB.证明：过D作DG∥CF交AB于G点．∴AEED＝AFFG.又∵BDDC＝mn，∴BCDC＝m＋nn.∵DG∥FC，∴BFFG＝BCDC＝m＋nn，∴FG＝nm＋nBF，∴AEED＝AFnm＋nBF＝m＋nn·AFBF.返回(1)利用射影定理时，要注意射影定理的适用条件．(2)射影定理在求解线段的长度、证明三角形相似、线段成比例等问题中有非常广泛的应用．返回[例6]如图，四边形ABCD是正方形，E为AD上一点，且AE＝14AD，N是AB的中点，NF⊥CE于F.求证：FN2＝EF·FC.[证明]分别连接NE，NC.设正方形的边长为a，则AE＝14a，DE＝34a，AN＝BN＝12a.∴NE2＝AN2＋AE2＝516a2.返回NC2＝BN2＋BC2＝2016a2.EC2＝DE2＋CD2＝2516a2.∴NE2＋NC2＝EC2.∴EN⊥CN.即△ENC为直角三角形．又∵NF⊥EC，∴FN2＝EF·FC.返回[例7]如图，设CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，求证：(1)AC2CB2＝ADDB；(2)CA·CD＝CB·AD.返回[证明](1)由射影定理得，AC2＝AD·AB，CB2＝BD·AB，所以AC2CB2＝AD·ABBD·AB＝ADDB.(2)因为∠ADC＝∠CDB＝90°，∠B＝∠ACD，所以△ACD∽△CBD，所以ACBC＝ADCD.即CA·CD＝CB·AD.返回点击下图进入“跟踪演练”返回点击下图进入“阶段质量检测”