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专题1集合与常用逻辑用语、函数与导数、不等式知识网络构建专题1│知识网络构建考情分析预测专题1│考情分析预测专题1│考情分析预测专题1│考情分析预测专题1│考情分析预测专题1│考情分析预测专题1│考情分析预测集合与常用逻辑用语是数学的基础与工具性内容，是学习其他数学知识的基础，函数是整个高中数学的主线，导数是研究函数性质的重要工具，函数的单调性是函数最重要的性质之一，它与不等式联系非常密切．高考对集合的考查主要是集合的含义、集合的关系和运算，并且以集合的运算为主，试题往往与不等式的解集、函数的定义域、平面上的点集等相互交汇．对常用逻辑用语的考查主要是命题、充要条件、逻辑联结词和量词，并且以充要条件的判断、命题真假的判断为主，对含有量词的命题的否定也是一个值得注意的考点．高考对函数、导数、不等式的考查更是重中之重，主要考查函数的图象与性质，利用导数解决函数、方程、不等式的综合问题．专题1│考情分析预测从近两年的高考可以看出，每年对集合与常用逻辑用语的考查有2～3题，重点考查集合运算，充要条件、命题真假的判断，考题的难度不大，但涉及的知识面较广，试题多以小题形式出现．对函数、导数、不等式的考查有4～5道小题和一道大题，重点考查函数的图象与性质，不等式的性质与解法，小题一般是低中档，大题通常是中高档．该部分的备考应以基本问题为主，高考对该部分的考查从难度和比例上将保持相对稳定，预计2011年仍将延续这种趋势，备考应给予足够的重视．第１讲│集合与常用逻辑用语第1讲集合与常用逻辑用语主干知识整合第１讲│主干知识整合一、集合的关系和运算1．元素的特征：确定性、互异性、无序性．2．集合间的包含关系、真包含关系、相等关系．(1)正确理解符号∈，⊆的含义．(2)注意∅对解题的影响．3．集合的运算：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}；A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}；∁UA＝{x|x∈U且x∉A}．第１讲│主干知识整合二、四种命题及其关系第１讲│主干知识整合三、充要条件1．充分条件、必要条件、充要条件2．用集合的关系理解充分、必要条件：设命题p对应集合A，命题q对应集合B，则p⇒q等价于A⊆B，p⇔q等价于A＝B.第１讲│主干知识整合四、逻辑联结词与量词1．或、且、非(1)含有逻辑连结词的命题的真假判断：命题p∨q，只要p，q有一为真，即为真命题，换言之，只有p，q均为假命题时才为假；命题p∧q，只有p，q均为真命题时才为真，换言之，要p，q有一为假，即为假命题;p和p为一真一假两个互为对立的命题．(2)或命题和且命题的否定：命题p∨q的否定是p∧q；命题p∧q的否定是p∨q.第１讲│主干知识整合2．全称量词与存在量词含有一个量词的命题的否定：“∀x∈M，p(x)”的否定为“∃x∈M，p(x)”；“∃x∈M，p(x)”的否定为“∀x∈M，p(x)”．要点热点探究第１讲│要点热点探究►探究点一集合的关系与运算的应用例1[2010·北京卷]集合P＝{x∈Z|0≤x3}，M＝{x∈Z|x2≤9}，则P∩M＝()A．{1,2}B．{0,1,2}C．{1,2,3}D．{0,1,2,3}B【解析】集合P＝{0,1,2}，集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，所以P∩M＝{0,1,2}．第１讲│要点热点探究若集合M＝{(x，y)|x＋y＝0，x∈R，y∈R)}，N＝{(x，y)|x2＋y2＝1，x∈R，y∈R}，则M∩N＝()A．{(－1,1)，(1，－1)}B.－22，22C.22，－22D.－22，22，22，－22第１讲│要点热点探究D【解析】M表示直线x＋y＝0上的点的集合，N表示坐标单位圆上的点的集合．由方程组x＋y＝0，x2＋y2＝1解得x＝22，y＝－22或x＝－22，y＝22.要点热点探究第１讲│要点热点探究►探究点二命题与命题的否定的应用例2给出下列命题：①命题：∃x∈R，x2－3x≤0的否定是：∀x∈R，x2－3x0；②命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的否定是“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”；③若ac2bc2，则ab的逆命题是真命题；④若命题p∧q与p∨q均为假命题，则命题p真，命题q假；⑤命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是“若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数”．请判断以上命题的真假．第１讲│要点热点探究【解答】根据含有一个量词的否定可知①正确；②中“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”是原命题的否命题，错误；③为假命题；对④，因命题p∨q为假命题，故p和q均为假命题，故p真，q假．⑤符合否命题的定义，显然正确．【点评】本题中涉及否命题与命题否定，要注意它们的区别；关于含有一个量词的否定要注意“前变后否”变化方法．复合命题的真假判断要注意利用其真值表．要点热点探究第１讲│要点热点探究►探究点三充分必要条件的判断例3[2010·湖北卷]记实数x1，x2，…xn中的最大数为max{x1，x2，…，xn}，最小数为min{x1，x2，…，xn}．已知ABC的三边长为a，b，c(a≤b≤c)，定义它的倾斜度为l＝maxab，bc，ca·minab，bc，ca，则“l＝1”是“△ABC为等边三角形”的()A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件第１讲│要点热点探究A【解析】若△ABC为等边三角形时，即a＝b＝c，则maxab，bc，ca＝1＝minab，bc，ca，则l＝1；若l＝1时，则△ABC不一定为等边三角形，例如△ABC为等腰三角形，不妨取a＝2，b＝2，c＝3，则maxab，bc，ca＝32，minab，bc，ca＝23，此时l＝1仍成立但△ABC不为等边三角形．综上可知，A正确．第１讲│要点热点探究【点评】判断充分必要条件问题要首先判断条件与结论的推出关系，再据定义得出结论．本题要充分认识三角形倾斜度的定义．关于探求充要条件的问题，要注意条件的等价性转换，请尝试下面变式题．第１讲│要点热点探究[2010·辽宁卷]已知a0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是()A．∃x∈R，f(x)≤f(x0)B．∃x∈R，f(x)≥f(x0)C．∀x∈R，f(x)≤f(x0)D．∀x∈R，f(x)≥f(x0)C【解析】函数f(x)的最小值是f－b2a＝f(x0)，等价于∀x∈R，f(x)≥f(x0)，所以命题C错误．第１讲│要点热点探究例4“α≠β”是“sinα≠sinβ”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件第１讲│要点热点探究B【解析】方法1：由于当α＝2π＋β时，α≠β，但此时sinα＝sinβ，故条件是不充分的；由于sinα≠sinβ时，如果α＝β，则sinα＝sinβ，故当sinα≠sinβ⇒α≠β，故条件是必要的．方法2：命题“若α≠β，则sinα≠sinβ”等价于命题“若sinα＝sinβ，则α＝β”，这个命题显然不正确，故条件是不充分的；由于命题“若sinα≠sinβ，则α≠β”等价于命题“若α＝β，则sinα＝sinβ”，这个命题是真命题，故条件是必要的．第１讲│要点热点探究【点评】以否定形式给出的充要条件的一般形式是“A是B的什么条件”，即判断A⇒B和B⇒A是否成立，根据四种命题的等价关系，即判断B⇒A和A⇒B是否成立，如果B⇒A成立，则A是B的充分条件，如果A⇒B成立，则A是B的必要条件，故“A是B的什么条件”等价于“B是A的什么条件”，这样就把否定形式的问题转化为肯定形式的问题．教师备用题第１讲│教师备用题备选理由：1是常规题用来巩固基础，2,3是易错题可以强化训练，4是综合性较强试题，意在训练学生分析、解决问题的能力．1．集合A＝{0,2，a2}，B＝{1，a}，若A∩B＝{1}，则a的值为()A．0B．1C．－1D．±1【解析】C根据已知，只能a2＝1，根据集合元素的性质得a≠1，故a＝－1.第１讲│教师备用题2．下列命题中的假命题是()A．∀x∈R,2x－10B．∀x∈N*，(x－1)20C．∃x∈R，lgx1D．∃x∈R，tanx＝2【解析】B对选项B，若x＝1，则(x－1)2＝0.第１讲│教师备用题3．“m14”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0”有实数解的()A．充分非必要条件B．充分必要条件C．必要非充分条件D．非充分必要条件【解析】A由x2＋x＋m＝0知，x＋122＝1－4m4≥0⇔m≤14.第１讲│教师备用题4．已知函数y＝lg(－x2＋x＋2)的定义域为A，指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)(x∈A)的值域为B.(1)若a＝2，求A∪B；(2)若A∩B＝12，2，求a的值第１讲│教师备用题【解答】(1)依题意知A＝{x|－x2＋x＋20}＝(－1,2)．若a＝2，则y＝ax＝2x∈12，4，即B＝12，4，∴A∪B＝(－1,4)．(2)由A＝{x|－x2＋x＋20}＝(－1,2)，知①当a＞1时，B＝1a，a2，若A∩B＝12，2，则必有1a＝12，a2≥2，解得a＝2.或1a＝12，a＝2此时B＝12，2，A∩B＝12，2，符合题意，故a＝2为所求．第１讲│教师备用题②当0＜a＜1时，B＝a2，1a，若A∩B＝12，2，则必有a2＝12，a＝22，此时B＝12，2，A∩B＝12，2，不符合题意，舍去．综上可知a＝2.规律技巧提炼第１讲│规律技巧提炼1．解答集合有关问题时，正确理解集合的意义，准确地化简集合是关键，其次要注意元素的互异性，空集是任何集合的子集等问题，对于复杂问题，要借助数轴和韦恩图加以解决，尤其注意转化和化归、数形结合等数学思想的运用．2．命题真假的判断，应分清所给命题是简单命题还是复合命题，若是复合命题则依据复合命题真值表来判断．第１讲│规律技巧提炼3．充分、必要、充要、既非充分也非必要条件的判断必须坚持“双向”的原则，也可转化为等价命题来判断．4．解决有关逻辑题时，细微之处要谨慎，稍有不慎就会出错，要树立简化意识、逆否命题意识、特例反驳意识．